从而f())=(A-0)2g()),即λ至少是f(入)的t重根.即t≤m 定义设φ是数域K上n维线性空间V上的线性变换,A0是f(入的m重 根,Vo为φ的属于λ的特征子空间.则称m为的代数重数,t=dimV称 为λ的几何重数 四.可对角化的充分必要条件 定理设φ是数域K上n维线性空间V的线性变换,则下列命题等价: (1)φ可对角化; (2)φ有n个线性无关的特征向量; (3)V=Vx1V2…⊕V,这里A1,A2…,A是9的全部互异特征值; (4)∑dmV=n,这里A,…入是9的全部特征值 (5)φ的特征多项式的所有根全部在K上,且特征值的代数重数等于几何重 数. 证明(1)→(2)设φ可对角化,则y在V的某组基51,52,…,En下的表示矩 阵为对角阵,即 y(51,52,…,5n)=(51,52…,5n) 即()=),1≤i≤n.所以1,2,…,5n即为φ的特征向量且线性无关 2)→(3)由上面的命题知W1+Vx2+…+V=V1V2④…⊕V因为 (2)成立,故dm(WA1V2…⊕VA,)=m,故V=VA1W2…田V (3)→(4)显然 (4)→(5)(反证法)设m为入的代数重数,t为入的几何重数,则m≥ t,1≤i≤s.f(=(A-A1)m1(A-A2)m2…(X-Am9(),这里9()≠0 1≤i≤s.根据条件有∑m≤n=∑m=∑t≤∑m,所以t=m 且∑m=n这样f(x)=(-A)m(-2)m…(-入)m,即的特征多项 式的所有根全部在K上,且特征值的代数重数等于几何重数& fϕ(λ) = (λ − λ0) t g(λ), < λ0 Gx fϕ(λ)  t I1
< t ≤ m. 2 P y ϕ 6 K w n !NA V w!:￾ λ0  fϕ(λ)  m I 1￾ V0  ϕ 
4 λ0 ?LNA
: m  λ0 I￾ t = dimV0  λ0 =6I

M#E9,'ÆC PT y ϕ 6 K w n !NA V !:￾:Wd  (1) ϕ M#E9 (2) ϕ 3 n 0!3? V (3) V = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλs , =R λ1, λ2 · · · , λs  ϕ q8.?D (4) Xs i=1 dim Vλi = n, =R λ1, λ2 · · · , λs  ϕ q?D
(5) ϕ ?%}31q9 K w￾m?DI4=6I
fW (1) ⇒ (2) y ϕ M#E9￾: ϕ 9 V eM; ξ1, ξ2, · · · , ξn  ~J >#E>￾< ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)   λ1 λ2 . . . λn   , < ϕ(ξi) = λiξi , 1 ≤ i ≤ n. * ξ1, ξ2, · · · , ξn < ϕ ? Vm!3
(2) ⇒ (3) 2wad A Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλs = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλs . / (2) ÆT￾2 dim(Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλs ) = n, 2 V = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλs . (3) ⇒ (4) s
(4) ⇒ (5) ()() y mi  λi I￾ ti  λi =6I￾: mi ≥ ti , 1 ≤ i ≤ s. fϕ(λ) = (λ − λ1) m1 (λ − λ2) m2 · · ·(λ − λs) ms g(λ), =R g(λi) 6= 0, 1 ≤ i ≤ s. 1KÆC3 Xs i=1 mi ≤ n = Xs i=1 dim Vλi = Xs i=1 ti ≤ Xs i=1 mi , * ti = mi m Xs i=1 mi = n. =& fϕ(x) = (λ − λ1) m1 (λ − λ2) m2 · · ·(λ − λs) ms , < ϕ ?% }31q9 K w￾m?DI4=6I
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