第4期 王晓宇，等：异质多智能体系统二分一致性的充要条件 ·681· 体的位置、速度和控制输入。 式中：y(k)=x()+-v,(k),i∈1，a>0为控制增益；Na 基于假设1设计如下的二分一致性协议： N2的含义同(2)o 4(t)=-ay:(t)+a2 注释1在式(4)协议作用下，式(3)系统虽 然能够实现二分一致性，但是两组最终的收敛状 态没有任何关系。而在式（⑤）协议作用下，式(3) (2) 系统最终实现二分一致性，并且两组的收敛值互 (）=a ∑ac0-x0) 为相反数，这样的收敛状态具有更好的应用价值。 定义3如果对于式(1)系统的任何初始条 件满足： 式中：0=x0+0,iel4,a>0为控制增益：N limxi(t)- ax,0=0. ViEh.jEl +0 N2分别表示第i个智能体在V,和V2中的邻居集。 limv.tl=0Yi∈i (6) 其次，考虑离散多智能体系统，其个体的动态 limx(()- lai 2x()=0,ie2,j∈1 方程为 a x(k+1)=x(k)+Tv(k),iEI 则称式(1)系统渐近实现了二分一致性。 vi(k+1)=vi(k)+Tu(k),iEI (3) 如果对于式(3)系统的任何初始条件满足： x(k+1)=x(k)+T4,(k),i∈2 式中：x()、,()∈R和，()∈R分别表示第i个智 lim .-ud()=0.viehjel 能体在kT(k∈N,N为自然数集)时刻的位置、速度 limlv()=0. Vieh (7) 和控制输入；T>0为采样周期。 Viel,jel 在文献[19]中，针对系统(3)设计的二分一致 画- k+ ()0. a 性协议为 则称式(3)系统渐近实现了二分一致性。 u;(k)=-av;(k)+a a(x(k)-x,(k)+ 3 一致性分析 ∑a 基于所考虑多智能体系统的分组，将图G的 邻接矩阵A表示为 (4) ui(k)=a aii(xik)-x(k))+ A= A3 A (8) ∑a, 式中：A1∈Rmm;A2∈Rma-m:A3∈Ra-mxm,A4∈R-mxr-m。 31连续系统的一致性分析 其中α>0为控制增益。文献[19]中给出了两条 对连续式（①）系统，令=(x1,2,…,xm12,…ym 假定： xm+,xm+2,…,x)。由==a0y-x)和y=元+二= 假定1 a,-0,ie.且2=0.ieh 1 +二。将式(2)协议应用到式(1)系统中，可得： =+1 假定2除去两个单的零特征值外，图G对 E=-L5 (9) 应的Laplacian矩阵L的特征值都具有正实部。 其中 在本文中，基于假设1，删除了对上述两条假 -cIm 0 定的要求并设计了如下的二分一致性协议： a(A1+A2) (10) QA3 0 -A4+M3+M4 4,k)=-v+a22a-- 式中：Im表示m×m维的单位矩阵，0表示合适 维数的零矩阵；A=A(i=1,4):A=-A0=2,3): (5) A=diag ami:A2=diag =m+】 因=aa因- -ami A3=diag -a(m+D)j 一a(m+2j9 .iel (m+2)体的位置、速度和控制输入。 基于假设 1 设计如下的二分一致性协议：    ui(t) = −αvi(t)+α 2   ∑ j∈Ni1 ai j(xj(t)−yi(t))− ∑ j∈Ni2 | ai j | (yi(t)+ xj(t))   , i ∈ I1 ui(t) = α   ∑ j∈Ni2 ai j(xj(t)− xi(t))− ∑ j∈Ni1 | ai j | (xi(t)+ xj(t))   , i ∈ I2 (2) yi(t) = xi(t)+ 1 α vi(t),i ∈ I1,α > 0 Ni1 Ni2 i V1 V2 式中： 为控制增益； 、 分别表示第 个智能体在 和 中的邻居集。 其次，考虑离散多智能体系统，其个体的动态 方程为    xi(k+1) = xi(k)+T vi(k),i ∈ I1 vi(k+1) = vi(k)+T ui(k),i ∈ I1 xi(k+1) = xi(k)+T ui(k),i ∈ I2 (3) xi(k)、vi(k) ∈ R ui(k) ∈ R i kT k ∈ N,N T > 0 式中： 和 分别表示第 个智 能体在 ( 为自然数集) 时刻的位置、速度 和控制输入； 为采样周期。 在文献 [19] 中，针对系统 (3) 设计的二分一致 性协议为    ui(k) = −αvi(k)+α 2   ∑ j∈Ni1 ai j(xj(k)− xi(k))+ ∑ j∈Ni2 ai jxj(k)   , i ∈ I1 ui(k) = α   ∑ j∈Ni2 ai j(xj(k)− xi(k))+ ∑ j∈Ni1 ai jxj(k)   , i ∈ I2 (4) 其中 α > 0 为控制增益。文献 [19] 中给出了两条 假定： ∑n j=m+1 ai j=0,∀i ∈ I1 ∑m j=1 假定 1 ，且 ai j=0,∀i ∈ I2。 G L 假定 2 除去两个单的零特征值外，图 对 应的 Laplacian 矩阵 的特征值都具有正实部。 在本文中，基于假设 1，删除了对上述两条假 定的要求并设计了如下的二分一致性协议：    ui(k) = −αvi(k)+α 2   ∑ j∈Ni1 ai j(xj(k)−yi(k))− ∑ j∈Ni2 | ai j | (yi(k)+ xj(k))   , i ∈ I1 ui(k) = α   ∑ j∈Ni2 ai j(xj(k)− xi(k))− ∑ j∈Ni1 | ai j | (xi(k)+ xj(k))   , i ∈ I2 (5) yi(k) = xi(k)+ 1 α vi(k),i ∈ I1,α > 0 Ni1 Ni2 式中： 为控制增益； 、 的含义同 (2)。 注释 1 在式 (4) 协议作用下，式 (3) 系统虽 然能够实现二分一致性，但是两组最终的收敛状 态没有任何关系。而在式 (5) 协议作用下，式 (3) 系统最终实现二分一致性，并且两组的收敛值互 为相反数，这样的收敛状态具有更好的应用价值。 定义 3 如果对于式 (1) 系统的任何初始条 件满足：    lim t→∞       xi(t)− |ai j| ai j xj(t)       = 0, ∀i ∈ I1, j ∈ I lim t→∞ |vi(t)| = 0, ∀i ∈ I1 lim t→∞       xi(t)− |ai j| ai j xj(t)       = 0, ∀i ∈ I2, j ∈ I (6) 则称式 (1) 系统渐近实现了二分一致性。 如果对于式 (3) 系统的任何初始条件满足：    lim k→∞       xi(k)− |ai j| ai j xj(k)       = 0, ∀i ∈ I1, j ∈ I lim k→∞ |vi(k)| = 0, ∀i ∈ I1 lim k→∞       xi(k)− |ai j| ai j xj(k)       = 0, ∀i ∈ I2, j ∈ I (7) 则称式 (3) 系统渐近实现了二分一致性。 3 一致性分析 G A 基于所考虑多智能体系统的分组，将图 的 邻接矩阵 表示为 A = [ A1 A2 A3 A4 ] (8) A1∈R m×m ; A2∈R m×(n−m) ; A3∈R (n−m)×m A4∈R 式中： (n−m)×(n−m) ， 。 3.1 连续系统的一致性分析 ξ = (x1, x2,··· , xm, y1, y2,··· , ym xm+1, xm+2,··· , xn) T x˙i = vi = α(yi − xi) y˙i = x˙i + 1 α v˙i = vi + 1 α ui 对连续式(1)系统，令 ， 。由 和 ，将式 (2) 协议应用到式 (1) 系统中，可得： ξ˙ = −L¯ ξ (9) 其中 L¯ =   αIm −αIm 0 −αA˜ 1 α(Λ1 +Λ2) αA˜ 2 αA˜ 3 0 −αA˜ 4 +αΛ3 +αΛ4   (10) Im m×m A˜ i = Ai(i = 1,4); A˜ j = −Aj(j = 2,3) Λ1 = diag    ∑m j=1 a1 j , ∑m j=1 a2 j ,··· , ∑m j=1 am j    ; Λ2 =diag    ∑n j=m+1 −a1 j , ∑n j=m+1 −a2 j ,··· , ∑n j=m+1 −am j    Λ3 =diag    ∑m j=1 −a(m+1)j , ∑m j=1 −a(m+2)j , ··· , ∑m j=1 −an j    ;Λ4 =diag    ∑n j=m+1 a(m+1)j , ∑n j=m+1 a(m+2)j ,··· , ∑n j=m+1 an j    式中： 表示 维的单位矩阵，0 表示合适 维数的零矩阵； ； ； ； 第 4 期 王晓宇，等：异质多智能体系统二分一致性的充要条件 ·681·