·682· 智能系统学报 第15卷 易见A(i=1,2,3,4)中元素全非负。 可看作是具有n+m个节点的图G对应的Laplacian 根据假设l,令D=diag{lm,Im,-In-m,对专进行 矩阵。 如下规范变换：专=D5,从而式(9)系统可写作： 引理2假定假设1成立，图G包含一棵有 =-i (11) 向生成树当且仅当图G包含一棵有向生成树。 其中 文献[18]中针对切换有向拓扑给出了该引理 -aIm 0 i= -aA:a(Ai+A2) 的证明。针对固定拓扑，本文运用将图G的拓扑 -aA? -QA3 0 -aAs+aA3+aAs 性质转化为与其等价的代数性质的方法给出新的 易知L和L具有相同特征值。又L行和为 简单证明。 0.对角线元素全非负.非对角线元素全非正，故L 证明对进行初等变换： alm 0 0 i→ 0 Q(A1+A2)-qA -0A2 0 -aA3 -qAs+aA3+aA4 从而rank()=m+rank(L)。由引理1，与L对 证明在假设1成立的条件下，由引理3，式 应的图G有一棵有向生成树等价于立只有简单 (1)系统在式(2)协议作用下渐近实现二分一致性 零特征值，即有rank()=m+rank(L)=n+m-1,也 等价于式(11)系统能够渐近实现一致性。由引 即rank(L)=n-l。因此，仍由引理1可知结论成立。 理4，式(11)系统能够渐近实现一致性当且仅当 通过针对式(9)系统的规范变换，我们实现了 图G包含一棵有向生成树。进一步，结合引理 系统连接权重符号的改变，将具有敌对关系的式 2可知定理结论成立。 (9)系统转换为具有非负连接权重的式(11)系 3.2离散系统的一致性分析 统。根据系统渐近实现一致性的定义，容易得出 对离散式)系统，令xm(k)=[x(K),2(k),,xm(k), 下面的引理。 ym(K)=y1(k),y2(K),…,ym(k]T,xf(k)=[xm+1(k),xm+2(K),; 引理3式(1)系统在式(2)协议作用下渐近 x(k)]:将式(5)协议应用到式(3)系统中，可得： 实现二分一致性：当且仅当式(11)系统能够渐近 (x(k+1)=(1-aT)xm(k)+aTym(k) 实现一致性。 ym(k+1)=Imym(k)+aT[Axm(k)-Aiym(k)+ A2xr(k)-A2ym(k)] (12) 针对一般一致性问题，文献2]中有如下引理： x(k+1)=In-mx(k)+aT[Aax(k)-Aax(k)+ 引理4在固定拓扑下，连续时间多智能体 A3x(k)-A3x(k)] 系统无=∑，-x1e1,能够渐近实现一致性。 式中：A,和A4中的元素全都非负；A2和A3中的 =1 元素全都非正；A1、A2、A3、A4与式(10)中定义相 当且仅当图G包含一棵有向生成树。 同。同样地记A:=A,(i=1,4),A=-Aj=2,3),易 下面给出保证式(1)系统二分一致性成立的 知A,(i=1,2,3,4)中元素全非负。 一个定理。 令zk)=x,y(,xTk),将式(12)写成紧 定理1假定假设1成立。式(1)系统在式 凑形式得： (2)协议作用下渐近实现二分一致性的充要条件 z(k+1)=Uz(k) (13) 是图G包含一棵有向生成树。 其中 (1-aT)I 0 U= aTA Im-aT(A:+A2) -aTA: -gTA3 0 I-m+aT(As-A3-A4) 基于假设l,令D=diag{lm,Im,-ln-m,对z进 z(k+1)=U2(k) (14) 行如下规范变换：元=Dz,从而系统(13)可写为 其中 (1-aT)1m aTI 0 0= aTA In-aT(A:+A2) aTA aTA3 0 Im+aT(A-A3-A4) 对矩阵U进行初等变换： (1-aT)In 0 aTI 0 aTA3 I-m+aT(A-A3-A4) 0 aTA Im-aT(A:+A2)A˜ 易见 i(i = 1,2,3,4) 中元素全非负。 1 D = diag{Im,Im,−In−m} ξ ξˆ = Dξ 根据假设 ，令 ，对 进行 如下规范变换： ，从而式 (9) 系统可写作： ˙ ξˆ = −Lˆ ξ,ˆ (11) 其中 Lˆ =   αIm −αIm 0 −αA˜ 1 α(Λ1 +Λ2) −αA˜ 2 −αA˜ 3 0 −αA˜ 4 +αΛ3 +αΛ4   Lˆ L¯ Lˆ 0 Lˆ 易知 和 具有相同特征值。又 行和为 ，对角线元素全非负，非对角线元素全非正，故 n+m G ′ 可看作是具有 个节点的图 对应的 Laplacian 矩阵。 G ′ G 引理 2 假定假设 1 成立，图 包含一棵有 向生成树当且仅当图 包含一棵有向生成树。 G 文献 [18] 中针对切换有向拓扑给出了该引理 的证明。针对固定拓扑，本文运用将图 的拓扑 性质转化为与其等价的代数性质的方法给出新的 简单证明。 证明 对 Lˆ 进行初等变换： Lˆ →   αIm 0 0 α(Λ1 +Λ2)−αA˜ 1 0 −αA˜ 3 0 −αA˜ 2 −αA˜ 4 +αΛ3 +αΛ4   ∆ = α [ Im 0 0 L ] rank(Lˆ) = m+rank(L) Lˆ G ′ Lˆ rank(Lˆ) = m+rank(L) = n+m−1 rank(L) = n−1 从而 。由引理 1，与 对 应的图 有一棵有向生成树等价于 只有简单 零特征值，即有 ，也 即 。因此，仍由引理 1 可知结论成立。 通过针对式 (9) 系统的规范变换，我们实现了 系统连接权重符号的改变，将具有敌对关系的式 (9) 系统转换为具有非负连接权重的式 (11) 系 统。根据系统渐近实现一致性的定义，容易得出 下面的引理。 引理 3 式 (1) 系统在式 (2) 协议作用下渐近 实现二分一致性；当且仅当式 (11) 系统能够渐近 实现一致性。 针对一般一致性问题，文献 [2] 中有如下引理： x˙i = ∑n j=1 ai j(xj − xi),i ∈ I G 引理 4 [2] 在固定拓扑下，连续时间多智能体 系统 ，能够渐近实现一致性， 当且仅当图 包含一棵有向生成树。 下面给出保证式 (1) 系统二分一致性成立的 一个定理。 G 定理 1 假定假设 1 成立。式 (1) 系统在式 (2) 协议作用下渐近实现二分一致性的充要条件 是图 包含一棵有向生成树。 G ′ 证明 在假设 1 成立的条件下，由引理 3，式 (1) 系统在式 (2) 协议作用下渐近实现二分一致性 等价于式 (11) 系统能够渐近实现一致性。由引 理 4，式 (11) 系统能够渐近实现一致性当且仅当 图 包含一棵有向生成树。进一步，结合引理 2 可知定理结论成立。 3.2 离散系统的一致性分析 xm(k)=[x1(k), x2(k),···, xm(k)]T ym(k) = [y1(k), y2(k),··· , ym(k)]T , xf(k) = [xm+1(k), xm+2(k),··· xn(k)]T 对离散式(3)系统，令 ， , ，将式 (5) 协议应用到式 (3) 系统中，可得：    xm(k+1) = (1−αT)xm(k)+αT ym(k) ym(k+1) = Im ym(k)+αT[A1 xm(k)−Λ1 ym(k)+ A2 xf(k)−Λ2 ym(k)] xf(k+1) = In−m xf(k)+αT[A4 xf(k)−Λ4 xf(k)+ A3 xm(k)−Λ3 xf(k)] (12) A1 A4 A2 A3 Λ1 Λ2 Λ3 Λ4 A˜ i = Ai(i = 1,4) A˜ j = −Aj(j = 2,3) A˜ i(i = 1,2,3,4) 式中： 和 中的元素全都非负； 和 中的 元素全都非正； 、 、 、 与式 (10) 中定义相 同。同样地记 ， ，易 知 中元素全非负。 z(k) [x T m (k) y T m (k) x T f (k)] 令 T = ， ， ，将式 (12) 写成紧 凑形式得： z(k+1) = Uz(k) (13) 其中 U =   (1−αT)Im αT Im αT A˜ 1 Im −αT(Λ1 +Λ2) −αT A˜ 3 0 0 −αT A˜ 2 In−m +αT(A˜ 4 −Λ3 −Λ4)   D = diag{Im,Im,−In−m} z z˜ = Dz 基于假设 1，令 ，对 进 行如下规范变换： ，从而系统 (13) 可写为 z˜(k+1) = U˜ z˜(k) (14) 其中 U˜ =   (1−αT)Im αT Im αT A˜ 1 Im −αT(Λ1 +Λ2) αT A˜ 3 0 0 αT A˜ 2 In−m +αT(A˜ 4 −Λ3 −Λ4)   对矩阵 U˜ 进行初等变换： U˜ →   (1−αT)Im 0 αT A˜ 3 In−m +αT(A˜ 4 −Λ3 −Λ4) αT A˜ 1 αT A˜ 2 αT Im 0 Im −αT(Λ1 +Λ2)   ≜ Uˆ ·682· 智 能 系 统 学 报 第 15 卷