§63正定二次型 设可逆变换x=Cy使得 ∫=x'Ax=y(CACy=d1y2+d2y2+…+dny2 定理4设∫=xAx的秩为r,则在∫的标准形中 (1)系数不为0的平方项的个数一定是r (∵rank(CIAC)= ranka) (2)正项个数p一定,称为∫的正惯性指数;(证明略去 (3)负项个数r-p一定称为∫的负惯性指数.(由(1)和(2)可得) 正定二次型:Vx≠0,∫=xAx>0,称∫为正定二次型,A为正定矩阵 负定二次型:x≠0,∫=xAx<0,称∫为负定二次型,A为负定矩阵 定理5∫=x24x为正定二次型台∫的标准形中d1>0(i=1,2,…,m) 证必要性.取y=E1=(0,…0,1,0,…,0)2,则x=Cy≠0,从而 ∫=xAx>0→∫=y(CAC)y=d1>0 充分性.已知d1>0(i=1,2,…,m,Vx≠0→y=Cx≠0 f=d1y2+d2y2+…+dny2>0 由定义知,∫为正定二次型 推论1设Am实对称,则A为正定矩阵A的特征值全为正数 推论2设A实对称正定矩阵则det4>0 定理6设A实对称则A为正定矩阵 A的顺序主子式全为正数,即A(4)>0(i=1,2,…,n) (证明略去)10 §6.3 正定二次型 设可逆变换 x = C y 使得 f x Ax y (C AC) y T T T = = 2 2 2 2 2 1 1 n n = d y + d y ++ d y 定理 4 设 f x Ax T = 的秩为 r , 则在 f 的标准形中 (1) 系数不为 0 的平方项的个数一定是 r ； （ rank(C AC) rankA T  = ） (2) 正项个数 p 一定, 称为 f 的正惯性指数；（证明略去） (3) 负项个数 r − p 一定, 称为 f 的负惯性指数．（由(1)和(2)可得） 正定二次型： 0, 0 T  x  f = x Ax  , 称 f 为正定二次型, A 为正定矩阵． 负定二次型： 0, 0 T  x  f = x Ax  , 称 f 为负定二次型, A 为负定矩阵． 定理 5 f x Ax T = 为正定二次型  f 的标准形中 d 0 (i 1,2, ,n) i  =  ． 证 必要性．取 T = = (0,  ,0,1,0,  ,0) i y  , 则 x = C y  0 , 从而 0 T f = x Ax  ( ) 0 T T  f = y C AC y = di  充分性．已知 d 0 (i 1,2, ,n) i  =  , 0 0 1    =  − x y C x 0 2 2 2 2 2 f = d1 y1 + d y ++ d n yn  由定义知, f 为正定二次型． 推论 1 设 Ann 实对称, 则 A 为正定矩阵  A 的特征值全为正数． 推论 2 设 Ann 实对称正定矩阵, 则 detA  0． 定理 6 设 Ann 实对称, 则 A 为正定矩阵  A 的顺序主子式全为正数, 即 (A) 0 (i 1,2, ,n) i  =  ． （证明略去）