定理7设An实对称,则 ∫=xAx为负定二次型 台-∫=x(-4)x为正定二次型 台∫的负惯性指数为n(定理5) →A的特征值全为负数(定理4) A的奇数阶顺序主子式全为负数,即4<0,43<0,4<0,…; A的偶数阶顺序主子式全为正数即42>0,4>0,4>0, 例8判断下列二次型的正定性: (1)f(x1,x2,x3)=5x2+x2+5x2+4x1x2-8x1x3-4x2x3 (2)f(x1,x2,x3)=-5x2-6x2-4x2+4x1x2+4x1x3 (3)f(x1,x2,x3)=x2+x2+x3+2ax1x2+2bx2x3(a,b∈R) 解(1)A=21-2 4=5>0,4=,,=1>0,4=det4=1> 故A为正定矩阵,∫为正定二次型 (2)A=2-60 A=-5<0,42 2-6=26>0,4=det4=-80<0 故A为负定矩阵,∫为负定二次型11 定理 7 设 Ann 实对称, 则 f x Ax T = 为负定二次型  f x ( A) x T − = − 为正定二次型  f 的负惯性指数为 n （定理 5）  A 的特征值全为负数 （定理 4）  A 的奇数阶顺序主子式全为负数, 即 1  0, 3  0, 5  0,  ； A 的偶数阶顺序主子式全为正数, 即 2  0, 4  0, 6  0, ． 例 8 判断下列二次型的正定性： (1) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 5x1 + x + 5x + 4x x − 8x x − 4x x (2) 1 2 1 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = −5x1 − 6x − 4x + 4x x + 4x x (3) 1 2 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x + x + 2a x x + 2bx x ( a,b  R ) 解 (1)           − − − − = 4 2 5 2 1 2 5 2 4 A 1 = 5  0 , 1 0 2 1 5 2 2 = =  , 3 = detA = 1  0 故 A 为正定矩阵, f 为正定二次型． (2)           − − − = 2 0 4 2 6 0 5 2 2 A 1 = −5  0 , 26 0 2 6 5 2 2 =  − −  = , 3 = detA = −80  0 故 A 为负定矩阵, f 为负定二次型．