(3)A=a1b 0b1 A=1,A2= 4,=detA=l-( 当a2+b2<1时,有A>0,A2>0,43>0 故A为正定矩阵,∫f为正定二次型 当a2+b2≥1时,有A>0,4≤0 故A为不定矩阵∫为不定二次型 例9设A=(an)m实对称,则 (1)A为正定矩阵→a1>0(i=12,,n) (2)A为负定矩阵→a1<0(i=1,2,…,n) 证取x=61=(0,…,0,1,0,…,0)2,则有 ∫正定→∫=xAx=an>0(i=1,2,,n) ∫负定→∫=xAx=an<0(i=1,2,…,n)12 (3)           = 0 1 1 1 0 b a b a A 1 = 1, 2 2 1 1 1 a a a  = = − , det 1 ( ) 2 2 3 = A = − a + b 当 1 2 2 a + b  时, 有 1  0, 2  0, 3  0 故 A 为正定矩阵, f 为正定二次型； 当 1 2 2 a + b  时, 有 1  0, 3  0 故 A 为不定矩阵, f 为不定二次型． 例 9 设 A = aij nn ( ) 实对称, 则 (1) A 为正定矩阵 a 0 (i 1,2, ,n)  ii  =  (2) A 为负定矩阵 a 0 (i 1,2, ,n)  ii  =  证 取 T = = (0,  ,0,1,0,  ,0) x i  , 则有 f 正定  0 T f = x Ax = aii  (i = 1,2,  ,n) f 负定  0 T f = x Ax = aii  (i = 1,2,  ,n)