第三届中国大学生数学竞赛赛区赛 试题参考答案 数学类,2011) 、(本题15分)已知四点A(1,2,7),B(4,3,3),(5,-1,6),(√7,√7,0).试求过这 四点的球面方程 解答:设所求球面的球心为(正,,2),则 (-1)2+(0-2)2+(z-7)2 (-4)2+(-3)2+(2-3)2 (2-5)2+(0+1)2+(2-6) (-√7)2+(-√7)2+22 (8分) 37+y-42=-10, 47-3-=4 (√7-1)z+(7-2)-7z=-20 (10分) 解得(x,,2)=(1,-1,3).而 (14分) )2+(-2)2+(2-7)2 于是所求球面方程为 (x-1)2+(y+1)2+(x-3)2=25 (15分) 第1页(共13页第三届中国大学生数学竞赛赛区赛 试题参考答案 (数学类, 2011) 一、 (本题 15 分) 已知四点 A(1, 2, 7), B(4, 3, 3), (5, −1, 6), (√ 7, √ 7, 0). 试求过这 四点的球面方程. 解答: 设所求球面的球心为 (¯x, y, ¯ z¯), 则 (¯x − 1)2 + (¯y − 2)2 + (¯z − 7)2 = (¯x − 4)2 + (¯y − 3)2 + (¯z − 3)2 = (¯x − 5)2 + (¯y + 1)2 + (¯z − 6)2 = (¯x − √ 7)2 + (¯y − √ 7)2 + ¯z 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分) 即    3¯x + ¯y − 4¯z = −10, 4¯x − 3¯y − z¯ = 4, ( √ 7 − 1)¯x + (√ 7 − 2)¯y − 7¯z = −20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) 解得 (¯x, y, ¯ z¯) = (1, −1, 3). 而 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 分) (¯x − 1)2 + (¯y − 2)2 + (¯z − 7)2 = 25. 于是所求球面方程为 (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15 分) 第1页 ( 共 13页)