二、(本题10分)设f1,f2…,fn为[0,1上的非负连续函数.求证:存在∈[0,1], 使得 ∏I(f)≤Ⅱ/()d 证明:记 ak=/fe(a)d r, Vk=1,2,...,n. 当某个ak=0时,结论是平凡的 (1分) 下设ak>0(Vk=1,2,…,n).我们有 m fke dr dx=1 k=1 (8分) 由此立即可得存在￡∈[0,1使得 fk(5) <1 k=1 结论得证 (10分) 第2页(共13页)二、(本题 10 分) 设 f1, f2, . . . , fn 为 [0, 1] 上的非负连续函数. 求证: 存在 ξ ∈ [0, 1], 使得 ∏n k=1 fk(ξ) ≤ ∏n k=1 ∫ 1 0 fk(x) dx. 证明: 记 ak = ∫ 1 0 fk(x) dx, ∀ k = 1, 2, . . . , n. 当某个 ak = 0 时, 结论是平凡的. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 分) 下设 ak > 0 ( ∀ k = 1, 2, . . . , n). 我们有 ∫ 1 0 n vuut ∏n k=1 fk(x) ak dx ≤ ∫ 1 0 1 n ∑n k=1 fk(x) ak dx = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分) 由此立即可得存在 ξ ∈ [0, 1] 使得 n vuut ∏n k=1 fk(ξ) ak ≤ 1. 结论得证. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) ✷ 第2页 ( 共 13页)