、(本题15分)设F是数域F上的n维列空间,o:Fn→Fn是一个线 性变换.若ⅤA∈Mn(F),o(Aa)=Ao(a),(Va∈V),证明:σ=入·idrx,其中λ 是F中某个数,idn表示恒同变换 证明:设σ在Fn的标准基a1,…,En下的矩阵为B,则a(a)=Ba(a∈ (5分) 由条件:VA∈Mn(F),o(Aa)=Ao(a),Va∈Pn,有BAa=ABa,Va∈Fn 故AB=BA,(VA∈Mn(F) (10分) 设B=(by),取A=diag(1,…,1,c,1,…,1),其中c≠0,1,由AB=BA可 得b=0,Vi≠j又取A=ln-En-E+E+E,这里Et是(st)-位置 为1其它位置为0的矩阵则由AB=BA可得a=ay,(Vi,j).取入=a1.故 B=AIn,从而a=A·id 分) 第3页(共13页三、 (本题 15 分) 设 F n 是数域 F 上的 n 维列空间, σ : F n → F n 是一个线 性变换. 若 ∀ A ∈ Mn(F), σ(Aα) = Aσ(α), ( ∀ α ∈ V ), 证明: σ = λ · idF n , 其中 λ 是 F 中某个数, idF n 表示恒同变换. 证明: 设 σ 在 F n 的标准基 ε1, · · · , εn 下的矩阵为 B, 则 σ(α) = Bα ( ∀ α ∈ F n ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) 由条件: ∀ A ∈ Mn(F), σ(Aα) = Aσ(α), ∀ α ∈ F n , 有 BAα = ABα, ∀ α ∈ F n . 故 AB = BA, ( ∀ A ∈ Mn(F)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) 设 B = (bij ), 取 A = diag (1, · · · , 1, c, 1, · · · , 1), 其中 c ̸= 0, 1, 由 AB = BA 可 得 bij = 0, ∀ i ̸= j. 又取 A = In − Eii − Ejj + Eij + Eji, 这里 Est 是 (s t)− 位置 为 1 其它位置为 0 的矩阵.则由 AB = BA 可得 aii = ajj , ( ∀ i, j). 取 λ = a11. 故 B = λIn, 从而 σ = λ · idF n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15 分) 第3页 ( 共 13页)