四、(本题10分)对于△ABC,求3sinA+4sinB+18inC的最大值 解答:三角形三个角A,B,C的取值范围为 (A,B,C)∈D≡{(a,B,0)a+B+ 0,6>0,y> 我们首先考虑3sinA+4sinB+18sinC在D的闭包 E={(a,B,)a+B+y=丌,a≥0,B≥0,≥0} 上的最大值 (1分) 我们有 (3sin A+ 4 sin B+18 sin C) max(3 max Ina A++4 sin C cos A+18 sin C 3+4 cos C)2+16sin-C+18 sin C 0<C<丌 (√25+24cosC+18sinC (4分) 考虑 f(C) C+18sinC,0<C≤ 易见 (C)≥f(x-C),VC∈0, (5分) 直接计算得 f(C)=18 cos C √25 (6分) 计算得f"(C)=0等价于 1)( C+32cosC+4)=0. 第4页(共13页)四、 (本题 10 分) 对于 ∆ABC, 求 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 的最大值. 解答: 三角形三个角 A, B, C 的取值范围为 (A, B, C) ∈ D ≡ {(α, β, γ)|α + β + γ = π, α > 0, β > 0, γ > 0} . 我们首先考虑 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 在 D 的闭包 E = {(α, β, γ)|α + β + γ = π, α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0} 上的最大值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 分) 我们有 max (A,B,C)∈E (3 sin A + 4 sin B + 18 sin C) = max A+C≤π A,C≥0 (3 sin A + 4 sin(A + C) + 18 sin C) = max 0≤C≤π max 0≤A≤π−C ( (3 + 4 cos C) sin A + +4 sin C cos A + 18 sin C ) = max 0≤C≤π (√ (3 + 4 cos C) 2 + 16 sin2 C + 18 sin C ) = max 0≤C≤π ( √ 25 + 24 cos C + 18 sin C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 分) 考虑 f(C) = √ 25 + 24 cos C + 18 sin C, 0 ≤ C ≤ π. 易见 f(C) ≥ f(π − C), ∀ C ∈ [0, π 2 ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) 直接计算得 f ′ (C) = 18 cos C − 12 sin C √ 25 + 24 cos C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分) 计算得 f ′ (C) = 0 等价于 (8 cos C − 1)(27 cos2 C + 32 cos C + 4) = 0. 第4页 ( 共 13页)