Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3. by D.Q. Dai, 2005 定义:函数∈L2(R)称为二进小波v的二进对偶,若 f()=∑/(w0)20(2(t-b)dbf∈D2(R) 二进对偶ψ也许不是唯一的,就象对偶框架的情形一样。对于稳定的二进小波,我们总 可以构造它的对偶二进小波 定理7:设函数v(t)是由它的 Fourier变换v(u)所定义 则v是稳定的二进小波,即有 ∑|(2-)≤ 而且,U是v的二进对偶 证明:注意到,(12)式的分母是2伸缩不变的,因而我们有 ∑(2-)P ∑;v(2-)P2 ∑kv(2-k)|2)2∑kv(2-b)2 由(9)推得(13) 下面证明是v的二进对偶。我们有 ∑,」W)(b)·20(2(t-b) ∑,1/(2x)f()(2-1)v(2-)e“d t 其中,我们利用了公式h1*h2=F-1(h1h2),并将第一式写为卷积的形式 3 Holder正则性刻划 连续小波变换可以用来刻划函数的光滑性 定义:函数∫在R上是指数a(0<a≤1) Holder连续的,若 f(t)-f(s)≤K|t-s",vt,s∈R. 定理8:设函数v满足∫(1+1)v(t)dt<+∞,v(0)=0.若函数f是a- Holder连续的,则有 I(W∫)(s,b)=|<f,vsb>|≤Cls 证明:由于∫v(1)dt=0,我们有Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3, by D.Q. Dai,2003 8 定义：函数ψ˜ ∈ L 2 (R)称为二进小波ψ的二进对偶，若 f(t) = X j Z +∞ −∞ (Wjf)(b) · 2 jψ˜(2j (t − b))db, ∀f ∈ L 2 (R). 二进对偶ψ˜也许不是唯一的，就象对偶框架的情形一样。对于稳定的二进小波，我们总 可以构造它的对偶二进小波。 定理7: 设函数ψ˜(t)是由它的Fourier变换ψ ˆ˜(ω)所定义 ψ ˆ˜(ω) = ψˆ(ω) P k ¯ ¯ ¯ψˆ(2−kω) ¯ ¯ ¯ 2 . (12) 则ψ˜是稳定的二进小波，即有 1 B ≤ X j ¯ ¯ ¯ψ ˆ˜(2−jω) ¯ ¯ ¯ ≤ 1 A , (13) 而且，ψ˜是ψ的二进对偶。 证明： 注意到，(12)式的分母是2 j伸缩不变的，因而我们有 X j |ψ ˆ˜(2−jω)| 2 = P j |ψˆ(2−jω)| 2 ( P k |ψˆ(2−kω)| 2 ) 2 = 1 P k |ψˆ(2−kω)| 2 . 由(9)推得(13). 下面证明ψ˜是ψ的二进对偶。我们有 P j R ∞ −∞(Wjf)(b) · 2 jψ˜(2j (t − b))db = P j 1/(2π) R ∞ −∞ ˆf(ξ) ˆ ψ(2−j )ψ ˆ˜(2−j ξ)e itξdξ = 1/(2π) R ∞ −∞ ˆf(ξ)e itξdξ = f(t), 其中，我们利用了公式h1 ∗ h2 = F −1 (hˆ 1hˆ 2), 并将第一式写为卷积的形式。 3 H¨older正则性刻划 连续小波变换可以用来刻划函数的光滑性。 定义： 函数f在R上是指数α(0 < α ≤ 1)H¨older连续的，若 |f(t) − f(s)| ≤ K|t − s| α , ∀t, s ∈ R. 定理8： 设函数ψ满足 R (1 + |t|)|ψ(t)|dt < +∞, ψˆ(0) = 0. 若函数f是α-H¨older连续的，则有 |(W f)(s, b)| = | < f, ψs,b > | ≤ C|s| α+1/2 . 证明：由于R ψ (t) dt = 0，我们有