Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3. by D.Q. Dai, 2005 9 f,vb)=1-/v ((t)-f(b))dt 所以 《f,vsb ≤|s∫|(t32)|·k|t-bdt ≤k|s+∫lv(t) tl dt 我们也有如下的反向结果 定理9:设是紧支集的小波函数。假定∫∈L(R),连续且有界。若对某α∈(O,1),它的小 波变换满足 <f,b>≤k|s+ 则∫是a- Holder连续的。 证:取连续可微,紧支的函数v2,使得v2(0)=0.C2=1则由定理4有 f(t) 广厂< v2.s b(t)db 我们将关于的积分分为两部分,并分别记为f(t)(大尺度,|s≥1)和∫(t)(小尺 度s,|s≤1) 我们将证明f(t)总是正则的, )f(t)关于t一致有界 fL(≤∫∫f·b·|2b()db ≤C∫#∫|-|v2(+2)db ≤C∫|slv2llds≤C"<∞ s≥1 2)对H<1,有f(t+b)-f(t川≤CHh IfL(t+h)-fc(t) s Jsl>1 s -oo db -oo dyl f(y)lv(y-b)s)lv2((t+h-b/s)-v2((t-b)/s) 由于|2(2+1)-2(2)≤团,且对某个R>0,supp,supp2c[R,F],因而上式不超过 CIhIJisp21lsr-4ds jio-tlklslR+1 db y-bkIsR If(y)ldy ≤C"hlJp21s=as y-t≤2|sR+1 f(yldy ≤C"hf1s-3(4s+2)/ds ≤C"|hLecture Notes on Wavelets, Chapter 3, by D.Q. Dai,2003 9 hf, ψs,bi = |s| − 1 2 Z ψ µ t − b s ¶ (f(t) − f(b))dt 所以 |hf, ψs,bi| ≤ |s| − 1 2 R ¯¯ψ ¡ t−b s ¢¯¯ · k |t − b| α dt ≤ k |s| α+ 1 2 R |ψ(t)| |t| α dt ≤ k 0 |s| α+ 1 2 . 我们也有如下的反向结果： 定理9：设ψ是紧支集的小波函数。假定f ∈ L 2 (R)，连续且有界。若对某α ∈ (0, 1)，它的小 波变换满足 |< f, ψs,b >| ≤ k |s| a+ 1 2 则f是α-H¨older连续的。 证：取连续可微，紧支的函数ψ2，使得ψˆ 2(0) = 0, Cψ,ψ2 = 1则由定理4有 f(t) = Z +∞ −∞ ds s 2 Z +∞ −∞ < f, ψs,b > ψ2,s,b(t)db. 我们将关于s的积分分为两部分，并分别记为fL(t)( 大尺度s, |s| ≥ 1)和fs(t)( 小尺 度s, |s| ≤ 1)。 我们将证明fL(t)总是正则的， 1）fL(t)关于t一致有界， |fL(t)| ≤ R |s|≥1 ds s 2 R +∞ −∞ kfk · kψs,bk · |ψ2,s,b(t)|db ≤ C R |s|≥1 ds s 2 R +∞ −∞ |s| − 1 2 |ψ2 ¡ t−b s ¢ |db ≤ C R |s|≥1 |s| − 3 2 ||ψ2||L1 ds ≤ C 0 < ∞. 2）对∀|h| < 1, 有|fL(t + h) − fL(t)| ≤ C|h|. |fL(t + h) − fL(t)| ≤ R |s|≥1 ds |s| 3 R ∞ −∞ db R ∞ −∞ dy|f(y)||ψ((y − b)/s)||ψ2((t + h − b)/s) − ψ2((t − b)/s)|. 由于|ψ2(z + t) − ψ2(z)| ≤ |t|, 且对某个R > 0, suppϕ,suppψ2 ⊂ [−R, R], 因而上式不超过 ≤ C|h| R |s|≥1 |s| −4ds R |b−t|≤|s|R+1 db R |y−b|≤|s|R |f(y)|dy ≤ C 0 |h| R |s|≥1 |s| −3ds R |y−t|≤2|s|R+1 |f(y)|dy ≤ C 00|h|kfk R |s|≥1 |s| −3 (4|s|R + 2)1/2ds ≤ C 000|h|