Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3. by D.Q. Dai, 2005 由第一步的结果,当>1式,我们显然有L(t+h)-f(t≤Ch.至此,我们还未用到 关于小波系数的条件 3)fs(t)关于t一致有界 Is(t)l s Jssi s5-oo I<f, vs, b>llv 2,., (t)ldb ≤Ks卖/p +1/21c|-1/ l2((t-b/s)ldb ≤Kl2+snls-tod 4)当<1时,(t+h)-f(t)≤Ch Is(t+h)-fs(t) ≤4s11<f,b>|-1(t+h-b)/s)-2(t-b/)|b ≤s2厂-dse(a2(t+h-b)/s)+12(t-b)/s) h≤|sk≤1 b≤|sR+|h s°C|hb/sdb s Cllvall2 sksh Is1-1sllsds+C"<lsks1 Isr-3ta(Is)R+ Ihp)ds ≤C"|h°. 定理8和定理9刻划了整体H6lder连续性。对于局部连续性,我们有如下的结果。它们首 先被 Holschneider/n Tchmitchian用来研究 Riemann函数∑m=1m-2sin(n2r)的可微性 定理10:设函数满足∫(1++()d<+和(0)=0.若函数f有界,且在to有a(0< a≤1)阶 Holder连续性,即 f(to+h)-f(to)≤C|h|°. I<f,/s, to+6>|< C1s) 1/(lsla+ bl9) 证:通过平移,我们可以置to=0.由∫v(t)dt=0,得 <f,℃s.b> fIf(t)-f(O)1lsl-1/2l(t-b)s)ldt ≤C∫+s-1(t-b)/s)t ≤Cl+12∫y+b/s|(y)dy ≤C"ls+2∫(y+|b/s9)(y)dy Cs|1/()a+ bg) 反之,我们有 定理1:设小波函数ψ有紧支集。函数∫∈L2(R)连续有界。若对某个>0和a∈(0,1,有 ≤C|s+关于b一致 和 (,)≤C中( log bllLecture Notes on Wavelets, Chapter 3, by D.Q. Dai,2003 10 由第一步的结果，当|h| > 1式，我们显然有|fL(t + h) − fL(t)| ≤ C|h|. 至此，我们还未用到 关于小波系数的条件。 3）fs(t)关于t一致有界. |fs(t)| ≤ R |s|≤1 ds s 2 R ∞ −∞ | < f, ψs,b > ||ψ2,s,b(t)|db ≤ K R |s|≤1 ds s 2 R ∞ −∞ |s| α+1/2 |s| −1/2 |ψ2((t − b)/s)|db ≤ Kkψ2k1 R |s|≤1 |s| −1+αds ≤ C < ∞. 4）当|h| < 1时, |fs(t + h) − fs(t)| ≤ C|h| α . |fs(t + h) − fs(t)| ≤ R |s|≤1 ds s 2 R ∞ −∞ | < f, ψs,b > ||s| −1/2 |ψ2((t + h − b)/s) − ψ2((t − b)/s)|db ≤ R |s|≤|h| ds s 2 R ∞ −∞ db|s| α (|ψ2((t + h − b)/s)| + |ψ2((t − b)/s)|) + R |h|≤|s|≤1 ds s 2 R |t−b|≤|s|R+|h| |s| αC|h/s|db ≤ C 0kψ2k2 R |s|≤h |s| −2 |s| α |s|ds + C 00|h| R |h|≤|s|≤1 |s| −3+α (|s|R + |h|)ds ≤ C 000|h| α . 定理8和定理9刻划了整体H¨older连续性。对于局部连续性，我们有如下的结果。它们首 先被Holschneider和Tchmitchian用来研究Riemann函数 P∞ n=1 n −2 sin(n 2πt)的可微性。 定理10： 设函数ψ满足 R (1 + |t|)|ψ(t)|dt < +∞和ψˆ(0) = 0. 若函数f有界，且在t0有α(0 < α ≤ 1)阶H¨older连续性，即 |f(t0 + h) − f(t0)| ≤ C|h| α . 则 | < f, ψs,t0+b > | ≤ C|s| 1/2 (|s| α + |b| α ). 证：通过平移，我们可以置t0 = 0. 由 R ψ(t)dt = 0, 得 | < f, ψs,b > | = R |f(t) − f(0)||s| −1/2 |ψ((t − b)/s)|dt ≤ C R |t| α |s| −1/2 |ψ((t − b)/s)|dt ≤ C|s| α+1/2 R |y + b/s| α |ψ(y)|dy ≤ C 0 |s| α+1/2 R (|y| α + |b/s| α )|ψ(y)|dy ≤ C 00|s| 1/2 (|s| α + |b| α ). 反之，我们有 定理11: 设小波函数ψ有紧支集。函数f ∈ L 2 (R)连续有界。若对某个γ > 0和α ∈ (0, 1], 有 |hf, ψs,bi| ≤ C |s| r+ 1 2 关于b 一致 和 |hf, ψs,b+t0 i| ≤ C |s| 1 2 µ |s| α + |b| α |log |b||¶