证]令今g(x)=(x),则g(x)=f(-1(x)=1(x(x)-x(),其中0<5 x (4分)因为f(x)为([0,+∞)上的单调增函数,于是∫(x)>f(5),g'(x)>0 所以g(x)s(x) 在(0,+∞)上单调增加。(7分) 20设/()在102上连统,在(.2)内可导,且满足[2c3x/()d=0,证明 至少存在一点5∈(0,),使得∫(5)=2f()tang.(8分) 证]首先由∫cos2x(x)=0,则3∈(0,2),使得cos2x/(x)=0 但cosx0≠0,→f(x0)=0。(3分)另外由积分中值定理得到,取辅助函数 (x)=cos2xf(x),则q(x)在[O,]上连续,在(0,)内可导,(5分) 且9(x)=0,y()=0,因此35∈(xn,)c(0, 使得φ'(2)=-2snco5f(5)+cos25(5)=0,即有f'()=2f()tan5.(8分) 五.(附加题,选做)未得满分者,此题全对,可加3-5分 21.设0<a<b<1,证明不等式 arctan b- arctan a< [证]只须证明 arctan b-arctan a 在[a,b]上用 Lagrange微分中值定理, b arctan b-arctan a a 266·(a<5<b)。[证] 令 x f x g x ( ) ( ) = ，则 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) xf x xf  x x f x x f x g x − =  −    = 2 2 1 ，其中 0    x ， （4 分）因为 f (x) 为 ([0 , + ) 上的单调增函数，于是 f (x)  f ( ) ， g (x)  0， 所以 x f x g x ( ) ( ) = 在 (0 , + ) 上单调增加。（7 分） 20. 设 f (x) 在 [ , ] 2 0  上连续，在 ( , ) 2 0  内可导，且满足 0 2 0 2  =  cos x f (x) dx  ,证明: 至少存在一点 ( , ) 2 0    ，使得 f ( ) = 2 f ( )tan .（8 分） [证] 首先由 0 2 0 2  =  cos x f (x) dx  ，则 ( , ) 2 0 0  x  ，使得 0 0 0 2 cos x f (x ) = 但 cos x0  0, f (x0 ) = 0。（3 分）另外由积分中值定理得到，取辅助函数 (x) cos xf(x) 2  = ，则 (x) 在 [ , ] 2 0  上连续，在 ( , ) 2 0  内可导，（5 分） 且 0 2 ( 0 ) = 0, ( ) =   x  ，因此 ( , ) ( , ) 2 0 2 0     x  ， 使得 2 0 2 () = − sin  cosf () + cos f () = ，即有 f ( ) = 2 f ( )tan .（8 分） 五．（附加题，选做）未得满分者，此题全对，可加 3-5 分。 21. 设 0  a  b 1 ，证明不等式 ab b a b a 2 − arctan − arctan  . [证] 只须证明 b a ab b a 2 1  − arctan − arctan ，在 [a,b] 上用 Lagrange 微分中值定理， b a a a b ab b a 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2  +  +  + = − −  arctan arctan ，（ a    b ）