于是→lm[f(x)-x=e3.(8分 注:若由m2(x)-lx=41mf(x)-1=4mf(x) 得出m[f(x)x=e°,应扣2分 7.假设区域D由曲线y=px3(y>0,P>0)及其过点(,p)的切线与x轴围成,设此区域 的形心为(X,Y),(1)求X的值;(2)求p的值,使区域D绕y轴旋转一周而生成的 旋转体体积为7 丌。(10分) (A p,M 12 135b,r4 15 135 mp,p 解=3pm=3p,切线为y=p+3p(x-1)。与轴交点为(23,0)(2分) ,(4分) M,=J-以P+3x=在 (px-2 ka 8 P 279135 =,(7分 13545 13i2=14 y=2z4=2x84.1 7 1352,P (10分) 18设>0,f(x)在[-8,8]上有定义,f(O)=1,且满足m21-2x)+2xf(x)=0 考察函数f(x)在x=0处的可微性,若可微,则求∫'(0)。 (6分) 4x2+o(x2)+2xf(x) 解]m1-2x)+2(x)=m (3分) x→0 f(x)-1 2+0=0,(5分)因此极限mf(x)-x=1存在, 于是函数f(x)在x=0处可微,且f'(0)=1。(6分) 四.解答题(共15分) 19.设∫'(x)为(0,+∞)上的单调增函数,f(0)=0,试讨论函数 f(x) 在(0,+∞)上 的增减性。(7分)于是 1 8 2 0 f x e x x x  = − → cos lim[ ( )] .（8 分） 注：若由 8 1 4 1 4 2 1 0 0 2 2 0 1 =  = − = − → → → ( ) lim ( ) lim [ ( ) ] lim f x x f x x f x x x x x 得出 1 8 0 f x e x x x = − → cos lim[ ( )] ，应扣 2 分. 17. 假设区域 D 由曲线 ( 0, 0) 3 y = px y  P  及其过点 (1, p) 的切线与 x 轴围成，设此区域 的形心为 (X,Y) ，（1）求 X 的值；（2）求 p 的值，使区域 D 绕 y 轴旋转一周而生成的 旋转体体积为  135 7 Vy = 。（10 分） （ A p 12 1 = ， M y p 135 7 = ， 15 4 X = ， 2 1 135 14 Vy = p, p = ） [解] y px p x x 3 3 1 2 1  = = = = ，切线为 y = p + 3p(x −1) 。与轴交点为 ( ,0) 3 2 （2 分） A px dx p p 12 1 6 1 1 0 3 = − =  ，（4 分） p px px dx p p p M px xdx p p x xdx y 135 7 9 4 1 27 8 1 5 1 3 2 5 1 3 1 1 3 2 2 1 3 2 1 0 3 = − − = − − − + = =  − + −    ( ) ( ) [ ( )] 45 28 135 84 X = = ， （7 分） 2 1 135 7 135 14 12 1 135 84 Vy = 2XA = 2  p = p =  , p = 。（10 分） 18. 设   0， f (x) 在 [− , ] 上有定义， f (0) = 1,且满足 0 1 2 2 2 0 = − + → x x xf x x ln( ) ( ) lim , 考察函数 f (x) 在 x = 0 处的可微性，若可微，则求 f (0)。 1 （6 分） [解] 2 0 1 2 2 x x xf x x ln( ) ( ) lim − + → 2 2 2 0 4 2 2 1 2 x x x o x xf x x ( ) ( ) lim − −  + + = → （3 分） 2 0 0 1 2 0 − + = − = → x f x x ( ) lim ，（5 分） 因此极限 1 0 = − → x f x x x ( ) lim 存在， 于是函数 f (x) 在 x = 0 处可微，且 f (0) = 1。（6 分） 四. 解答题（共15分） 19．设 f (x) 为 ([0 , + ) 上的单调增函数， f (0) = 0 ，试讨论函数 x f (x) 在 (0 , + ) 上 的增减性。（7 分）