·262· 北京科技大学学报 第36卷 (7) p()p() p(zln:)×p(n)]= 式中表示观察点z4=,x门T在第i聚类(i= p(x,h)= 1,2,…,c）的隶属程度，m∈1，）是决定所产生模 名p,）= 糊聚类的加权指数；D(z,n:)表示数据点和聚类原 (n)xp(e.In)p(n). (13) 型的距离.通过此方法，令时间作为一个变量，将数 即 据建模为一个混合多元高斯分布，以此来减少数据 (14) 点z4=,x]T和聚类原型n:间的加权距离平 p(zln)=p(tln:)xp(xn:). 定义4由于距离D(z4,n:)和隶属概率p(zI 方和. n:)存在反比关系，则定义距离函数为 为了避免出现局部最优现象，达到聚类结果所 产，n)=a:xp4ln,）×p(x.In）.(15) 1 要求的效率和精度，文中选择基于均值标准差的定 心法作为MTSCA聚类算法初始聚类中心，公式为 其中：第一项a:表示为聚类的先验概率；第二项p m=u-o+2-）, (4ln:)表示为第k个数据点到第i次时间聚类中心 i=1,2,…,k:l=1,2,…,9. (8) 的距离，用公式表示为 式中，μ为均值，σ为标准差，k为第k个聚类，q为 多维数据的维度. )w." (16) 在主成分分析完成后，可以得到初始聚类原型 n:={,F:,t,σxp(n)},并通过最小化目标函数 第三项p(xk|n:)表示聚类原型到特征空间数据之 间的距离，用公式表示为 (7)获得聚类原型的最佳参数.其约束条件为： [U=μ.t]exyI u.k∈0,1]，i,k; p(xn)=(2m)x det(F )x =1,: (9) ep[2(x-)'px-]}. (17) 式中，为特征空间中第i次时间聚类中心的坐标， l0<∑<N,i. r表示与i次聚类相关的距离所表示的模糊协方差 由此，聚类原型n:中的各个参数如下 矩阵F,的秩 聚类的先验概率： 通过上述公式，计算出D(z4,n),并通过迭代 (10) 更新矩阵： 聚类中心： a0= (18) D(zn:)/D(z,n]2-) ∑(u.)"(x4-W,y.) 式中，1≤i≤c,1≤k≤N.对l=1,2,…,进行迭代， V= (11) ( 当满足收敛条件‖U0-U1-)‖<ε时，迭代停止. 1.3多元时间序列聚类合并 时间模型参数，中心和标准差： 通过计算相邻分段之间的目标函数，反复合并 N 两个最低目标段并使其满足条件为止.通过采用递 、，)2 归聚类合并方法来评估相邻聚类之间的相似性，并 (i.)m 以此来合并相互相似的聚类.在这个合并和重新聚 类的过程中，聚类的数目逐渐减少，直到找到一个适 (12) 当的聚类数.这个合并过程基于主成分分析模型之 根据Gath-Geva聚类算法由p(z.ln:)表示隶属 间相似性模糊决策算法来进行控制. 于第i次聚类中数据点z4的概率，数据点z4=, 两个主成分模型的相似性可以通过主成分相似 x门T,则联合密度函数p(z)=p(x4,l4)中的两个相 因子SA来决定.数据集的两个部分S,和S的 互独立变量t:和x:可建模为一个n+1维的高斯混 PCA模型都由g个主成分构成，则相似因子S可 合函数，则有 表示为北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 J = ∑ c i = 1 ∑ N k = 1 ( μi，k ) m D2 ( zk，ηi ) ． ( 7) 式中: μi，k表示观察点 zk =［tk，xT k］T 在第 i 聚类( i = 1，2，…，c) 的隶属程度，m∈［1，∞ ) 是决定所产生模 糊聚类的加权指数; D2 ( zk，ηi ) 表示数据点和聚类原 型的距离． 通过此方法，令时间作为一个变量，将数 据建模为一个混合多元高斯分布，以此来减少数据 点 zk = ［tk，xT k］T 和聚类原型 ηi 间的加权距离平 方和． 为了避免出现局部最优现象，达到聚类结果所 要求的效率和精度，文中选择基于均值标准差的定 心法作为 MTSCA 聚类算法初始聚类中心，公式为 mil = ( μl － σl ) + 2σl k － 1( i － 1) ， i = 1，2，…，k; l = 1，2，…，q． ( 8) 式中，μ 为均值，σ 为标准差，k 为第 k 个聚类，q 为 多维数据的维度． 在主成分分析完成后，可以得到初始聚类原型 ηi = { vx i ，Fi，v t i，σ2 i，x，p( ηi ) } ，并通过最小化目标函数 ( 7) 获得聚类原型的最佳参数． 其约束条件为: U = ［μi，k ］c ×N | μi，k ∈［0，1］，i，k; ∑ c i = 1 μi，k = 1，k; 0 ＜ ∑ c i = 1 μi，k ＜ N，        i． ( 9) 由此，聚类原型 ηi 中的各个参数如下． 聚类的先验概率: p( ηi ) = 1 N ∑ N k = 1 μi，k ． ( 10) 聚类中心: vx i = ∑ N k = 1 ( μi，k ) m ( xk － Wi ，〈yi，k〉) ∑ N k = 1 ( μi，k ) m ． ( 11) 时间模型参数，中心和标准差: v t i = ∑ N k = 1 ( μi，k ) m tk ∑ N k = 1 ( μi，k ) m ，σ2 i，x = ∑ N k = 1 ( μi，k ) m ( tk － vt k ) 2 ∑ N k = 1 ( μi，k ) m ． ( 12) 根据 Gath-Geva 聚类算法由 p( zk | ηi ) 表示隶属 于第 i 次聚类中数据点 zk 的概率，数据点 zk =［tk， xT k］T ，则联合密度函数 p( zk ) = p( xk，tk ) 中的两个相 互独立变量 tk 和 xk 可建模为一个 n + 1 维的高斯混 合函数，则有 p( zk ) = ∑ c i = 1 p( zk，ηi ) = ∑ c i = 1 ［p( zk | ηi ) × p( ηi ) ］= p( xk，tk ) = ∑ c i = 1 p( xk，tk，ηi ) = ∑ c i = 1 ［p( tk | ηi ) × p( xk | ηi ) p( ηi ) ］． ( 13) 即 p( zk | ηi ) = p( tk | ηi ) × p( xk | ηi ) ． ( 14) 定义 4 由于距离 D2 ( zk，ηi ) 和隶属概率 p( zk | ηi ) 存在反比关系，则定义距离函数为 1 D2 ( zk，ηi ) = ai × p( tk | ηi ) × p( xk | ηi ) ． ( 15) 其中: 第一项 ai 表示为聚类的先验概率; 第二项 p ( tk | ηi ) 表示为第 k 个数据点到第 i 次时间聚类中心 v t i 的距离，用公式表示为 p( tk | ηi ) = 2 { πσ2 槡 i，t × exp [ 1 2 ·( tk － v t i ) 2 σ2 i， ] } t － 1 ; ( 16) 第三项 p( xk | ηi ) 表示聚类原型到特征空间数据之 间的距离，用公式表示为 p( xk | ηi ) = { ( 2π) r 2 × det 槡 ( Fi ) × [ exp 1 2 ( xk － v x i ) T F － 1 i ( xk － v x i ) ] } － 1 ． ( 17) 式中，v x i 为特征空间中第 i 次时间聚类中心的坐标， r 表示与 i 次聚类相关的距离所表示的模糊协方差 矩阵 Fi 的秩． 通过上述公式，计算出 D2 ( zk，ηi ) ，并通过迭代 更新矩阵: μ ( l) i，k = 1 ∑ c j = 1 ［D( zk，ηi ) /D( zk，ηj ) ］2 /( m －1) ． ( 18) 式中，1≤i≤c，1≤k≤N． 对 l = 1，2，…，进行迭代， 当满足收敛条件‖U( l) － U( l － 1) ‖ ＜ ε 时，迭代停止． 1. 3 多元时间序列聚类合并 通过计算相邻分段之间的目标函数，反复合并 两个最低目标段并使其满足条件为止． 通过采用递 归聚类合并方法来评估相邻聚类之间的相似性，并 以此来合并相互相似的聚类． 在这个合并和重新聚 类的过程中，聚类的数目逐渐减少，直到找到一个适 当的聚类数． 这个合并过程基于主成分分析模型之 间相似性模糊决策算法来进行控制． 两个主成分模型的相似性可以通过主成分相似 因子 SPCA 来决定． 数据集的两个部分 Si 和 Sj 的 PCA 模型都由 q 个主成分构成，则相似因子 Si，j PCA可 表示为 · 262 ·