2sin e de d sin 0de 1-cos20)d cos0 例8计算二重积分e,其中D为圆形区域x2+y2≤R 解在极坐标系中,闭区域D可表示为 0≤r≤R,0≤0≤2丌 则 dhy e arab= e ro 2丌:-1-e 利用上面结果,我们可以计算广义积分。e-d.设 D={(x,y)x2+y2≤R2,x20,y≥ xy)|2+y2≤R2,x≥0y≥0 D={(xy)0≤xsR0≥y≥R 显然DcD2cD3(见图6-39)由于e 从而在这些闭区域上的二重积 分之间有不等式 evx2-y dxdy <lle dxdy <lle-ydxdy 因为 e e e2sin 3 2sin 2 0 0 0 0 3 r d r dr d         = =        ( ) 3 2 0 0 8 8 sin 1 cos cos 3 3 d d   = = − −       3 0 8 1 cos cos 3 3      = − −     8 4 32 . 3 3 9   = −  − =     例 8 计算二重积分 ( ) 2 2 x y D e dxdy − +  ，其中 D 为圆形区域 2 2 2 x y R +  . 解 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 0 ,  r R 0 2 ,     则 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 R x y R r r r D D e dxdy e rdrd d e rdr e d      − + − − −   = = = −         ( ) ( ) 1 2 2 2 1 1 . 2 R R   e e − − =  − = − 利用上面结果，我们可以计算广义积分 2 0 . x e dx + −  设 ( )  2 2 2 1 D x y x y R x y = +    , , 0, 0 , ( )  2 2 2 2 D x y x y R x y = +    , , 0, 0 , D x y x R y R 3 =     ( , 0 ,0 . )  显然 D D D 1 2 3   （见图 6-39）.由于 2 2 0, x y e − −  从而在这些闭区域上的二重积 分之间有不等式 2 2 2 2 2 2 1 3 2 . x y x y x y D D D e dxdy e dxdy e dxdy − − − − − −      因为 ( ) 2 2 2 2 2 3 2 0 0 0 . R R R x y x y x D e dxdy e dx e dy e dx − − − − − = =    