高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 偏导数∫，(xo,y),就是这曲线在点M。处的切线MT对x轴的斜率.同样，偏导数 ∫，(xo,yo)的几何意义是曲面被平面x=x。所截得的曲线在点M。处的切线MT,对y轴 的斜率。 我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续.但对于多元函 数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续，这是因为各偏导数存在 只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P时，函数值f(P)趋于f(P。),但不能保证点 P按任何方式趋于P,时，函数值f(P)都趋于f(P),例如，函数 =川=+少，x+y2≠0， 0, x2+y2=0, 在点(0,0)对x的偏导数为 f,(0,0)=l1im f0+△x,0)-f0,0=0 △x 同样有 f,(0,0)=lim f(0,0+△y)-f(0,0=0 △y-0 △y 但是我们在第一节中已经知道这函数在点(0,0)并不连续， 二、 高阶偏导数 设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数 正=f(x,, E 正=f,x,川， 那么在D内∫(x,y)、f,(x,y)都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在，则 称它们是函数 z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数： 8(oz8z =f(x,y), ayax)axo -=f(x,y), 00z∂2z =f(x,y), =f(x,y) Oyax dy(av