=Xx-x)+(x)-1(x)+1,Vm)x-x)<(2M+)…(5分) (2)不一定 (6分) 令(x)=1x2+,则f(x)=imnf(x)在[a上不能保证处处可导(10分) 得分 五、(10分)设a=[Fmd,证明∑发 sin t 评阅人 sin nt dt dt=1,+I (3分) sI sint sin nt 1= dt<nIntdt= n (5分) l2 dt (7分) (8分) 因此ax,由此得到∑发散 (10分) 得分 (15分)fxy)是{(xy)1x2+y2s1上二次 评阅人 连续可微函数,满足0faf 积分 f 解:采用极坐标x=rcs,y= raine,则 1= dr cos.---- at+ sine grde=」x以(ay d-dx(6分) ay (-,) (10分) 第5页(共6页)第 5 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： '( )( ) ( ) ( ) '( )( ) m j mj nj n j = −+ − + − f ξ η xx f x fx f xx < + (2 1 M )ε . …（5 分) （2）不一定. ……………………………（6 分) 令 2 1 ( ) nfx x n = + ，则 ( ) lim ( ) n n f x fx →∞ = 在[a b, ]上不能保证处处可导.（10 分) 五、（10 分）设 3 2 0 sin sin n nt a t dt t π = ∫ ， 证明 1 1 n n a ∞ = ∑ 发 散. 解： 3 3 3 2 2 1 2 0 0 sin sin sin sin sin sin n n nt nt nt t dt t dt t dt I I ttt π ππ ∫∫∫ = + =+ π ……. （3 分) 3 2 3 1 0 0 sin sin 2 n n nt n I t dt n tdt t π π π = <= ∫ ∫ ， ………………………（5 分) 3 3 3 22 2 2 sin 1 sin 2 8 nn n nt I t dt t dt d tt t ππ π ππ π ⎛ ⎞ ⎛⎞ π π = < ⋅ =− ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ∫∫ ∫ ………..（7 分) 3 2 2 8 8 π n n π π π ⎛ ⎞ = −< ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . …………..（8 分) 因此 2 1 1 n a n π > ，由此得到 1 1 n n a ∞ = ∑ 发散. ……………………（10 分) 六、（15 分） f (, ) x y 是{ } 2 2 ( , )| 1 xy x y + ≤ 上二次 连续可微函数，满足 2 2 2 2 2 2 f f x y x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ，计算 积分 2 2 x y 1 22 22 xf yf I dxdy xy xy x y + ≤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ + + ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫∫ . 解： 采用极坐标 xr yr = cos , sin θ = θ ，则 1 2 0 0 cos sin f f I dr rd x y π θ θ θ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = ⋅+ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫ 2 22 1 0 xyr f f dr dy dx x y + = ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫ …..（6 分) 2 22 1 2 2 0 xyr f f dr dxdy x y + ≤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ 2 22 ( ) 1 2 2 0 xyr dr x y dxdy + ≤ = ∫ ∫∫ ……. （10 分) 得 分 评阅人 得 分 评阅人