龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程一与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第13章金融证券未定权益的定价 1 Black- Scholes模型的欧式未定权益的定价 1.1术语与基本假定 概念13.1(可行市场)研究金融市场有一个基本的假定,就是无套利原则,也 称套利原则,这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会.(套利的粗略含义是,在开 始时无资本,经过资本的市场运作后,变成有非负的(随机)资金,而且有正资金的概率为 正).因为在出现套利机会时,大量的投机者就会涌向市场进行套利,于是经过一个相对短 的时期的“混乱〃后,市场就会重返〃正常〃,即回复到无套利状态.在金融衍生证券的定价 理论中并不讨论这段短混乱时期,因此,在研究中,普遍地设置无套利假定,这样的市场也 称为可行市场 概念13.2(套期)粗略地说,以持有某些有价证券组合来抵销某种金融衍生证券 所带来的风险,称为套期,这种套期事实上是完全套期.如果只抵销了部分风险,则称为部 分套期 定义13.3(欧式期权,欧式未定权益)设某种风险金融证券每份在t时刻的价格 为S,并设它满足以下的 Black- Scholes模型: S, (udt+odB,) 其中μ,σ(>0分别为证券的收益率与波动率.假定当前的银行利率为r,而且不随时间变 化.以这种证券为标的变量( Underlying variable)的欧式看涨期权( European cal l option),是指在=0时甲方(一般为证券公司)与乙方的一个合约,按此合约规定乙方有 个权利,能在时刻T以价格K(它称为敲定价格, str iking pr ice)从甲方买进一批(一般 为100份)这种证券.如果时间T时的市场价格Sr低于K,乙方可以不买,而只要时间T时 的市场价格S高于K,乙方就得利.综合起来,乙方在时刻T净得随机收益为 xr=(Sr-K)+.这种合约(它的数学表示就是Xr=(Sr-K))称为期权.又因为乙 方只能在最终时刻T作出选择,称为欧式期权.此外,乙方希望S尽量大,以便有更多的 获利.也就是有选择权的乙方盼望股票上涨,所以称为看涨期权,或者买权.由于这个合约 能给乙方带来Xr的随机收益,就需要乙方在t=0时刻用钱从甲方购买.这个合约在t=0 时刻的价格,称为它的贴水或保证金( premi um).问题是如何确定这个合约在时刻t<T的 价格(包括贴水) 另一种相反的情况是,如果t=0时甲方(一般为证券公司)卖给乙方如下的合约,此合 约规定乙方有一个权利,即能在时刻T以价格为K卖给甲方一批(一般也为100份)这种证券 如果时刻T时的市场价格Sr高于K,乙方可以不卖.只要时间T时的市场价格S低于K373 龚光鲁, 钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社, 2003 第 13 章 金融证券未定权益的定价 1 Black-Scholes 模型的欧式未定权益的定价 1. 1 术语与基本假定 概念１３．１ （可行市场） 研究金融市场有一个基本的假定, 就是无套利原则, 也 称套利原则, 这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会.（套利的粗略含义是，在开 始时无资本，经过资本的市场运作后，变成有非负的（随机）资金，而且有正资金的概率为 正）．因为在出现套利机会时, 大量的投机者就会涌向市场进行套利, 于是经过一个相对短 的时期的”混乱”后, 市场就会重返”正常”, 即回复到无套利状态. 在金融衍生证券的定价 理论中并不讨论这段短混乱时期, 因此，在研究中, 普遍地设置无套利假定, 这样的市场也 称为可行市场. 概念１３．２（套期） 粗略地说, 以持有某些有价证券组合来抵销某种金融衍生证券 所带来的风险, 称为套期, 这种套期事实上是完全套期. 如果只抵销了部分风险, 则称为部 分套期. 定义１３．３（欧式期权，欧式未定权益） 设某种风险金融证券每份在t 时刻的价格 为 St , 并设它满足以下的 Black-Scholes 模型: ( ) dSt = St mdt +sdBt , (13. 1) 其中 m,s (> 0) 分别为证券的收益率与波动率. 假定当前的银行利率为r , 而且不随时间变 化. 以这种证券为标的变量(Underlying Variable)的欧式看涨期权（European call option），是指在t = 0 时甲方(一般为证券公司)与乙方的一个合约，按此合约规定乙方有一 个权利，能在时刻T 以价格 K (它称为敲定价格, striking price) 从甲方买进一批(一般 为 100 份)这种证券. 如果时间T 时的市场价格 ST 低于 K ，乙方可以不买, 而只要时间T 时 的市场价格 ST 高于 K ，乙方就得利. 综合起来, 乙方在时刻 T 净得随机收益为 + X = (S - K) T T . 这种合约 (它的数学表示就是 + X = (S - K) T T ) 称为期权. 又因为乙 方只能在最终时刻T 作出选择, 称为欧式期权. 此外, 乙方希望ST 尽量大, 以便有更多的 获利. 也就是有选择权的乙方盼望股票上涨, 所以称为看涨期权, 或者买权. 由于这个合约 能给乙方带来 XT 的随机收益，就需要乙方在t = 0 时刻用钱从甲方购买. 这个合约在t = 0 时刻的价格, 称为它的贴水或保证金(premium). 问题是如何确定这个合约在时刻 t < T 的 价格(包括贴水). 另一种相反的情况是, 如果 t = 0 时甲方(一般为证券公司)卖给乙方如下的合约，此合 约规定乙方有一个权利，即能在时刻T 以价格为 K 卖给甲方一批(一般也为100份)这种证券. 如果时刻T 时的市场价格 ST 高于 K ，乙方可以不卖. 只要时间T 时的市场价格 ST 低于 K