龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程一与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第13章金融证券未定权益的定价 1 Black- Scholes模型的欧式未定权益的定价 1.1术语与基本假定 概念13.1(可行市场)研究金融市场有一个基本的假定,就是无套利原则,也 称套利原则,这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会.(套利的粗略含义是,在开 始时无资本,经过资本的市场运作后,变成有非负的(随机)资金,而且有正资金的概率为 正).因为在出现套利机会时,大量的投机者就会涌向市场进行套利,于是经过一个相对短 的时期的“混乱〃后,市场就会重返〃正常〃,即回复到无套利状态.在金融衍生证券的定价 理论中并不讨论这段短混乱时期,因此,在研究中,普遍地设置无套利假定,这样的市场也 称为可行市场 概念13.2(套期)粗略地说,以持有某些有价证券组合来抵销某种金融衍生证券 所带来的风险,称为套期,这种套期事实上是完全套期.如果只抵销了部分风险,则称为部 分套期 定义13.3(欧式期权,欧式未定权益)设某种风险金融证券每份在t时刻的价格 为S,并设它满足以下的 Black- Scholes模型: S, (udt+odB,) 其中μ,σ(>0分别为证券的收益率与波动率.假定当前的银行利率为r,而且不随时间变 化.以这种证券为标的变量( Underlying variable)的欧式看涨期权( European cal l option),是指在=0时甲方(一般为证券公司)与乙方的一个合约,按此合约规定乙方有 个权利,能在时刻T以价格K(它称为敲定价格, str iking pr ice)从甲方买进一批(一般 为100份)这种证券.如果时间T时的市场价格Sr低于K,乙方可以不买,而只要时间T时 的市场价格S高于K,乙方就得利.综合起来,乙方在时刻T净得随机收益为 xr=(Sr-K)+.这种合约(它的数学表示就是Xr=(Sr-K))称为期权.又因为乙 方只能在最终时刻T作出选择,称为欧式期权.此外,乙方希望S尽量大,以便有更多的 获利.也就是有选择权的乙方盼望股票上涨,所以称为看涨期权,或者买权.由于这个合约 能给乙方带来Xr的随机收益,就需要乙方在t=0时刻用钱从甲方购买.这个合约在t=0 时刻的价格,称为它的贴水或保证金( premi um).问题是如何确定这个合约在时刻t<T的 价格(包括贴水) 另一种相反的情况是,如果t=0时甲方(一般为证券公司)卖给乙方如下的合约,此合 约规定乙方有一个权利,即能在时刻T以价格为K卖给甲方一批(一般也为100份)这种证券 如果时刻T时的市场价格Sr高于K,乙方可以不卖.只要时间T时的市场价格S低于K
373 龚光鲁, 钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社, 2003 第 13 章 金融证券未定权益的定价 1 Black-Scholes 模型的欧式未定权益的定价 1. 1 术语与基本假定 概念１３．１ （可行市场） 研究金融市场有一个基本的假定, 就是无套利原则, 也 称套利原则, 这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会.（套利的粗略含义是，在开 始时无资本，经过资本的市场运作后，变成有非负的（随机）资金，而且有正资金的概率为 正）．因为在出现套利机会时, 大量的投机者就会涌向市场进行套利, 于是经过一个相对短 的时期的”混乱”后, 市场就会重返”正常”, 即回复到无套利状态. 在金融衍生证券的定价 理论中并不讨论这段短混乱时期, 因此，在研究中, 普遍地设置无套利假定, 这样的市场也 称为可行市场. 概念１３．２（套期） 粗略地说, 以持有某些有价证券组合来抵销某种金融衍生证券 所带来的风险, 称为套期, 这种套期事实上是完全套期. 如果只抵销了部分风险, 则称为部 分套期. 定义１３．３（欧式期权，欧式未定权益） 设某种风险金融证券每份在t 时刻的价格 为 St , 并设它满足以下的 Black-Scholes 模型: ( ) dSt = St mdt +sdBt , (13. 1) 其中 m,s (> 0) 分别为证券的收益率与波动率. 假定当前的银行利率为r , 而且不随时间变 化. 以这种证券为标的变量(Underlying Variable)的欧式看涨期权（European call option），是指在t = 0 时甲方(一般为证券公司)与乙方的一个合约，按此合约规定乙方有一 个权利，能在时刻T 以价格 K (它称为敲定价格, striking price) 从甲方买进一批(一般 为 100 份)这种证券. 如果时间T 时的市场价格 ST 低于 K ，乙方可以不买, 而只要时间T 时 的市场价格 ST 高于 K ，乙方就得利. 综合起来, 乙方在时刻 T 净得随机收益为 + X = (S - K) T T . 这种合约 (它的数学表示就是 + X = (S - K) T T ) 称为期权. 又因为乙 方只能在最终时刻T 作出选择, 称为欧式期权. 此外, 乙方希望ST 尽量大, 以便有更多的 获利. 也就是有选择权的乙方盼望股票上涨, 所以称为看涨期权, 或者买权. 由于这个合约 能给乙方带来 XT 的随机收益，就需要乙方在t = 0 时刻用钱从甲方购买. 这个合约在t = 0 时刻的价格, 称为它的贴水或保证金(premium). 问题是如何确定这个合约在时刻 t < T 的 价格(包括贴水). 另一种相反的情况是, 如果 t = 0 时甲方(一般为证券公司)卖给乙方如下的合约，此合 约规定乙方有一个权利，即能在时刻T 以价格为 K 卖给甲方一批(一般也为100份)这种证券. 如果时刻T 时的市场价格 ST 高于 K ，乙方可以不卖. 只要时间T 时的市场价格 ST 低于 K
卖方就得利.综合起来,乙方在时刻T净得为随机收益Xx=(K-Sr)*.这也是一种欧式 期权,此时乙方盼望Sr尽量小,以便有更多的获利.也就是,乙方盼望股票下跌,所以称为 看跌期权,或者卖权( put option)同样由于这个合约也能给乙方带来Xr的收益,也就需要 乙方在t=0时刻用钱从甲方购买.这个合约在t=0时刻的价格,也称为它的贴水或保证 比看涨期权与看跌期权更为一般的欧式期权是:甲方卖给乙方一个由证券组合组成的 一个合约,此合约能在T时刻给乙方带来随机收益∫(S)(称为欧式未定权益)同样要给出 这个合约在时刻t<T的价格(贴水) 基本假定为了讨论简单,通常假定市场是无摩擦的,即无税收,无交易费,可以卖空, 银行的存贷利率是一样的又假定此未定权益的持有人是小投资者,并且是自融资的,即在 整个过程中,持有人既没有添入资金也没有抽走资金 再则,存银行的钱是无风险的.由银行利率为r(在时变情形为r(t),这在数学处理上 并未增加任何困难),时刻t=0的存款S0元到时刻t的价值应为 S=S0e",即dS=rsdt 13.2) 无套利下的看涨与看跌平权关系 定义13.4(远期合约)未定权益为S的欧式权益,称为在时刻T成熟的远期合约 显见远期合约在时刻(<T)的价格就应该为证券的即时价格S 命题13.5(平权关系)将把看涨期权,看跌期权,远期合约在时刻I(<T)的价格分 别记为C1,P2F于是在无套利假定下有 K (13.3) 这个关系式称为欧式看涨-看跌期权的平权关系 Call-Put parity).有了这个关系,欧式看涨 期权与看跌期权中只要知道一个的价格,就立刻可以得到另一个的价格. (平权关系的得到,是基于未定权益有如下的等式 S-K=(K-S)=Sr-k 这说明买进一张在金融中称为多头一张)在T到期的执行价格为K的看涨期权与卖出一张 (在金融中称为空头一张)相应的看跌期权,就相当于买进一张远期合约与卖出一张在时刻T 到期的额度为K的银行存款 1.2定价的套期方法 1. Black- Scholes偏微分方程的推导 满足 Black- Scholes模型(13.1)的风险标的资产S,是随机微分方程的解,因此是 374
374 卖方就得利. 综合起来, 乙方在时刻T 净得为随机收益 + = ( - ) XT K ST . 这也是一种欧式 期权, 此时乙方盼望 ST 尽量小, 以便有更多的获利. 也就是, 乙方盼望股票下跌, 所以称为 看跌期权, 或者卖权 (put option). 同样由于这个合约也能给乙方带来 XT 的收益，也就需要 乙方在 t = 0 时刻用钱从甲方购买. 这个合约在 t = 0 时刻的价格, 也称为它的贴水或保证 金. 比看涨期权与看跌期权更为一般的欧式期权是: 甲方卖给乙方一个由证券组合组成的 一个合约, 此合约能在T 时刻给乙方带来随机收益 ( ) ST f (称为欧式未定权益), 同样要给出 这个合约在时刻t < T 的价格(贴水). 基本假定 为了讨论简单, 通常假定市场是无摩擦的, 即无税收, 无交易费, 可以卖空, 银行的存贷利率是一样的. 又假定此未定权益的持有人是小投资者, 并且是自融资的, 即在 整个过程中, 持有人既没有添入资金, 也没有抽走资金. 再则, 存银行的钱是无风险的. 由银行利率为 r (在时变情形为 r(t) , 这在数学处理上 并未增加任何困难), 时刻t = 0 的存款 0 0 S 元到时刻t 的价值应为 rt t S S e 0 0 0 = , 即dS rS dt t t 0 0 = . (13. 2) 无套利下的看涨与看跌平权关系 定义１３.４（远期合约） 未定权益为ST 的欧式权益, 称为在时刻T 成熟的远期合约. 显见远期合约在时刻t(< T ) 的价格就应该为证券的即时价格 St . 命题１３.５（平权关系）将把看涨期权, 看跌期权, 远期合约在时刻t(< T ) 的价格分 别记为Ct Pt Ft , , . 于是在无套利假定下有 rt Ct Pt Ft Ke- - = - . (13. 3) 这个关系式称为欧式看涨-看跌期权的平权关系(Call-Put parity). 有了这个关系, 欧式看涨 期权与看跌期权中只要知道一个的价格, 就立刻可以得到另一个的价格. (平权关系的得到, 是基于未定权益有如下的等式: ST - K - K - ST = ST - K + + ( ) ( ) . 这说明买进一张(在金融中称为多头一张)在T 到期的执行价格为 K 的看涨期权与卖出一张 (在金融中称为空头一张)相应的看跌期权, 就相当于买进一张远期合约与卖出一张在时刻T 到期的额度为 K 的银行存款. 1. 2 定价的套期方法 １．Black-Scholes 偏微分方程的推导 满足 Black-Scholes 模型（１３．１）的风险标的资产 St 是随机微分方程的解, 因此是
Markov过程.从而,欧式未定权益∫(Sr)在时刻trN,dt,则甲可以在时刻t从银行借贷并投资于上述组合N1在t+d时刻得 dN,后立刻偿还银行rN,dt,从而净得dN1-rN,dt.在另一种情形,如果dN1<rNdt,则甲可以 在时刻t卖空上述组合N,将钱存入银行,到t+dt时刻得rN,dt,还去购回卖空的组合,由此也净得 rNd-dN1所以,这两种情形都发生了套利,与无套利假定矛盾.可见只能有dN=rNd).把 (13.5)式中的N,的表达式代入(13.6)式就得到V(t,x)应满足的Back- Scholes偏微分方 程: 375
375 Markov 过程. 从而, 欧式未定权益 ( ) ST f 在时刻t t , 则甲可以在时刻 t 从银行借贷并投资于上述组合 Nt , 在 t + dt 时刻得 dNt 后立刻偿还银行 rN dt t , 从而净得 dN rN dt t - t . 在另一种情形，如果 dN rN dt t < t , 则甲可以 在时刻 t 卖空上述组合 Nt , 将钱存入银行, 到 t + dt 时刻得 rN dt t , 还去购回卖空的组合, 由此也净得 tdt dNt rN - . 所以, 这两种情形都发生了套利, 与无套利假定矛盾. 可见只能有 dN rN dt t = t ). 把 (13. 5)式中的Nt 的表达式代入(13. 6)式, 就得到V(t, x)应满足的 Black-Scholes 偏微分方 程:
rV=0 (13.7) t 外加终端条件 V(T,x)=f(x),(因为(T,S)=f(S)) (13.8) 只要求得此方程的解(1,x),就得到了未定权益∫(S)在时刻t<T的价格V(t,S) 而在时刻t=0贴水为F(0,S0) 2. Black-Scholes微分方程的求解 先令=T一t将终值问题化成初值问题,再令x'=logx,(t',x)=V(t,x),并利用 Vr=xkVrr'=(xVr=x(xD=xvx+xv, v 把方程(13.7)化为 Vr-rv=0 (13.9 (0.,x)=(V(T,x)=f(x)=)f(e2) (13.10) 此方程的系数不依赖x,是常系数偏微分方程然后作变换 ar'+B-1 (13.11) 只要在此变换中选取合适的常数α,B,就可以消灭方程中含U和含Ux的项即 (1)置U的系数为0,得到 (2)再置U的系数为0,得到 (13.13) 这时(13.9),(13.10)就简化为传热方程的初值问题 (13 U(0,x (13.15) 由此可以用初等偏微分方程中的经典方法,即用 Gauss核( Brown运动的转移密度函数也称 为 Gauss核)的积分给出其解U(r,x") 376
376 0 2 1 2 2 2 2 - = ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ rV x V rx x V S t V s t , (13. 7) 外加终端条件 V(T , x) = f (x) ，（因为 ( , ) ( ) T ST V T S = f ）． (13. 8) 只要求得此方程的解V(t, x), 就得到了未定权益 ( ) ST f 在时刻 t < T 的价格 ( , ) St V t . 而在时刻t = 0 贴水为 (0, ) V S0 . ２． Black-Scholes 微分方程的求解 先令t'= T -t 将终值问题化成初值问题, 再令x'= log x , ( ', ') ( , ) ~ V t x =V t x ， 并利用 x x x xx x x x x V x = xV V = xV = x xV = x V + xV 2 ' ' ' ~ ' ~ , ( ) ( ) , t V t ' = -V ~ , 把方程（１３．７）化为 ) 0 2 ( 2 1 ~ ' 2 ~ ' ' ~ 2 ~ -Vt' + V x x + r - V x - rV = s s , (13. 9) (0, ') ( ( , ) ( ) ) ( ) ' ~ x V x = V T x = f x = f e ． (13. 10) 此方程的系数不依赖 x' , 是常系数偏微分方程. 然后作变换 ( ', ') ( ', ') ' ' ~ V t x e U t x x + ×t = a b . (13. 11) 只要在此变换中选取合适的常数a, b , 就可以消灭方程中含U 和含U x'的项,即 （１）置U x'的系数为 0, 得到 2 2 2 2 2 1 s s s a r r = - - = - , (13. 12) （２）再置U 的系数为 0, 得到 ) 2 1 ( 2 2 b = - s a + r . (13. 13) 这时（１３．９），（１３．１０）就简化为传热方程的初值问题 ' ' 2 ' 2 Ut U x x s = (13. 14) (0, ') ( ) x' x' U x e f e -a = . (13. 15) 由此可以用初等偏微分方程中的经典方法，即用 Gauss 核 (Brown 运动的转移密度函数也称 为 Gauss 核) 的积分给出其解U (t', x')
(y-x)2 U(G,x) U(0, y)e e-f(e )e 2r@ dy 再作变换y-x=y,便得 (t,x)= to](+)e zro'e-atdy'=ex f(xe )e 注意积分号内指数项的分子为(y+to3a)2-t2oa2,作变换y+to2a=,就得 --Ia-a f( (B4+r) f∫( √T--(7-g De 2 d= 最后用V(,x)=(r,x)=ea+pU(t,x),得到(t,x)的明显表达式如下面定理所述 定理13.6 2 (t,x) 于是欧式未定权益∫(Sx)在时刻(<T)的价格为v(t,S,),而在合约开始时刻的贴水为 (0.s)=」fs (13.17) 而用以套期标的证券的数量,则由(13.4)式给出 定义13.7( Black-Scholes中性模型)从(13.16)可以看出,欧式未定权益的定价 不依赖风险证券的收益率μ.而代替它的则是银行利率r.这就启示我们,在利用 Black-Scholes模型求未定权益的定价时,风险证券的价格模型应该改用 dS, =S, (rdt +dB,) (13.18) 这样的模型称为 Black- Scholes风险中性模型.由于它与收益率为μ时的模型不一样,我们 把对应于这个风险中性模型所取的概率记为P'(相应的期望记为E),称为风险中性概率 在金融中,“一称为风险的市场价格 1.3风险中性概率方法 设在风险中性模型下,风险证券在t时刻的价格记为S.它对于银行利率r的折现价 377
377 U y e dy t U t x t y x 2 2 2 ' ( ') (0, ) 2 ' 1 ( ', ') s p s - - ò × = e f e e dy t t y x y y 2 2 2 ' ( ') ( ) 2 ' 1 a s p s - - - ò × = ． 再作变换 y - x' = y' , 便得 U (t', x') ( ) ' 2 ' 1 ( ' ') 2 ' ' ' ' 2 2 f e e e dy t t x y y y x - + - + ò × = s a p s ( ) ' 2 ' 2 2 2 2 ' ' 2 ' ' ' ' f xe e dy t e t y t y y x s s a a p s + - - ò × = . 注意积分号内指数项的分子为 2 2 2 4 2 (y'+t's a) - t' s a , 作变换 z t y t = + ' ' ' 2 s s a , 就得 f xe e e dz e U t x z t t z t x 2 ' 2 ' ' ' 2 2 2 2 ( ) 2 ( ' , ') s a s s a a p - - - ò = f xe e dz e e z T tz T t x t rt 2 ( ) ' ( ' ') 2 2 ( ) 2 - - - - - - × + ò = s s a a b p ． 最后用 ( , ) ( ', ') ( ', ') ' ' ~ V t x V t x e U t x x + ×t = = a b ，得到V(t, x) 的明显表达式如下面定理所述. 定理１３．６ f xe e dz e V t x z T tz T t r r T t 2 ) 2 ( ) ( ( ) 2 2 2 ( ) 2 ( , ) - - - - - - - ò = s s s p ． (13. 16) 于是欧式未定权益 ( ) S N f 在时刻t(< T ) 的价格为 ( , ) St V t , 而在合约开始时刻的贴水为 f S e e dz e V S z T z T r rT 2 ) 2 ( 0 0 2 2 2 ( ) 2 (0, ) - - - - ò = s s s p ． (13. 17) 而用以套期标的证券的数量, 则由(13. 4)式给出． 定义１３．７ （Black-Scholes 中性模型） 从(13. 16)可以看出, 欧式未定权益的定价 不依赖风险证券的收益率 m . 而代替它的则是银行利率 r . 这就启示我们，在利用 Black-Scholes 模型求未定权益的定价时, 风险证券的价格模型应该改用 ( ) t t dBt dS = S rdt + . (13. 18) 这样的模型称为 Black-Scholes 风险中性模型. 由于它与收益率为m 时的模型不一样, 我们 把对应于这个风险中性模型所取的概率记为 * P (相应的期望记为 * E ), 称为风险中性概率. 在金融中， s m - r 称为风险的市场价格． １．３ 风险中性概率方法 设在风险中性模型下, 风险证券在 t 时刻的价格记为 St . 它对于银行利率 r 的折现价
记为S=e"S,(在初始时刻的等价价格,相当于将一切资产都折合到初始时刻考虑).用 Ito公式得 ds=d(e s,=res, dt +e s, (rdt +odB =o S dB (13.19) 由此可见对风险中性概率P而言,风险证券的折现价S是随机微分方程(13.19)的 解,由例12.57,此方程的唯一解是 这正是B,的一个指数鞅.因为鞅在时间进行中体现了公平的发展,在时刻7的未定权益 f(Sx)在初始时刻的折现价为∫=ef(e"Sr),并且鞅性质体现为,时刻t的价格在初 始时刻的折现价V=e应该是E'(f|B,S≤1),即 V=E"(f|B,s≤D) (13.21) 于是 v, =e"e(e f(e"ST)lB,, s<t) PET(S )|B,,s≤ 再利用条件期望的公式,并令n= Br-B 则对应于概率P有n~N(0,1).故而 V,=LewE((xe(B-B),S, expl(r-2- k-t) le-rd-tE'((xeaNT-i7)) h∫f(sWm,“,, )e2d=(1,S), 其中 V(t, x) 它正好是带终端条件的 Black-Scholes偏微分方程的解(13.16). 推论13.7对于远期合约f(x)=x,由 Black-Scholes公式得到它在时刻l(t<T) 的价格为F(1,S,)=S1,恰好就是标的风险证券的市价 推论13.8对于欧式看涨期权(对应于∫(x)=(x-K)),它在时刻(t<T)的 378
378 记为 t rt S t e S - D = ~ (在初始时刻的等价价格, 相当于将一切资产都折合到初始时刻考虑). 用 Ito 公式得 t t t t rt t rt t rt d S t d e S re S dt e S rdt dB S dB ~ ~ = ( ) = - + ( +s ) =s - - - . (13. 19) 由此可见对风险中性概率 * P 而言, 风险证券的折现价S t ~ 是随机微分方程（１３．１９）的 解，由例１２．５７，此方程的唯一解是 t t B St S e s s - + = 2 0 ~ ~ 2 ， (13. 20) 这正是 Bt 的一个指数鞅． 因为鞅在时间进行中体现了公平的发展, 在时刻T 的未定权益 ( ) ST f 在初始时刻的折现价为 ( ) ~ ~ T rT rT f e f e S - D = , 并且鞅性质体现为, 时刻t 的价格在初 始时刻的折现价 t rt Vt e V - D = ~ 应该是 ( | , ) ~ * E f B s t s £ ，即 = ~ Vt ( | , ) ~ * E f B s t s £ ． (13. 21) 于是 ( ( ) | , ) ~ * V e E e f e S B s t s T rt rT rT t = £ - [ ( )| , ] )( ) 2 ( ) ( ( ) * 2 e E f S e B s t s B B r T t t r T t t t = £ - + - - - - s s . (13. 22) 再利用条件期望的公式, 并令 T t BT Bt - - = D h , 则对应于概率 * P 有 h ~ N(0,1) . 故而 )( )] 2 exp[( ( ) * ( ) [ ( ( )] 2 x S r T t r T t B B t t T t V e E f xe = - - - - - = s s )( )] 2 exp[( ( ) * ) [ ( ( )] 2 x S r T t r T t T t t e E f xe = - - - - - × = s s h e f S e e du u r T t T t u t r T t 2 )( ) 2 ( ( ) 2 2 ( ) 2 1 - - + - × - - - ò = s s p ( , ) t V t S 记为 = , 其中 V(t, x) e f xe e du u r T t T t u r T t 2 )( ) 2 ( ( ) 2 2 ( ) 2 1 - - + - × - - - ò = s s p . 它正好是带终端条件的 Black-Scholes 偏微分方程的解(13. 16)． 推论１３．７ 对于远期合约 f ( x ) = x , 由 Black-Scholes 公式得到它在时刻t(t < T ) 的价格为 t St F(t,S ) = , 恰好就是标的风险证券的市价. 推论１３．８ 对于欧式看涨期权（对应于 + f (x) = (x - K) ）, 它在时刻t(t < T ) 的
价格的公式可以简化为 F(L,S,)=x(d, (x)-Ke-uwop(d,(x)) 其中 K)+(+2X=0) g(m)+(r-(T-1 d1(x)= d2( dp(x)= e2d(在通常的金融文献中记为N(x)是为标准正态分布的分布函数 此时应该套期的风险证券的数量为 △ lrss =lo(d,(x))+xe d,'(x)-Ke-ru-e d2'(x)]s=d(d1(S1) 推论1③,9由平权关系便得到欧式看跌期权(对应于∫(x)=(K-x))在时刻 (1<T)的价格 F(t,S,)=Ke -r(wap(-d,(x)-xa(d, (x)) 此时应该套期的风险证券的数量为 △ =-d(-d1(S,) 注]如果不用风险中性的 Black- Scholes模型,而是用带收益率μ的 Black- Scholes模型,那么类似地 用Io公式,可得证券的折现价格S,满足的方程为 d st=S,o(dB,+ 作 Girsanov变换B'=B1+—1,则对于乎中的任意事件A,只要它的信息完全可由{B,:S≤ 确定,就定义它的一个新概率P为 P(A)=E(l4e° 上B可)) 于是由 Girsanov定理(定理12.69),在新概率P下,B是一个 Brown运动.从而重新得到 dS;=S1σ·dB.这正好是风险中性的 Black-Scholes模型而概率P'就是风险中性概率.这是从另 一个角度得到同样的结果 币值单位与随机折现因子方法 定义13.10设某个风险证券在时刻t的价格为S又若存在另一个正值随机过程M,使得 379
379 价格的公式可以简化为 ( , ) ( ( )) ( ( )) 2 ( ) 1 F t S x d x Ke d x r T t t = F - F - - , 其中 T - t r T t K x d x s s )( ) 2 log( ) ( ( ) 2 1 + + - = , T - t r - T - t K x d x 2 s s )( ) 2 log( ) ( ( ) 2 + = , e du 2 1 (x) 2 u - x - 2 ò ¥ F = p (在通常的金融文献中记为 N( x ) ) 是为标准正态分布的分布函数. 此时应该套期的风险证券的数量为 t x St d x r T t d x t x S d x xe d x Ke e d x x F = - - - - = = F + - ¶ ¶ D = | [ ( ( )) '( ) '( )] 2 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) 1 2 2 2 1 ( ( )) = F d1 St ． 推论１３，９ 由平权关系便得到欧式看跌期权（对应于 + f (x) = (K - x) ）在时刻 t(t < T ) 的价格 ( , ) ( ( )) ( ( )) 2 1 ( ) F t S Ke d x x d x r T t t = F - - F - - - . 此时应该套期的风险证券的数量为 x St t x F = ¶ ¶ D = | ( ( )) = L = -F -d1 St ． [注] 如果不用风险中性的Black-Scholes 模型, 而是用带收益率 m 的Black-Scholes 模型, 那么类似地 用 Ito 公式, 可得证券的折现价格 ~ t S 满足的方程为: ( ) ~ ~ dt r d S S dBt t t s m s - = + . 作Girsanov 变换 t r B Bt s m - = + * , 则对于F 中的任意事件 A , 只要它的信息完全可由{B : s t) s £ 确定, 就定义它的一个新概率 * P 为 ( ) ( ) 2 2 1 * t r B r A t P A E I e ÷ ø ö ç è æ - - - - = s m s m ． 于是由 Girsanov 定理（定理１２．６９）, 在新概率 * P 下, * B 是一个 Brown 运动． 从而重新得到 * ~ ~ t d S t = S t s × dB . 这正好是风险中性的 Black-Scholes 模型. 而概率 * P 就是风险中性概率. 这是从另 一个角度得到同样的结果． * 1．. 4 币值单位与随机折现因子方法 定义１３．１０ 设某个风险证券在时刻 t 的价格为 St . 又若存在另一个正值随机过程 Mt 使得
是一个鞅,则称M,为证券S,的币值单位(更一般一些,在理论上只要S是一个局部鞅,也 就是存在一个停时(S)序列τn个,使对于固定的n,{S灬n:t≥0}是鞅.这里,鞅和局部鞅 都代表在统计平均意义下不随时间增值的资金流) 从直观看,资本的价值是随着时间增值的,币值单位M1就体现了该证券的价格的时间增值,即在 =0时的1元钱,经过单个证券S,的市场因素的作用,在时刻t的实际价值相当于M,元又因为市场是 随机的,所以币值单位也是随机的量(随机过程,这就体现了一元钱的时间价值 定义13.11 M 称为随机折现因子,因为N,是1除以币值单位,所以它就相当于把随机因素考虑进去以后的随机折现因 对于 Black- Scholes模型的币值单位,我们有下面的命题 命题13.12假定证券在时刻t的价格S,满足 Black- Scholes模型 =S, (udt+odB, (13.24) 那么 (13.25) 就是S,的币值单位,其中r是银行利率,而 (13.26) 证明对于L用Io公式得到 (1B) (dG(t1B,)2 =e[4-dB+(4-)3ah 于是M,及N,=—满足的随机微分就分别为 M dM,=re"dIl, +"dL, =rM, dt+M, --dB,+(-)2dn M1(+( Jdt dB,) 380
380 t t t M S S D = ~ 是一个鞅, 则称 Mt 为证券 St 的币值单位 ( 更一般一些, 在理论上只要S t ~ 是一个局部鞅, 也 就是存在一个停时（St） ~ 序列t n ¥ , 使对于固定的 n , { : 0} ~ S tÙt n t ³ 是鞅. 这里， 鞅和局部鞅 都代表在统计平均意义下不随时间增值的资金流)． 从直观看, 资本的价值是随着时间增值的, 币值单位 Mt 就体现了该证券的价格的时间增值, 即在 t = 0 时的1元钱, 经过单个证券 St 的市场因素的作用, 在时刻t 的实际价值相当于 Mt 元. 又因为市场是 随机的, 所以币值单位也是随机的量(随机过程), 这就体现了一元钱的时间价值. 定义１３．１１ t t M N 1 D = (13. 23) 称为随机折现因子, 因为Nt 是 1 除以币值单位, 所以它就相当于把随机因素考虑进去以后的 ”随机折现因 子”. 对于 Black-Scholes 模型的币值单位， 我们有下面的命题. 命题１３．１２ 假定证券在时刻t 的价格 St 满足 Black-Scholes 模型 ( ) dSt = St mdt +sdBt . (13. 24) 那么 t rt Mt = e L , (13. 25) 就是 St 的币值单位，其中r 是银行利率，而 ( , ) ( ) 2 1 2 2 t t G t B t r B r t L e e D - + - D = = s m s m ． (13. 26) 证明 对于 Lt 用 Ito 公式得到 ( , ) ( , ) 2 ( ( , )) 2 1 ( , ) t G t B t G t B dLt e dG t B e dG t B t t = + [ ( ) ] ( , ) 2 dt r dB r e Bt G t s m s m - + - = . 于是 Mt 及 t t M N 1 D = 满足的随机微分就分别为 [ ( ) ] 2 dt r dB r dM re dtL e dLt rM t dt Mt t rt t rt t s m s m - + - = + = + ([ ( ) ] ) 2 t t dB r dt r M r s m s m - + - = +
dM,+3(dM,) ([r+(-)]dt ° dB)+.M2(2-)2 N, (rdt 即N,所满足的随机微分方程为 dN,=N,(-rdt--dB (11.27) 再用Ito公式得到 d (s, N,=s,dN,+N, ds, +ds, dN =S, N, (-rdt-A-rdB, )+N, S, (udt +odB, )+SoN, (-)dt S, N, (o-A-l)dB 由例12.57可知,M=SN,是一个指数鞅,命题得证 既然SS 随时间的发展体现了一个”公平博弈”,由此可得到,一般的欧式未定权益Xr在 <T)的合理定价,即对于折现价格M,+X,应该有 V=E(Xr|B,s≤D) 从而得到一般的定价公式 2=M,E(211B,s50)=e"LE(xc1B,s≤50) (13.28) 1.5倒向随机微分方程方法 设风险证券的价格过程为S,将由它衍生的欧式未定权益∫(S)在t时刻的价格记为5,利用套 期的想法,在时刻“虚拟”地待定卖出n,张标的风险证券(这里n2可以负,此时表示买进),使余下的部 分不再有风险.在“卖出”了n,张风险证券后的投资组合为51-n,S由自融资假定,在时刻t+dt这 个投资组合的价值变为5d-n2Sd·又因为要求它是无风险的,所以它应该相当于时刻t的资产 5-n2S存进银行中到时刻t+dt的资产,即
381 2 2 3 ( ) 1 1 t t t t t dM M dM M dN = - + dt r M M dB r dt r r M t t t t 2 2 3 2 ( ) 1 ([ ( ) ] ) 1 s m s m s m - + - + - = - + ( ) t t dB r N rdt s m - = - + . 即 Nt 所满足的随机微分方程为: ( ) t t t dB r dN N rdt s m - = - - . (11. 27) 再用 Ito 公式得到 d StNt = St dNt + Nt dSt + dSt dNt ( ) dt r dB N S dt dB S N r S N rdt t t t t t t t t ( ) ( ) ( ) s m m s s s m - + + + - - = - - t t t dB r S N ( ) s m s - = - . 由例１２．５７可知， t t t t S N M S = 是一个指数鞅．命题得证． 既然 t t t M S S D = ~ 随时间的发展体现了一个 ”公平博弈”， 由此可得到, 一般的欧式未定权益 XT 在 t(< T ) 的合理定价Vt , 即对于折现价格 t t t M V V D = ~ , T T T M X X D = ~ , 应该有 ( | : ) ~ ~ V E X B s t t = T s £ ． 从而得到一般的定价公式 ( | B ,s t) M X V M E s T T t = t £ | , ) 1 ( B s t L e L E X e s T rT t T rt = £ - . (13. 28) 1. 5 倒向随机微分方程方法 设风险证券的价格过程为 St ．将由它衍生的欧式未定权益 ( ) ST f 在t 时刻的价格记为 t x . 利用套 期的想法，在t 时刻“虚拟”地待定卖出 nt 张标的风险证券(这里nt 可以负，此时表示买进)，使余下的部 分不再有风险. 在“卖出”了nt 张风险证券后的投资组合为 t - nt St x . 由自融资假定, 在时刻t + dt 这 个投资组合的价值变为 t +dt - nt St +dt x . 又因为要求它是无风险的, 所以它应该相当于时刻 t 的资产 t - nt St x 存进银行中到时刻t + dt 的资产，即
Sd=(1+rt1-n,S,) 用d51,dS,分别代替5d-5;,Sat-S,后,上式成为 n, S,)dt 再用dS1=S,(pd+odB,)代入,并把总的套期的价值记为 .=n.S 那么,我们就得到下述的倒向随机微分方程 d2;=(r5+(-r川1)dt+a·v,dB1 13 5r=f(S) (13.33) 注意,这里是一个方程,一个终端条件,两个未知的随机过程(51,17).这是倒向随机微分方程所特有的 这一点是与普通(正向的)随机微分方程是绝然不同的.正向的随机微分方程对一个初始条件,在一个未知 随机过程时有唯一解,而倒向随机微分方程对一个终端条件,只有在两个未知过程时,才可能存在唯一解 (,F).这里,5是证券在时刻t的价格,而V则是在时刻的套期数量 在数学上,倒向随机微分方程与经典的情形的不同的是,要求解(,V)是(B,)可知的.彭实戈等 人的一般理论指出:只要满足Ef(S)20)是非随机的函数,分别代表证券的时变收益率与波动率.基于这种模型 的证券的欧式未定权益的定价,在用上述4种方法中的任意一种后,都可以最后得到 (,x)=e-(-0 (r(s)--)ds+a(sls-2 f∫(x (13.35) 从而,贴水为 x2 p(S)=e-7-1 V2r jf(soe 382
382 t +dt - nt St +dt x (1 )( ) t ntSt = + rdt x - . (13. 29) 用d t dSt x , 分别代替 t dt t x - x + , St+dt - St 后，上式成为 d n dS r n S dt t t t t t t x - = (x - ) . (13. 30) 再用 ( ) dSt = St mdt +sdBt 代入，并把总的套期的价值记为 Vt = nt St . (13. 31) 那么, 我们就得到下述的倒向随机微分方程: t t Vt dt VtdBt dx = (rx + (m - r) ) +s × , (13. 32) ( ) T ST x = f . (13. 33) 注意, 这里是一个方程, 一个终端条件, 两个未知的随机过程 ( , ) t Vt x . 这是倒向随机微分方程所特有的. 这一点是与普通(正向的)随机微分方程是绝然不同的. 正向的随机微分方程对一个初始条件，在一个未知 随机过程时有唯一解，而倒向随机微分方程对一个终端条件，只有在两个未知过程时, 才可能存在唯一解 ( , ) t Vt x ． 这里， t x 是证券在时刻t 的价格, 而Vt 则是在时刻t 的套期数量. 在数学上, 倒向随机微分方程与经典的情形的不同的是, 要求解 ( , ) t Vt x 是( ) Bt 可知的. 彭实戈等 人的一般理论指出: 只要满足 0) 是非随机的函数，分别代表证券的时变收益率与波动率. 基于这种模型 的证券的欧式未定权益的定价, 在用上述 4 种方法中的任意一种后，都可以最后得到 V(t, x) e f xe e dz z s ds z T t ds s r s r T t T t T t 2 ( ) 1 ) 2 ( ) ( ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 1 × - - - + - - ò ò = ò s s p ． (13. 35) 从而，贴水为 (0, ) V S0 e f S e e dz z s ds z T ds s r s rT T T 2 ( ) 1 ) 2 ( ) ( ( ) 0 2 0 2 0 ( ) 2 1 - + × - - ò ò = ò s s p ．
