清华大学考研辅导班（暑期班）讲义：概率统计 第六讲 样本与抽样分布

2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义一一概率统计 第六讲样本与抽样分布 内容提要 (1)基本概念(样本,样本联合分布函数,经验分布函数,统计量 三大抽样分布(X分布,t分布,F分布的定义性质,分位点) (2)正态总体常见统计量的分布(单总体,双总体) 典型问题 问题1:样本的联合分布函数与经验分布函数 问题2:计算统计量的分布及其数字特征 问题3:计算统计量的相关概率或反求其样本容量 典型例题 例6.1.选择题: (1)设X12X2,…,Xn为取自总体X的一个样本,则X1,X2,…,Xn必满足 (A)独立但分布不同(B)分布相同但不相互独立 (C)独立同分布 (D)不能确定 (2)设X1,X2,…,Xn为取自总体x~N(O2)的一个样本,其中,未 知,则下面不是统计量的是 (A) X (B) X (C)-(X,-X (D) (3)设H1,H2…,Xn为取自总体X~N(02)的一个样本,记 F=mX-),则 S (A)Y~x(n-1)(B)Y~t(n-1) (C)Y~F(n-1,1)(D)Y~F(1,n-1) (4)设H1,X2,…,Xn为取自总体X~N(,a2)的一个样本,X为样本均 (A)E(X2-S2)=12-a2(B)E(X2+S2)=2+a 2004年7月叶俊编

2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 第六讲 样本与抽样分布 内容提要 （1）基本概念（样本，样本联合分布函数，经验分布函数，统计量） 三大抽样分布（ 分布，t 分布，F 分布的定义性质，分位点） 2 χ （2）正态总体常见统计量的分布（单总体，双总体） 典型问题 问题 1: 样本的联合分布函数与经验分布函数 问题 2: 计算统计量的分布及其数字特征 问题 3: 计算统计量的相关概率或反求其样本容量 典型例题 例 6.1. 选择题： （1）设 X1, X2 ,L, Xn为取自总体 X 的一个样本，则 X1, X2 ,L, Xn必满足 （A）独立但分布不同 （B）分布相同但不相互独立 （C）独立同分布 （D）不能确定 （2）设 为取自总体 的一个样本，其中 未 知, 则下面不是统计量的是 X X Xn , , , 1 2 L ~ ( , ) 2 X N µ σ 2 µ,σ （A） Xi （B） X （C） ∑ = − n i Xi X n 1 3 ( ) 1 （D） ∑ = − n i Xi n 1 2 ( ) 1 µ （ 3 ） 设 X1, X2 ,L, Xn 为取自总体 ~ ( , ) 的一个样本，记 2 X N µ σ 2 ( ) S X Y n − µ = , 则 （A） ~ ( 1) （B） 2 Y χ n − Y ~ t(n −1) （C）Y ~ F(n −1,1) （D）Y ~ F(1, n −1) （4）设 X1, X2 ,L, Xn为取自总体 ~ ( , ) 的一个样本， 2 X N µ σ X 为样本均 值，则 （A） 2 2 2 2 E(X − S ) = µ −σ （B） 2 2 2 2 E(X + S ) = µ +σ 2004 年 7 月 叶俊 编 1

2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义一一概率统计 (C)E(X2-S2)= (D)E(x2-S2)=+a2 (5)设X1,X2,…,X100是总体X~N(4)的一个样本,若已知 Y=a+b~N(0,1),则 (A)a=-5.b=5 (B)a=5,b=5 (C)a=3,b=- (D)a=-3,b=3 例62.填空题: (1)设随机变量x服从均值为0(4>0)的指数分布,且其上25%分 位点为00,则2= (2)设X1,X2,…,X6为取自总体X~N(A,4)的一个样本,则 D(S2)= (3)设X12X2…Xn为取自总体x~N(,a2)的一个样本,则 X-3服从 分布 (4)设总体X服从正态分布N(0,22),而X12X2,…,Xn是来自总体X的简单 随机样本则随机变量Y=2+…+x2 服从 分布 2(X1+…+X3) (5)设X1,X2,X5为取自总体X~N(0,a2)的一个样本,若 a(X1+X2) 服从t分布,则 x32+X2+X2 例63.设某商店一小时内到达的顾客数X服从参数为2的 Poisson分布, X1,X2,…,X1o是来自总体X的简单随机样本 (1)求(X1,X2…,X10)的联合分布律 (2)求X的分布律 例64.设总体X和y同服从N(0,32)分布,而X1,X2…,X,和Y1,H2,…, 2004年7月叶俊编

2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 （C） 2 2 2 E(X − S ) = µ −σ （D） 2 2 2 E(X − S ) = µ +σ （ 5 ） 设 X1, X2 ,L, X100 是总体 X ~ N(1,4) 的一个样本，若已知 Y = aX + b ~ N(0,1), 则 （A）a = −5,b = 5 （B）a = 5,b = 5 （C） 5 1 5 1 a = ,b = − （D） 5 1 5 1 a = − ,b = 例 6.2. 填空题： （1）设随机变量 X 服从均值为 ( 0) 1000 λ > λ 的指数分布，且其上 25%分 位点为 3 1000 ，则λ = . （ 2 ） 设 X1, X2 ,L, X6 为取自总体 X ~ N(µ,4) 的一个样本 , 则 ( ) = 2 D S . （ 3 ） 设 X1, X2 ,L, Xn 为取自总体 ~ ( , ) 的一个样本，则 2 X N µ σ 2 ( ) σ − µ = X Y n 服从 分布. （4）设总体 X 服从正态分布 (0,2 ),而 是来自总体 2 N X X Xn , , , 1 2 L X 的简单 随机样本, 则随机变量 2( ) 2 15 2 11 2 10 2 1 X X X X Y + + + + = L L 服从 分布. （ 5 ） 设 X1, X2 ,L, X5 为取自总体 ~ (0, ) 的一个样本，若 2 X N σ 2 5 2 4 2 3 1 2 ( ) X X X a X X + + + 服从 t 分布，则 a = . 例 6.3. 设某商店一小时内到达的顾客数 X 服从参数为 2 的 Poisson 分布, 是来自总体 X 的简单随机样本. 1 2 10 X , X ,L, X (1) 求( , , , ) 的联合分布律; X1 X2 L X10 (2) 求 X 的分布律. 例 6.4. 设总体 X 和 Y 同服从 (0,3 )分布, 而 和Y 2 N 1 2 9 X , X ,L, X 1 2 9 ,Y ,L,Y 2004 年 7 月 叶俊 编 2

2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义 率统计 分别是取自总体X和Y的两个独立简单随机样本,试证:统计量 X1+X,+…+X +Y+…+Y 例65.设H1,X2,…,Xn1是正态总体的简单样本,设X=∑X和 (1)试求(n-1)(X1-)2/∑(X1-)2]的分布 (2)试求~Xmn-1 的分布 n+1 例66.设X1,X2,…,X。和1,12,…,Y分别是取自两个独立的正态总体 N(A1,2)和N(2,a2)的随机样本,a和B是两个实数,试求 Z c(X-1)+f(Y-/2) 的概率分布.其中X,S2n和 (m-1)Sim+(n-1)S2 +n-2 F,S2,分别是两个总体的样本均值和样本方差 例67设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0.4)的简单样本,记 Y=(X1-2X2)2+(3X3-4X)2 则EY和DX 例68.设H1X2,…Xn为取自总体X~N(,2)的一个样本,求样本的二 阶原点矩的期望与方差 例69.设X1,H2…,H2是总体X~N(O,a2)的一个样本,求概率 ∑X t(16)) X 2004年7月叶俊编

2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 分别是取自总体 X 和 Y 的两个独立简单随机样本 , 试 证 : 统计量 ~ (9) 2 9 2 9 2 9 1 2 9 t Y Y Y X X X z + + + + + + = L L 例 6.5. 设 X1, X2 ,L, Xn+1 是正态总体的简单样本，设 ∑ = = n i Xi n X 1 1 和 =2 Sn ∑( ) = − n i X i X n 1 1 2 （1）试求( 1)( ) [ ( ) ] 2 2 2 1 ∑ = − − − n i n X µ Xi µ 的分布. （2) 试求 1 n+1 1 + − − n n S X X n 的分布. 例 6.6. 设 和 分别是取自两个独立的正态总体 和 的随机样本 , 1 2 9 X , X ,L, X 1 2 9 Y ,Y ,L,Y ( , ) 2 N µ1 σ ( , ) 2 N µ 2 σ α 和 β 是两个实数 , 试 求 m n m n m S n S X Y Z m n 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( 1) ( 1) ( ) ( ) α β α µ β µ + + − − + − − + − = 的概率分布 . 其 中 2 1 , m X S 和 2 2 , n Y S 分别是两个总体的样本均值和样本方差. 例 6.7. 设 X1, X2 , X3 , X4 是来自正态总体 N(0,4)的简单样本, 记 2 3 4 2 1 2 (3 4 ) 100 1 ( 2 ) 20 1 Y = X − X + X − X 则 EY 和 DX . 例 6.8. 设 为取自总体 的一个样本，求样本的二 阶原点矩的期望与方差. X X Xn , , , 1 2 L ~ ( , ) 2 X N µ σ 例 6.9. 设 X1, X2 ,L, X26 是总体 ~ (0, ) 的一个样本，求概率 2 X N σ ( (16)) 26 11 2 10 1 αt X X P j j i i ≤ ∑ ∑ = = 2004 年 7 月 叶俊 编 3

2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义一一概率统计 例610.设X1,X2,…,H是总体X~N(0,a2)的一个样本,试确定σ的值, 使P(1X,Y 16 (1)求常数C使P(-b)∠C)=09, (2)求P(0709<2<6038) W 第七讲参数估计 内容提要 (1)点估计(矩估计,极大似然估计) (2)估计量的评选标准(无偏性,有效性,一致性 (3)区间估计(枢轴变量法 (4)正态总体参数的置信区间(双侧,单侧) 典型问题 问题1:求矩估计与极大似然估计 问题2:估计量评选标准的讨论 问题3:求參数的区间估计 置信区间的一般求法(枢轴变量法) (1)先找一个与要估计的参数6(或g())有关的统计量T,一般是一良好的点估计 (MLE 2004年7月叶俊编

2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 例 6.10. 设 X1, X2 ,L, X9 是总体 ~ (0, )的一个样本，试确定 2 X N σ σ 的值， 使 P(1 < X < 3)为最大. 例 6.11. 设 X1, X2 ,L, Xn为取自总体 ~ ( ,2 ) 的一个样本， 2 X N µ X 为样本 均值，要使 ( ) 0.1 2 E X − µ ≤ 成立，则样本容量 n 至少应取多少? 例6.12. 设总体X服从 N(a,4) 分布,Y服从 N(b,4)分布, 而 和 分别是来自 X 和 Y 的两个独立的随机样本 , 记 1 2 9 X , X ,L, X 1 2 16 Y ,Y ,L,Y ∑ = = − 9 1 2 1 ( ) i W Xi X , ∑ = = − 16 1 2 2 ( ) j W Yi Y , 其 中 ∑ = = 9 9 1 1 i X Xi , ∑ = = 16 16 1 1 i Y Xi (1) 求常数 C, 使 ) 0.9 | | ( 2 < = − C W Y b P ; (2) 求 (0.709 6.038) 1 2 < < W W P 第七讲 参数估计 内容提要 （1）点估计（矩估计，极大似然估计） （2）估计量的评选标准（无偏性，有效性，一致性） （3）区间估计（枢轴变量法） （4）正态总体参数的置信区间（双侧，单侧） 典型问题 问题 1: 求矩估计与极大似然估计 问题 2: 估计量评选标准的讨论 问题 3: 求参数的区间估计 置信区间的一般求法（枢轴变量法）： （1） 先找一个与要估计的参数θ （或 g(θ ) ）有关的统计量 T ，一般是一良好的点估计 （MLE）; 2004 年 7 月 叶俊 编 4

2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义一一概率统计 (2)寻找一样本X1,X2,…,Xn的函数,即找出T和(或g(O))的某一函数: Z=Z(X,, X b)≡Z(T,6) 它只含待估参数和样本,不含其它未知参数,并且Z的分布(或渐近分布)G已知, 且不依赖于任何未知参数(也不依赖于待估参数θ)(称Z为枢轴变量) (3)对于给定的置信度1-a,定出两常数a,b,使得 P(a≤Z(X1,X2,…Xn,)≤b)=1 般a,b选用分布(或渐近分布)G的上1-一和上一分位点 (4)若能从a≤Z(X1,X2…,Xn,)≤b,得到等价的不等式 61(X1,X2,…,Xn)≤≤62(X1,X2…,Xn) (或6(X1,X2…,Xn)≤g()≤O2(X1,X2…,Xn) 那么1,O2](或[1,021就是0(或g(O))的一个置信度为1-a的置信区间 注:〖双侧置信区间与单侧置信区间的对照〗 典型例题 例71设总体X的概率分布为 X 0220(1-0) 1-26 其中6(0<6<-是未知参数,利用总体X的如下样本值 求θ的矩估计值和最大似然估计值 例72设总体X的分布律为P(X=A)=1 k=0,1,…,N,其中N为未 知的正整数,又X1,X2…,Xn为取自总体X的一个样本,试求N的最大似然 估计 例73设总体X的密度函数为 0≤x≤1 其他 2004年7月叶俊编

2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 （2） 寻找一样本 X1 , X 2 ,L, X n 的函数，即找出 T 和θ （或 g(θ ) ）的某一函数： ( , , , , ) ( , ) Z = Z X1 X 2 L X n θ ≡ Z T θ 它只含待估参数和样本，不含其它未知参数，并且 Z 的分布（或渐近分布）G 已知， 且不依赖于任何未知参数（也不依赖于待估参数θ ）(称 Z 为枢轴变量)； （3） 对于给定的置信度1−α ，定出两常数 a，b，使得 P(a ≤ Z(X1 , X 2 ,L, X n ,θ ) ≤ b) = 1−α 一般 a，b 选用分布（或渐近分布）G 的上 2 1 α − 和上 2 α 分位点； （4） 若能从 a ≤ Z(X1 , X 2 ,L, X n ,θ ) ≤ b ，得到等价的不等式 ( , , , ) ( , , , ) θ 1 X1 X 2 L X n ≤ θ ≤ θ 2 X1 X 2 L X n ( , , , )) ~ ( , , , ) ( ) ~ (或θ1 X1 X2 L Xn ≤ g θ ≤ θ 2 X1 X2 L Xn 那么[ , ] θ1 θ 2 ]) ~ , ~ ( [ 或 θ 1 θ 2 就是θ （或 g(θ ) ）的一个置信度为1−α 的置信区间. 注：〖双侧置信区间与单侧置信区间的对照〗 典型例题 例 7.1 设总体 X 的概率分布为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ 2θ (1−θ ) θ 1− 2θ 0 1 2 3 ~ 2 2 X 其中 ) 2 1 θ (0 < θ < 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3， 求θ 的矩估计值和最大似然估计值. 例 7.2 设总体 X 的分布律为 k N N P X k , 0,1, , 1 1 ( ) = L + = = ，其中 N 为未 知的正整数，又 为取自总体 X 的一个样本，试求 N 的最大似然 估计。 X X Xn , , , 1 2 L 例 7.3 设总体 X 的密度函数为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = − 0 其他 0 1 ( ) 1 x x f x θ θ 2004 年 7 月 叶俊 编 5

2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义一一概率统计 其中6>0为未知参数,X12X2…,Xn为取自总体X的一个样本,试求 (1)O的矩估计量; (2)6的极大似然估计量 例74设z=1nx~N(,a2),试证EX=e 若从上述总体X(参数,a2均未知)中取一个随机样本X1,X2,…,Xn,试求 EX的极大似然估计 例75为了估计湖中有多少条鱼,从湖中捞出1000条鱼,标上记号后又放回湖 中,过一段时间后,再捞出150条鱼,发现其中有10条带有标记,估计湖中鱼 的总数为多少是使上述事件的概率最大。 例76X,X2…,X是正态总体X~N(,)的简单随机样本,,σ2为未知 参数,求P(X>2)的极大似然估计。 例77已知(X,)…(x,)是独立地取自二元正态N(0,0,a2a2,p)的样本 求 a2和p的极大似然估计。 例78设总体x的k阶矩A=EX,k≥1存在又设H12X2…,X是x 的一个样本试证明不论总体服从什么分布k阶样本(原点)矩Mk=∑X 定是k阶总体(原点)矩山的无偏估计 例79设总体ⅹ的均值为,方差为σ-,从中分别抽取容量为n1,n2的两个独 立样本,X1,X2分别是两个样本的均值,试证明,对于满足a+b=1的任何常 数a及b,Y=aX1+bX,都是μ的无偏估计,并确定常数a及b,使Y的方 差达到最小。 例710设X~U[0.6],参数O未知,X1,X2…,Xxn是其大小为n的样本则 1)矩估计量61=2X是无偏的 2004年7月叶俊编

2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 其中θ > 0 为未知参数, X1, X2 ,L, Xn为取自总体 X 的一个样本, 试求 (1) θ 的矩估计量; (2) θ 的极大似然估计量. 例 7.4 设 ln ~ ( , ), 试证 2 Z = X N µ σ 2 2 σ µ+ EX = e , 若从上述总体 X (参数 均未知)中取一个随机样本 , 试求 2 µ,σ X X Xn , , , 1 2 L EX 的极大似然估计. 例 7.5 为了估计湖中有多少条鱼，从湖中捞出 1000 条鱼，标上记号后又放回湖 中，过一段时间后，再捞出 150 条鱼，发现其中有 10 条带有标记，估计湖中鱼 的总数为多少是使上述事件的概率最大。 例 7.6 1 2 , , , X X L Xn 是正态总体 2 X N ~ (µ,σ ) 的简单随机样本， µ ， 2 σ 为未知 参数，求 P(X > 2)的极大似然估计。 例 7.7 已知 1 1 ( , ), ,( , ) X Y L Xn Yn 是独立地取自二元正态 2 2 N(0,0,,, σ σ ρ)的样本， 求 2 σ 和 ρ 的极大似然估计。 例 7.8 设总体 X 的 k 阶矩 存在. 又设 是 X 的一个样本. 试证明不论总体服从什么分布, k 阶样本（原点）矩 = EX , k ≥ 1 k µ k X X Xn , , , 1 2 K ∑ = = n i k k Xi n M 1 1 一定是 k 阶总体（原点）矩µ k 的无偏估计. 例 7.9 设总体 X 的均值为 µ ，方差为 2 σ ，从中分别抽取容量为 的两个独 立样本， 1 2 n , n 1 2 X , X 分别是两个样本的均值，试证明，对于满足a + b = 1的任何常 数 a 及 b， 1 X2 Y = aX + b 都是 µ 的无偏估计，并确定常数 a 及 b，使 Y 的方 差达到最小。 例 7.10 设 X ~U[0,θ ]，参数θ 未知， 是其大小为 n 的样本. 则 X X Xn , , , 1 2 K 1) 矩估计量 θˆ M = 2X 是无偏的； 2004 年 7 月 叶俊 编 6

2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义一一概率统计 2)似然估计1=X(m=max{X1,X2,…,Xn},不是参数的无偏估计 n+1 n+1 但 X(n)是比6M=2X有效的估计量 例71设总体X的概率密度函数为f(x) A(x,x2H,这里H 和(>0)都是参数又设X1,X2,…,Xn为该总体的简单样本 (1)设已知,求的极大似然估计量 (2)设已知,求的矩估计量AM (3)的极大似然估计山2是的无偏估计吗?为什么 例712设X1,x2,…,X2n是来自方差有限的总体X的大小为2n的简单随机样本, 令T=x=1x,T2=1x2,则 2n i=l n i=l (1)对总体期望作估计时T1和T是否无偏?T是否比T2有效?请说明上述结论 的理由 (2)证明T2是总体期望的一致估计(即相合估计) 例7.13随机从一批零件中抽取16件,测得长度(单位:cm)为 2.142.102.132.152.132.122.132.10 2.152.122.142.102.132.112.142.11 设零件长度的分布是正态的,试求总体均值的95%置信区间。 (1)=0.01 (2)G未知 例714对方差2为已知的正态总体,要使均值的1-a置信区间长度不大于 26,抽取的样本容量n至少为多大? 例715假设0.50,1.25,0.80,200是来自总体X的简单样本值.已知Y=lnX服 从正态分布N(A,1) (1)求X的数学期望E(记EX为b) 2004年7月叶俊编

2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 2) 似然估计 ，不是参数θ 的无偏估计. 但 max{ , , , } ˆθ L = X (n) = X1 X 2 L X n ( ) 1 ˆ 1 L X n n n n n + = + θ 是比θˆ M = 2X 有效的估计量. 例 7.11 设总体 X 的概率密度函数为 ，这里 ⎩ ⎨ ⎧ 0)都是参数. 又设 为该总体的简单样本. 1 2 n X , X ,L, X （1）设λ 已知，求 µ 的极大似然估计量µ L ˆ . （2）设 µ 已知，求λ的矩估计量λ M . ˆ （3） µ 的极大似然估计 µ L ˆ 是 µ 的无偏估计吗？为什么？ 例 7.12 设 是来自方差有限的总体 X 的大小为 2n 的简单随机样本， 令 X1 X 2 X 2n , ,L, ∑ ∑ = = = = = n i i n i i X n X T n T X 1 2 2 2 1 1 1 , 2 1 . 则 （1）对总体期望作估计时 和 是否无偏? 是否比 有效? 请说明上述结论 的理由. T1 T2 T1 T2 （2）证明T2 是总体期望的一致估计 (即相合估计) 例 7.13 随机从一批零件中抽取 16 件，测得长度（单位：cm）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设零件长度的分布是正态的，试求总体均值 µ 的 95%置信区间。 （1）σ = 0.01； （2）σ 未知. 例 7.14 对方差 2 σ 为已知的正态总体，要使均值 µ 的1−α 置信区间长度不大于 2δ ，抽取的样本容量 n 至少为多大？ 例 7.15 假设 0.50, 1.25, 0.80, 2.00 是来自总体 X 的简单样本值. 已知 Y = ln X 服 从正态分布 N( , µ 1) . (1) 求 X 的数学期望 EX (记 EX 为 b); 2004 年 7 月 叶俊 编 7

2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义一一概率统计 (2)求的置信度为095的置信区间 (3)利用上面结果求b的置信度为0.95的置信区间 第八讲参数假设检验 内容提要 (1)假设检验的基本思想 (2)假设检验的两类错误 (3)显著性检验(步骤与方法 (4)正态总体参数的假设(双边,单边) 注1:假设检验的步骤: (1)根据实际问题中所关心的问题,建立原假设H和备择假设H1; (2)选择一个合适的统计量(要求H为真时,V的分布已知),并根据其取 值特点确定一个合适的拒绝域形式 (3)由给定的检验水平a,利用关系式 PH,((vaD)=a Pn({>l})=a PH,(v<Van=a 中的某一个,求出水平为a的检验拒绝域 (4)根据样本观察值,算出Ⅴ的观察值,并根据它作出接受还是拒绝H。 注2:〖双侧假设检验,左边假设检验,右边假设检验的对照〗 〖假设检验与区间估计的对照〗 典型问题 问题1:单正态总体的参数检验 1)H:4=4(a)设O已知:采用检验 (b)设方差a未知:采用t检验 2)H:a2=o(a)设已知:采用x2检验 (b)设未知:采用x2检验 问题2:双正态总体的均值差及方差比的假设检验 2004年7月叶俊编

2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 (2) 求µ的置信度为 0.95 的置信区间; (3) 利用上面结果求 b 的置信度为 0.95 的置信区间. 第八讲 参数假设检验 内容提要 （1）假设检验的基本思想 （2）假设检验的两类错误 （3）显著性检验（步骤与方法） （4）正态总体参数的假设（双边，单边） 注 1：假设检验的步骤： （1） 根据实际问题中所关心的问题，建立原假设 H0 和备择假设 H1 ； （2） 选择一个合适的统计量 V（要求 为真时，V 的分布已知），并根据其取 值特点确定一个合适的拒绝域形式； H0 （3） 由给定的检验水平α ，利用关系式 α = α − ({ } { }) 2 2 1 0 PH V V U V V ({ > α}) = α 0 PH V V ({ < α}) = α 0 PH V V 中的某一个，求出水平为α 的检验拒绝域. （4） 根据样本观察值，算出 V 的观察值，并根据它作出接受还是拒绝 . H0 注 2：〖双侧假设检验，左边假设检验，右边假设检验的对照〗 〖假设检验与区间估计的对照〗 典型问题 问题 1: 单正态总体的参数检验 1) Ho：μ＝µ 0 (a) 设σ 2 已知：采用u检验. (b) 设方差σ 2 未知：采用t检验. 2) Ho：σ2 ＝σ 0 2 (a) 设µ 已知: 采用 χ n 检验. 2 (b) 设μ未知: 采用 检验. 2 χ 问题 2: 双正态总体的均值差及方差比的假设检验 2004 年 7 月 叶俊 编 8

2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义一一概率统计 1)两个总体均值差1-p2的检验 (a)设a12,o2均为已知,采用u检验 (b)设1 a2,但a2为未知,采用t检验 (c)设a12,o2均为未知且不知它们是否相等 2)方差比的假设检验.H0:a2/2=c 问题3:两类错误的概率的计算 典型例题 例8.1.用传统工艺加工的某种水果罐头中每瓶VC含量平均为19mg,现采用了 新的加工工艺,试图减少在加工中对VC的破坏,抽查了16瓶罐头,测得VC 的含量(单位:mg)为 2320.521222022.51920 2320.518.820195221823 已知水果罐头中C含量服从正态分布,分别在方差σ2=4和σ2未知的情况 下,问新工艺下VC含量是否比旧工艺有显著提高(c=0.01)? 例82.某项考试要求成绩的标准差为12,现从考试成绩单中任意取15份,计算 样本标准差为16,设成绩服从正态分布,问此次考试的成绩标准差是否不合要 求(a=005)? 例83.测得两批电子器件的样品的电阻(欧姆)为 样品A|01400.1380.14304201440137 样品B01350.1400420.13601380.140 (y) 设这两批器件的电阻值总体分别服从N(1,G12)N(422),且两样本独立 (1)检验假设(a=005) H:o2 G;≠G (2)在(1)的基础上检验(a=005) 1=2;H1:H 例8.4.一药厂生产一种新的止痛片,厂方希望验证服用新药片后至开始起作用 的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半,因此厂方提出需检验假设 2004年7月叶俊编

2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 1) 两个总体均值差µ1 − µ 2的检验 (a) 设 均为已知，采用 u 检验. 2 2 2 1 σ ,σ (b) 设 , 但 为未知，采用 t 检验. 2 2 2 2 σ 1 = σ = σ 2 σ (c) 设 均为未知, 且不知它们是否相等. 2 2 2 1 σ ,σ 2) 方差比的假设检验. H = c . 2 2 2 0 1 : σ /σ 问题 3: 两类错误的概率的计算 典型例题 例 8.1. 用传统工艺加工的某种水果罐头中每瓶 VC 含量平均为 19mg, 现采用了 新的加工工艺，试图减少在加工中对 VC 的破坏，抽查了 16 瓶罐头，测得 VC 的含量（单位：mg）为 23 20.5 21 22 20 22.5 19 20 23 20.5 18.8 20 19.5 22 18 23 已知水果罐头中 VC 含量服从正态分布，分别在方差 4 2 σ = 和 2 σ 未知的情况 下，问新工艺下 VC 含量是否比旧工艺有显著提高（α = 0.01）？ 例 8.2. 某项考试要求成绩的标准差为 12，现从考试成绩单中任意取 15 份，计算 样本标准差为 16，设成绩服从正态分布，问此次考试的成绩标准差是否不合要 求（α = 0.05 ）？ 例 8.3. 测得两批电子器件的样品的电阻（欧姆）为 样品 A （x） 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137 样品 B (y) 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140 设这两批器件的电阻值总体分别服从 ( , ) ，且两样本独立. 2 N µ1 σ 1 ( , ) 2 N µ 2 σ 2 （1） 检验假设（α =0.05） 2 2 2 1 1 2 2 2 0 1 H : σ = σ ； H :σ ≠ σ （2） 在（1）的基础上检验（α =0.05） 0 1 2 1 1 2 H′ : µ = µ ； H′ : µ ≠ µ 例 8.4. 一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用 的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设 2004 年 7 月 叶俊 编 9

2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义一一概率统计 H 2l2;H1:p1>2H2 此处,A1,42分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后起作用的时间间隔的总体 的均值。设两总体均为正态,且方差分别为σ2,2,现分别在两总体中任取一 样本x1x2…xn和y1,y2…,yn,设两样本独立,试给出上述假设H0的拒绝域 (显著性水平为a) 例8.5.某厂生产的零件的直径服从正态分布,以往经验知其标准差为3.6,考 虑假设H0:=68,H1:≠68 现按下列方式进行判断:当X-68|>1时,拒绝原假设H0,否则就接受原假 设Ho。现在抽取64件零件进行检验, (1)求犯第一类错误的概率a; (2)实际情况是μ=70,求犯第一类错误的概率β 2004年7月叶俊编

2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 0 1 2 1 1 2 2 H : µ = 2µ ； H : µ > µ 此处， 1 2 µ ,µ 分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后起作用的时间间隔的总体 的均值。设两总体均为正态，且方差分别为 ，现分别在两总体中任取一 样本 和 ，设两样本独立，试给出上述假设 的拒绝域 （显著性水平为 2 2 2 σ 1，σ 1 1 2 n x , x ,L, x 2 1 2 n y , y ,L, y H0 α ） 例 8.5. 某厂生产的零件的直径服从正态分布，以往经验知其标准差为 3.6，考 虑假设 H0 : µ = 68, H1 : µ ≠ 68 现按下列方式进行判断：当| X − 68 |> 1时，拒绝原假设 ，否则就接受原假 设 。现在抽取 64 件零件进行检验， H0 H0 （1） 求犯第一类错误的概率α ； （2） 实际情况是 µ = 70，求犯第一类错误的概率 β . 2004 年 7 月 叶俊 编 10