龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程一与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第14章在精算与风险模型中的应用 1基本概念 1.1保险中的利率概念 定义14.1(利率,名义利率与连续利率) 设实际年利率为r1,则折现系数定义为v 把与年利率r相等价的一年计 1+F 息m次的名义利率( nominal interest rate记为rm,则它满足 (14.1) r=lim 则就是第13章中的无风险银行利率,称为连续利率,在保险学中则称为利息强度( force of 定义14.2(贴现率与名义贴现率) 对于一年一次计息的利率,在年终计算利息时就应该用年利率r1.但是如果在年初预付 利息,则就要用贴现率,即预付利率d,它就是利率的贴现率,即 这个公式等价于 1+d+d2+…=1+r (14.3) 即:本利和=1(元本金)+预付率+预付率的预付率+预付率的预付率的预付率+ 对于与年利率r1等价的一年m次计息的名义利率rn,其相应的名义贴现率(预付利 率)dm同样满足 由此也可得名义贴现率的公式 1.2生存模型的寿命分布与精算模型中的余寿 405
405 龚光鲁, 钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社, 2003 第 14 章 在精算与风险模型中的应用 1 基本概念 １．１ 保险中的利率概念 定义１４．１ （利率，名义利率与连续利率） 设实际年利率为 1 r , 则折现系数定义为 1 1 1 r v + = D . 把与年利率 1 r 相等价的一年计 息m 次的名义利率 (nominal interest rate)记为 m r , 则它满足 1 1 (1 ) r m rm m + = + . (14. 1) 而 m m r r = ®¥ lim 则就是第 13 章中的无风险银行利率, 称为连续利率, 在保险学中则称为利息强度(force of interest). 定义１４.２ （贴现率与名义贴现率） 对于一年一次计息的利率, 在年终计算利息时就应该用年利率 1 r . 但是如果在年初预付 利息, 则就要用贴现率, 即预付利率 d , 它就是利率的贴现率, 即 1 1 1 r r d + = . (14. 2) 这个公式等价于 1 2 1+ d + d +L = 1+ r , (14.3) 即：本利和＝1(元本金) + 预付率 + 预付率的预付率 + 预付率的预付率的预付率 +L. 对于与年利率 1 r 等价的一年 m 次计息的名义利率 m r , 其相应的名义贴现率(预付利 率) d m同样满足 m r m d m dm m m 1+ + ( ) + =1+ 2 L . (14. 3)’ 由此也可得名义贴现率的公式 m m m m r r d + = . (14. 2)’ １．２ 生存模型的寿命分布与精算模型中的余寿
考察失效可有两种不同的角度.研究部件的失效时间和生物体的死亡时间,随着目的的 不同,考虑的方式也会不同.例如,要知道某种药物对于动物死亡的影响时,我们往往不去 追究被试验的动物的年龄.然而在精算中我们又必须考虑的年龄的差别.在精算界,人们把 后一类归入所谓”有选择模型”,其意思是其对象是有选择的,例如,要考虑年龄的差别 定义14.3(寿命分布,生存概率与失效率) 寿命是一个取非负值的随机变量X,记其分布密度为p(),分布函数为F(),那 么存活到时刻t生存函数(生存概率)为 S(1)=1-F() (14.4) 而时刻t的失效率(死亡率)定义为 n(0)=lim hs0 P(xsI+ hlx>t= p(o) (14.5) p(u)du 显见我们有 (14.6) 典型的寿命分布,除常用的指数分布(由于它是无记忆的分布,在理论上不应直接应用 于有选择模型),对数正态分布外,还有 (1) Weibul分布W(a, P(1)=λ.a·r"-ep oao()(a,>0) 其中a为形状参数,数学期望为Ar(1+-),方差为A[r(1+-)-(I(+-)2]又 若5~expx,则有n=5a~W(λ,a) (2)广义m分布P)0” r() (3)半边正态分布F()=20(0)-)102(),其中d(O)为N0.D)的分布 函数 寿命的对数的分布还有 I-A (1)极值分布F(1)=1-e° (2) Logistic分布F(1) 数学期望μ,方差 1+e 其它被用作寿命分布的还有逆 Gauss分布等. 精算中的死亡力度 如前所述,在精算中应该把投保人的年龄作为重要因素考虑.设年龄x的人的余寿T 具有分布密度P2(1),其分布函数为F(1).那么,他在年龄x+t时的危险率(死亡率,相 406
406 考察失效可有两种不同的角度．研究部件的失效时间和生物体的死亡时间, 随着目的的 不同, 考虑的方式也会不同. 例如, 要知道某种药物对于动物死亡的影响时, 我们往往不去 追究被试验的动物的年龄. 然而在精算中我们又必须考虑的年龄的差别. 在精算界, 人们把 后一类归入所谓”有选择模型”, 其意思是其对象是有选择的，例如，要考虑年龄的差别． 定义１４．３ （寿命分布, 生存概率与失效率） 寿命是一个取非负值的随机变量 X , 记其分布密度为 p(t) , 分布函数为F(t) , 那 么存活到时刻t 生存函数(生存概率)为 S(t)=1- F(t) D , (14. 4) 而时刻t 的失效率（死亡率）定义为 ò ® ¥ D = £ + > = t h p u du p t t P X t h X t ( ) ( ) ( ) lim ( | ) l 0 . (14. 5) 显见我们有 ò = - t u du S t e 0 ( ) ( ) l . (14. 6) 典型的寿命分布，除常用的指数分布(由于它是无记忆的分布, 在理论上不应直接应用 于有选择模型), 对数正态分布外，还有 （１）Weibull 分布 W (a,l) ( ) ( ),( , 0) [0, ) 1 = × × ¥ > - - × l l l p t a t e I t a a a t ， 其中a 为形状参数，数学期望为 ) 1 (1 1 a aG + - l , 方差为 )) ] 1 ) ( (1 2 [ (1 2 2 a a a G + - G + - l ． 又 若 l x ~ exp ， 则有 ~ ( ,, ) 1 W a a h = x l ． （２）广义 Gamma 分布 ( ) ( ) ( ) [0, ) ( ) 1 p t t e I t t ¥ - - × - × - G = b b g b g s s g b . （３）半边正态分布 ) ( ) 2 1 ( ) ( ( ) [0, ) F t t I t =２F - ¥ , 其中F(t) 为 N(0,1) 的分布 函数． 寿命的对数的分布还有 （１）极值分布 s - m - = - t e F(t) 1 e （２）Logistic 分布 s -m -× + = t e F t 1 1 ( ) ， 数学期望 m , 方差 2 2 3 1 s p ． 其它被用作寿命分布的还有逆 Gauss 分布等． 精算中的死亡力度 如前所述, 在精算中应该把投保人的年龄作为重要因素考虑. 设年龄x 的人的余寿T 具有分布密度 p (t) x , 其分布函数为F (t) x ． 那么, 他在年龄x + t 时的危险率 (死亡率，相
当于”顾及年龄”的部件的失效率)应理解成他在时刻t死亡的密度 A(t)=lim m-o P(TSt+A T>t) P2(t) (14.5) 1-F2() 同样,生存时间超过t的概率为S2(t)=e 2(u)du ,于是F2(t)=1-e 记号14.4在国际精算界λ(1)被称为死亡力度.在概率界常用记号λ2(),F2() 和S3(1)表示死亡力度,余寿分布和生存概率.而在精算界,则有他们专用的传统记号, 分别用2+,;q2,和;p2 典型的死亡力度模型有 (1) gompertz的指数死亡力度 1() (2) Makeham死亡力度 1(D)=C1+C2 (3) Weibull|的幂死亡力度(余寿遵从 Weibull分布) (4)线性指数死亡力度(余寿分布称为线性指数分布,或 Rayleigh分布) 1()=元+C(x+D) (5)阶梯形死亡力度 (6)盆状死亡力度,如 β 6·1,或(1) B (7)广义 Pareto死亡力度 入()=a+ 等等.以上几个分布除线性指数分布和 Weibull分布外,即使数学期望的解析式都很难求.一 般需要用数值近似计算 概念12.5(生命表)年龄x的人在当年内死亡的概率用表列出,称为生命表.它 给出了在t为整数(以年为单位肘时的死亡概率,在实际制定时,这些概率都是用统计频率近 似得到的.而在t为非整数时,则可以用此生命表内插.生命表是人寿保险投保操作的基本 2风险模型与破产理论介绍 2.1盈余过程与永不破产的概率
407 当于 ”顾及年龄”的部件的失效率) 应理解成他在时刻t 死亡的密度： 1 ( ) ( ) ( ) lim ( | ) 0 F t p t t P T t t T t x x x t - l = D ® £ + D > = . (14. 5)’ 同样, 生存时间超过t 的概率为 ò = - t x u du x S t e 0 ( ) ( ) l , 于是 ò = - - t x u du x F t e 0 ( ) ( ) 1 l . 记号１４.４ 在国际精算界 (t) lx 被称为死亡力度．在概率界常用记号 (t) lx , F (t) x 和 S (t) x 表示死亡力度, 余寿分布和生存概率． 而在精算界, 则有他们专用的传统记号， 分别用 mx+t , t qx , 和 t px . 典型的死亡力度模型有 （1） Gompertz 的指数死亡力度 x t x t Ce + l ( ) = . （2） Makeham 死亡力度 x t x t C C e + = 1 + 2 l ( ) . （3） Weibull 的幂死亡力度 (余寿遵从 Weibull 分布) : l ( ) = ( + ) ,(g > 0) g t C x t x . （4）线性指数死亡力度 (余寿分布称为线性指数分布，或 Rayleigh 分布) (t) C(x t) lx = l + + . (5) 阶梯形死亡力度. (6) 盆状死亡力度, 如 t x t t x + × + + = d g b l ( ) ，或 b b a a a b l ( ) 1 ( ) ( ) x t x e x t t + + - = . (7) 广义 Pareto 死亡力度 g b l a + + = + x t t x ( ) 等等．以上几个分布除线性指数分布和 Weibull分布外, 即使数学期望的解析式都很难求. 一 般需要用数值近似计算． 概念１２．５（生命表） 年龄x 的人在当年内死亡的概率用表列出, 称为生命表．它 给出了在 t 为整数(以年为单位)时的死亡概率, 在实际制定时，这些概率都是用统计频率近 似得到的．而在 t 为非整数时, 则可以用此生命表内插． 生命表是人寿保险投保操作的基本 依据． 2 风险模型与破产理论介绍 ２．１ 盈余过程与永不破产的概率
定义14.5(理赔次数为 Poisson过时的盈余过程)设N是 Poisson过程,它表示相 继的理赔时刻,而各次理赔的金额是与理赔发生相互独立的独立同分布随机变量列{xn) 其中Xn(>0)表示第n次理赔金额.把时刻t前的累计索赔额记为S,即 S=X1+…+XM (14.7) 它是强度λ的复合 Poisson过程.假定单位时间的投保费为c,而承担此项保险的公司的初 始保证金(准备金)为x0.那么在时刻t公司在此项保险上的盈余为 U =xo +ct-S, (14.8) 它是一个随机过程,称为盈余过程 定义14.6令P=EX1.为了保证运行,保险公司必须要求c>2p.记 14. 它称为相对安全负荷 定义14.7(破产时刻,破产赤字,最终破产概率,永不破产的概率) 随机时刻 U,≤0} (14.10) 称为破产时刻,|Ur|称为破产赤字,它显然满足U7->0,U7≤0.而 < (14.11) 则是在U0=x0的条件下最终破产的概率,则简称为破产概率.类似地 v(x0,l)=P(T≤t|U=x0) 称为I前破产的概率.记永不破产的概率为R(x),则 R(x)=1-v(x)=P(U1≥0,V1)=P(S1-ct≤x,V1) P(sup 2o(S,-ct)sxo)=P(L Sxo) (14.13) 其中 L=supo ( s, -ct) 是保险公司的最大损失.可见永不破产的概率R(x0)正是最大损失的分布函数.类似地还 有t前不破产的概率
408 定义１４.５（理赔次数为 Poisson 过时的盈余过程） 设Nt 是 Poisson 过程, 它表示相 继的理赔时刻, 而各次理赔的金额是与理赔发生相互独立的独立同分布随机变量列{ ) X n , 其中 (> 0) Xn 表示第n 次理赔金额. 把时刻t 前的累计索赔额记为St , 即 Nt St = X1 +L+ X . (14. 7) 它是强度l 的复合 Poisson 过程． 假定单位时间的投保费为c , 而承担此项保险的公司的初 始保证金(准备金)为 0 x . 那么在时刻t 公司在此项保险上的盈余为 t St U = x0 + ct - . (14. 8) 它是一个随机过程, 称为盈余过程. 定义１４.６ 令 p = EX1 . 为了保证运行, 保险公司必须要求 c > lp . 记 L = - 1 D p c l , (14. 9) 它称为相对安全负荷. 定义１４.７（破产时刻，破产赤字，最终破产概率，永不破产的概率） 随机时刻 = inf{ : £ 0} Ut T t (14. 10) 称为破产时刻, | | UT 称为破产赤字, 它显然满足UT - > 0,UT £ 0. 而 ( ) ( ) 0 0 0 y x = P T < ¥ | U = x (14. 11) 则是在 0 0 U = x 的条件下最终破产的概率, 则简称为破产概率． 类似地 ( ) ( ) 0 0 0 y x ,t = P T £ t |U = x (14. 12) 称为t 前破产的概率． 记永不破产的概率为 ( ) 0 R x , 则 ( ) 1 ( ) ( 0, ) ( , ) 0 0 0 R x x P U t P S ct x t = -y = t ³ " = t - £ " (sup ( ) ) ( ) 0 0 0 P S ct x P L x = t t - £ = £ D ³ , (14. 13) 其中 sup ( ) 0 L S ct = t³ t - D 是保险公司的最大损失． 可见永不破产的概率 ( ) 0 R x 正是最大损失的分布函数. 类似地还 有t 前不破产的概率
R(x0,1) (14.14) 显见有R(x0,∞)=R(x) 在本书中,如果不作特别声明,恒假设理赔额X是有分布密度Px(x)的随机变量.于 是累计理赔额S(它是复合 Poisson过程)的分布函数为Fs(x,1)具有密度函数,记为 Ps(x,1).从而盈余过程U,的分布函数为 F(x,D)=P(x+ct-S,≤x)=1-Fs(x0+ct-x,),(1415) 并有密度,记为Pu(x,1),表示准备金为x0时,盈余过程在时刻t的分布密度.显见有 Pu(x, t)=Ps(xo +Ct-x, t) (14.15) 2.2t前不破产的概率的公式与估计 准备知识 定义14.7随机变量序列{xn}称为可交换的随机序列,如果对于任意m及 12…,m}的任意一个排序{,l2,…,m},均有{xn,X2,…,X}与{X1,Xx2,…,Xm}同 分布.可交换的随机序列Xn的部分和Sn=x+X1+…+Xn,(S0=0)称为具可交换增量的 随机序列 例14.8独立同分布随机变量的部分和是最简单的具可交换增量的随机序列 例14.9设N是以{rn}为更新流的更新过程,而其独立同分布的更新间隔为 T1,…,Tn,…这时,在条件N,=n下,{m}msn对于条件概率P(*N1=n)而言,是具有 可交换增量的随机序列 与随机徘徊相类似,具可交换增量的随机序列也有对称原理,它是随机徘徊的对称原 理的推广 命题14·1◎(可交换增量的随机序列对称原理)设Sn为具可交换增量的随机序 列,且S=0,则有 P(S1>0,(x时有 409
409 ( , ) 1 ( , ) 0 0 R x t = -y x t D ． (14. 14) 显见有 ( , ) ( ) 0 0 R x ¥ = R x ． 在本书中, 如果不作特别声明, 恒假设理赔额 Xi 是有分布密度 p (x) X 的随机变量． 于 是累计理赔额 St (它是复合 Poisson 过程) 的分布函数为 F (x,t) S 具有密度函数, 记为 p (x,t) S . 从而盈余过程Ut 的分布函数为 ( , ) ( ) 1 ( , ) 0 0 F x t P x ct S x F x ct x t U = + - t £ = - S + - , (14.15) 并有密度, 记为 p (x,t) U ，表示准备金为 0 x 时, 盈余过程在时刻t 的分布密度． 显见有 ( , ) ( , ) 0 p x t p x ct x t U = S + - . (14. 15)＇ ２．２ t 前不破产的概率的公式与估计 准备知识 定义１４.７ 随机变量序列 { } X n 称为可交换的随机序列 , 如果对于任意 m 及 {1,2,L,m}的任意一个排序{ , , , } 1 2 m i i L i , 均有{ , , , } i1 i2 im X X L X 与{ , , , } X1 X2 L X m 同 分布．可交换的随机序列 Xn 的部分和 ,( 0) = + 1 + + 0 = D S x X X S n L n 称为具可交换增量的 随机序列． 例１４．８ 独立同分布随机变量的部分和是最简单的具可交换增量的随机序列． 例１４．９ 设 Nt 是以{ }n t 为更新流的更新过程，而其独立同分布的更新间隔为 T1 ,L,Tn ,L．这时，在条件 Nt = n下, m m£n {t } 对于条件概率 P( | N n) * t = 而言，是具有 可交换增量的随机序列 与随机徘徊相类似，具可交换增量的随机序列也有对称原理，它是随机徘徊的对称原 理的推广． 命题１４．１０ (可交换增量的随机序列对称原理) 设Sn 为具可交换增量的随机序 列, 且S0 = 0 , 则有 P(S 0,(i n),S [a,b]) P(S S ,(i n),S [a,b]) i > x时有
P(S, 0,我们有 P(U,≥0,x<U1≤x+dx,<D)=P(U,<U12x<U1≤x+dx,vs<) P(x x+ (证明大意由于盈余过程U,是由复合 Poisson过程构成的,所以它是独立增量过程.于是它在相等时 间间隔的采样是独立随机变量的和,因而采样列是具有可交换增量的随机变量列对它应用对称原理,再 让采样间隔趋于0,便得第一个等式再对U,用 Dwass-Dinges定理,并让采样间隔趋于0,便得第二个等 (1)无准备金时t前不破产概率R(0,1)的第一个计算公式 因为x0=0,所以U1≤Ct.在(14.18)两边对x从0到ct积分,我们得到 R(0.,t)=P(U,≥0,s≤D)=P(U,≥0,U1≤ct,Vs≤1)= xpu(x, t dx 对于上式右方用分部积分,再用变量替换ct-x=y,并用(1415),则 上式右方=[ct(c,0)-F(x,)b [ct-(1-Fs( ndx] Fs(, ndy 于是我们得到如下的第一个公式 R(0,1) [注]此公式在理赔额无分布密度时仍然正确,证明只需作一些必要的修改 (2).无准备金时t前不破产概率R(0,)的第二个计算公式 由前面的推导过程可以看出 410
410 ( ,( ), ) P(S m) n m x P Si m i n Sn m n = - 0, 我们有 P(U 0, x U x dx, s t) s ³ < t £ + " < = P(U U , x U x dx, s t) s < t < t £ + " < = ct x P(x U x dx) < t £ + . (14. 18) (证明大意 由于盈余过程Ut 是由复合 Poisson 过程构成的, 所以它是独立增量过程. 于是它在相等时 间间隔的采样是独立随机变量的和, 因而采样列是具有可交换增量的随机变量列. 对它应用对称原理, 再 让采样间隔趋于0, 便得第一个等式. 再对 Ut c 1 用Dwass-Dinges 定理, 并让采样间隔趋于0, 便得第二个等 式). (1) 无准备金时t 前不破产概率 R(0,t) 的第一个计算公式 因为x0 = 0 , 所以U ct t £ . 在(14. 18)两边对x 从 0 到ct 积分, 我们得到 R(0,t) = P(U 0, s t) s ³ " £ = P(U 0,U ct, s t) s ³ t £ " £ = ct 1 xp x t dx U ct ( , ) ò0 ． 对于上式右方用分部积分, 再用变量替换ct - x = y , 并用(14.15), 则 上式右方 [ ( , ) ( , ) ] 1 0 ctF ct t F x t dx ct ct = U - ò U ò = - - - ct S ct F ct x t dx ct 0 [ (1 ( , )) ] 1 F y t dy ct ct S ( , ) 1 ò0 = ． 于是我们得到如下的第一个公式 F y t dy ct R t S ct ( , ) 1 (0, ) ò0 = ． (14. 19) [注] 此公式在理赔额无分布密度时仍然正确, 证明只需作一些必要的修改． (2). 无准备金时t 前不破产概率 R(0,t) 的第二个计算公式 由前面的推导过程可以看出
RQ)=a2--50)=a+[(-()-S>y 再利用P(S,>y)=ES=Ap,并用相对安全负荷A=C-1作为参数,便得另 个表达式 R(,1)=,+[P(S,>y)y (14.20) 1+A ct 我们把它们综合为下面的定理。 定理14.13对无准备金且以复合 Poisson过程理赔的风险模型,在时刻t以前破产 的概率为 R(0)=F P(S,>yyy 1+a ct (3)无准备金时前不破产概率R(0,1)的上界估计 假定累次理赔额X的二阶矩有限.由 Chebyshev不等式,我们有 P(S,>y)=P(S,-ES,>y-itp)0.我们可以把有准备金情形化为无准备金情形.显见 R(x0,1)=P(U,≥0,(Vs≤1)=PU1≥0)-P(U1≥0,3s0)d.(14.23) 由于S在[P,P+)中不变化的概率为1-o(d),从而P(∈[PP+)使U,=0)与
411 ò ò ò ¥ ¥ = - - = + - - > ct S t S ct ct F y t dy P S y dy ct ct F y t dy ct R t 0 0 [ (1 ( , )) ( ) ] 1 [ (1 ( , )) ] 1 (0, ) ． 再利用 ò ¥ > = = 0 P(St y)dy ESt ltp，并用相对安全负荷 L = - 1 p c l 作为参数, 便得另一 个表达式 P S y dy ct R t ct ò t ¥ + > + L L = ( ) 1 1 (0, ) ． (14. 20) 我们把它们综合为下面的定理。 定理１４．１３ 对无准备金且以复合 Poisson 过程理赔的风险模型, 在时刻t 以前破产 的概率为 F y t dy ct R t S ct ( , ) 1 (0, ) ò0 = P S y dy ct ct ò t ¥ + > + L L = ( ) 1 1 ． (3) 无准备金时前不破产概率R(0,t) 的上界估计 假定累次理赔额 Xi 的二阶矩有限. 由 Chebyshev 不等式，我们有 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y tp tEX y tp Var S P S y P S ES y tp t t t t l l l l - = - > = - > - £ ． 于是由(14. 20)得到上界估计 ct c p EX dy c y tp EX R t ct l l l l - + + L L £ - + + L L £ ò ¥ 1 ( ) 1 1 1 (0, ) 2 1 2 2 1 ． (14. 21) (4). 无准备金时永不破产概率R(0) 的公式 + L L = ¥ = 1 R(0) R(0, ) (14. 22) 可见最终破产的概率为 + L = 1 1 y (0) , (14. 23) 即相对安全负荷 L = - 1 p c l 越大, 则最终破产概率越小, 这与直觉并无二致. ２．有准备金情形下的不破产概率 现在设 U0 = x0 > 0 ．我们可以把有准备金情形化为无准备金情形．显见 ( , ) ( 0,( )) ( 0) ( 0, 0) R x0 t = P U s ³ "s £ t = P Ut ³ - P Ut ³ $s ò 使 且 有 . (14. 23) 由于 St 在[ p, p + dp) 中不变化的概率为 1- o(dp) , 从而 ($ Î[ , + ) = 0) p p dp U s P s 使 与
P(Un∈(-cp,0)只差0(中)(它们都近似地等于在长为中的时间段只有一次理赔的概 率)再则,由U1的独立增量性可知它也是 Markov过程,直观地利用全概率公式(如果要追 究数学的严格性,就需要注意破产时刻T是随机变量.在把T作为“现在”时刻,利用U,是 独立增量过程,仍然可以证明它对于这种随机的”现在”仍具有 Markov性{对随机的”现 在”仍有 Markov性的随机过程称为具有强 Markov性.本书中略去这较多测度论知识的 推导},注意到此时Un=c,于是(14.23)的右方为 Fs(xo+ct, t)-LP,(0, P)cdpR(O, t-p) 再用(14.15),就得到把有准备金情形化为无准备金情形的t前不破产概率的公式,即下面 的定理 定理14.14 R(x1)=F(x+c,)-cR(01-p)(x+,p)4.(142) 注]此公式在随机理赔额无分布密度时只需作相应的修改 2.3有准备金时最终破产概率的上界与调节系数 定理14.15下述关于s的方程 px(x) (14.25) 存在唯一正解R(即R满足1+pR(1+A)=[e"px(x)dx)它给出了最终破产概率 v(x)(-∞<x0<∞,即容许初始盈余为负一负债的情形)随初始盈余衰减的指数界: v(x)≤e-A 这个R称为调节系数 注]如果将理赔额的分布密度的Lpe变换记为L2()=e“"p1(x),那么R 为非线性方程 ALL.(s)-1=sc (14.26) 的正根,它可以用数值分析方法求得 证明首先,0显然是此方程的一个解.再则,方程(1425)的左方是s的线性函数,右 方则是s的趋于∞的凸函数,而在S=0处左边的导数大于右边的导数,因此,此方程还存 在一个正解,我们将第n次理赔前破产的概率记为vn(xo).那么,vn(x0)≤v(x0)且 vn(x0)→v(x0)·于是定理的证明只需对n归纳地证明 vn(x0)≤ (14.27) 注意v0(x)=l=0(x0),即n=0时(14.27)自然成立,今作归纳法假设n-1时(14.27)
412 P(U ( cdp,0]) p Î - 只差o(dp) (它们都近似地等于在长为dp 的时间段只有一次理赔的概 率). 再则，由Ut 的独立增量性可知它也是 Markov 过程, 直观地利用全概率公式 (如果要追 究数学的严格性, 就需要注意破产时刻T 是随机变量. 在把T 作为 “现在”时刻, 利用Ut 是 独立增量过程, 仍然可以证明它对于这种随机的 ”现在”仍具有 Markov 性 {对随机的 ”现 在” 仍有 Markov 性的随机过程, 称为具有强 Markov 性． 本书中略去这较多测度论知识的 推导}, 注意到此时dU cdp p = , 于是(14. 23)的右方为 ( , ) (0, ) (0, ) 0 F x0 ct t p p cdpR t p t = S + - U - ò ． 再用(14. 15), 就得到把有准备金情形化为无准备金情形的 t 前不破产概率的公式，即下面 的定理. 定理１４.１４ ò = + - - + t R x t FS x ct t c R t p pS x cp p dp 0 0 0 0 ( , ) ( , ) (0, ) ( , ) . (14 24) [注] 此公式在随机理赔额无分布密度时只需作相应的修改． ２．３ 有准备金时最终破产概率的上界与调节系数 定理１４．１５ 下述关于s 的方程 sc e p x dx X sx ( ) ò0 ¥ l + = l (14. 25) 存在唯一正解 R (即R 满足 pR e p x dx X Rx 1 (1 ) ( ) ò0 ¥ + + L = ). 它给出了最终破产概率 ( ) 0 y x ( - ¥ < x0 < ¥ , 即容许初始盈余为负— -负债的情形) 随初始盈余衰减的指数界： 0 ( ) 0 Rx x e - y £ . (14. 26) 这个 R 称为调节系数． [注] 如果将理赔额的分布密度的 Laplace变换记为 L (s) PX ò ¥ - D = 0 e p (x)dx X sx , 那么R 为非线性方程 l[ L s sc pX (- ) - 1] = (14. 26)’ 的正根, 它可以用数值分析方法求得. 证明 首先，０显然是此方程的一个解． 再则, 方程(14.25)的左方是s 的线性函数, 右 方则是 s 的趋于¥ 的凸函数， 而在s = 0 处左边的导数大于右边的导数, 因此, 此方程还存 在一个正解．我们将第n 次理赔前破产的概率记为 ( ) 0 x y n ．那么, ( ) 0 x y n ( ) 0 £y x 且 ( ) 0 x y n ( ) 0 ®y x ．于是定理的证明只需对n 归纳地证明 ( ) 0 x y n Rx0 e - £ ． (14. 27) 注意 ( ) ( ) 0 0 ( ,0] 0 x I x y = -¥ , 即n = 0时(14. 27)自然成立． 今作归纳法假设 n -1时(14. 27)
正确.对于n的情形,利用第一次理赔时刻服从指数分布,在计算概率v(x)时,对第一次 理赔时刻与理赔额运用全概率公式,再用归纳法假定及调节系数的定义,我们得到 Wn(x)=cPm次理赔前破产首次理赔时刻为理赔额为y)p:(y)ht pPr (dy so*[ 24-Jep()=e 其中最后一个等号得自R的定义 庄注1]递推公式 yn(xo)=L hedrlym-(ro +ct-y)Px ()dy(14.28) 正给出了最终破产概率的递推近似 注2](般的理赔更新流情形)如果理赔流不是指数流,而是一般的更新流,那么调 节系数R定义应为下述方程的解s 其中T为首次理赔时刻.同样可以证明v(x0)≤en.注意当理赔流为指数流时,调节 系数用(14.29)定义与用(14.25)定义是一致的 定理14.15(调节系数的估计 R-log( 1+A) 证明由R满足 1+pR+A)=.e°n1(>〔(u+k+△)p:(=1+REx1+FEx 立得(1430).另一方面,在区间[0M]的两端,凸函数e与线性函数(e-1)+1相等 由此推出 l)+1 于是 1+pR+A)=「e-p(x)t≤"+x(2-1)p1(xk=1+( 因此1+A≤ 便得(1431) RM 413
413 正确．对于n 的情形, 利用第一次理赔时刻服从指数分布, 在计算概率 (x ) y n 时, 对第一次 理赔时刻与理赔额运用全概率公式, 再用归纳法假定及调节系数的定义, 我们得到 x e P n t y p y dydt X t n ( ) ( | , ) ( ) 0 0 ò 次理赔前破产 首次理赔时刻为 理赔额为 ¥ - = l y l ò ò ¥ ¥ - - = + - 0 0 1 0 e dt (x ct y) p (y)dy n X t l y l ò ò ¥ ¥ - - + - £ 0 0 [ ] ( ) 0 e dt e p y dy X lt R x ct y l ò - - = + = 0 0 ( ) Rx X Rx Ry e e p y dy e l Rc l , 其中最后一个等号得自 R 的定义． [注 1] 递推公式 ( ) 0 x y n ò ò ¥ ¥ - - = + - 0 0 1 0 e dt (x ct y) p (y)dy n X t l y l (14. 28) 正给出了最终破产概率的递推近似. [注 2] (一般的理赔更新流情形) 如果理赔流不是指数流, 而是一般的更新流, 那么调 节系数 R 定义应为下述方程的解s ： 1 ( ) 1 1 = s X -cT Ee , (14. 29) 其中T1为首次理赔时刻．同样可以证明 0 ( ) 0 Rx x e - y £ ． 注意当理赔流为指数流时, 调节 系数用(14. 29)定义与用((14. 25)定义是一致的． 定理１４．１５ (调节系数的估计) 2 1 1 2 EX EX R + L M R ． (14. 31) 证明 由R 满足 pR e p x dx X Rx 1 (1 ) ( ) ò0 ¥ + + L = ò ¥ > + + = + + 0 2 1 2 1 2 2 1 ) ( ) 1 2 ( ) (1 p x dx REX R EX Rx Rx X 立得(14.30)．另一方面, 在区间[0, M ]的两端, 凸函数 Rx e 与线性函数 ( -1) + 1 RM e M x 相等, 由此推出 Rx e £ ( -1) + 1 RM e M x ． 于是 pR e p x dx X Rx 1 (1 ) ( ) ò0 ¥ + + L = ò ¥ - £ + - = + 0 ( 1) (1 ( 1)) ( ) 1 p M e e p x dx M x RM X RM ． 因此 MR RM e RM e < - + L £ 1 1 , 便得(14.31)．
[注]理赔额存在密度Px(x)的假定也是不必要的,其证明也只需要把普通积分改为 Stieltjes积分 2.4破产概率的方程 由于理赔额超过x的概率为1-Fx(x),对于x≥0,在(14.28),令n→>∞,便得到破产概率 满足积分方程 dtl v(x+ct-y)Pr(y)dy 令l=x+Ct,那么 y(x)= he dul y(u-y)Pr (y)dy,(x20 另一方面,显见应有 y(x)=1,(x0).(423 它也可简单地写成永不破产概率的积分微分方程 R(x)=-[R(x)-R(u)px(r-u)du (14.35) 例15.17在理赔额服从指数分布及混合指数分布时,可以由(14.35)再求导数,导出v满足的常 系数常微分方程,求解便可得ψ的明显表达式,例如,在理赔额服从参数为μ的指数分布时,调节系数 为R=HA 最终破产概率为v(x)=~1 1+A [注1]理赔次数可以不必局限为 Poisson过程,一般地可以是一个更新过程,其中最简单的是 Erlang(2) 过程.相应地就有 Erlang(2)盈余过程 [注2]还有大数定律 U,、C-AEX1 2,从而有U(∞)=∞ [注3]一般重点关心的问题还有:在初始保证金为x时,集体风险理论中的破产时刻T,破产前 的盈余U与破产时刻的赤字-Ur这三个随机变量组(T,Ur,U7)如果存在联合密度 414
414 [注] 理赔额存在密度 p (x) X 的假定也是不必要的, 其证明也只需要把普通积分改为 Stieltjes 积分. ２．４ 破产概率的方程 由于理赔额超过 x 的概率为1 F (x) - X , 对于 x ³ 0, 在(14. 28)中, 令 n ® ¥ , 便得到破产概率 满足积分方程 ò ò ¥ ¥ - = + - 0 0 (x) e dt (x ct y)p ( y)dy X t y l y l . (14. 32) 令u = x + ct , 那么 ( ) ( ) ( ) ,( 0) 0 ( ) = - ³ ò ò ¥ ¥ - - x e du u y p y dy x x X c u x y l y l . (14. 33) 另一方面, 显见应有 y (x) = 1,(x ò x u p x u du F x x c x x y y X X l y ． (14. 35) 它也可简单地写成永不破产概率的积分微分方程: '( ) [ ( ) ( ) ( ) ] 0 R x R u p x u du c R x X x = - - ò l . (14. 35)’ 例１５．１７ 在理赔额服从指数分布及混合指数分布时, 可以由(14. 35)再求导数, 导出y 满足的常 系数常微分方程, 求解便可得y 的明显表达式． 例如, 在理赔额服从参数为 m 的指数分布时， 调节系数 为 + L L = 1 m R , 最终破产概率为 0 1 1 ( ) 0 Rx x e - + L y = ． [注１] 理赔次数可以不必局限为 Poisson 过程, 一般地可以是一个更新过程, 其中最简单的是 Erlang(2) 过程． 相应地就有 Erlang(2) 盈余过程． [注２] 还有大数定律 l lEX1 c N U t t t - ¾ ®¾¥® , 从而有 U (¥) = ¥ . [注３] 一般重点关心的问题还有： 在初始保证金为 0 x 时, 集体风险理论中的破产时刻T , 破产前 的盈余 UT- 与破产时刻的赤字 -UT ．这三个随机变量组 ( , , ) T UT - -UT 如果存在联合密度
