龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程及其在算法与智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第4章更新现象及其理论 Stieltjes积分简述 假定G(x)为右连续的递增函数.那么,我们可以如微积分中定积分那样定义关于G(x) 的 Stieltjes积分 h(x)dG(x)=lim rm.(o)-4(m)0 ∑h(1(")G(n1(")-(G(") 这里{}是半开区间(ab]的一个划分.这种积分的运算规律及近似计算,与普通积分基 本上类似.最大的不同之处是:由于G(x)在某些点上的跃度可以大于零,在这些点上的积 分就可能不是0.因此我们通常考虑在半开区间(a,b上的积分.类似地还可以定义瑕积分 M(xG)=lm→J(x)d(x,简记为JMx)dF(x)或MF 般地说, Stieltjes积分更多地用作理论分析,因为除了几种特殊情形或者是它们的混 合情形,能计算出积分以外,通常的 Stieltjes积分只能用积分和来近似估算.几种能直接计 算的特殊情形包括 (1)若G(x)=g(a)dm,则[hx)dG(x)=[h(x)g(x)dx化简为普通的积分 (2)若G(x)是右连续的递增的阶梯函数,即存在{xn}c(an,b],使 G(x)=∑G(xn)-G(xn-),则由积分的定义可算出 h(x)dG(x)=Ch(xn)[G(xn)-G(,-) 这时, Stieltjes积分就化为无穷级数 (3)对于一个点的集合{x0},有(x)dG(x)=h(x0)G(x0)-G(x- 可见, Stieltjes积分是一种包容普通的积分与无穷级数,而比之更为广泛的数学模型.显 然 Stieltjes积分也与通常积分一样地具有加法性质.此外, Stieltjes积分还具有以下的性质: (1)若h(x)≥0,则h(x)G(x)20(因为G(x)递增) 特别地,若F()是随机变量5的分布函数,则E5)=∫xF(x)(这在第一章中已 经提到) (2)若h(x)20,且∑h(x)<∞,则
76 龚光鲁，钱敏平著 应用随机过程教程及其在算法与智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第 4 章 更新现象及其理论 1. Stieltjes 积分简述 假定G( x) 为右连续的递增函数. 那么, 我们可以如微积分中定积分那样定义关于 G( x) 的 Stieltjes 积分: ( ) ( ) lim ( )[ ( ) ( ( )] ( ) ( ) 1 ( ) max ( ) 0 ( ) ( ) 1 n i i n i n i t t n b a h x dG x h t G t G t n i n i i = å - ò + - ® ®¥ + ， 这里{ } (n) i t 是半开区间 (a, b]的一个划分. 这种积分的运算规律及近似计算, 与普通积分基 本上类似. 最大的不同之处是: 由于 G( x) 在某些点上的跃度可以大于零, 在这些点上的积 分就可能不是 0. 因此我们通常考虑在半开区间(a, b]上的积分. 类似地还可以定义瑕积分 ®¥ ®-¥ ¥ -¥ = ò b h x dG x a ( ) ( ) lim ò b a h(x)dG(x), 简记为 ò h(x)dF(x) 或 ò hdF . 一般地说, Stieltjes 积分更多地用作理论分析, 因为除了几种特殊情形或者是它们的混 合情形, 能计算出积分以外, 通常的 Stieltjes 积分只能用积分和来近似估算. 几种能直接计 算的特殊情形包括: (1) 若 ò = x c G(x) g(u)du , 则 = ò b a h(x)dG(x) ò b a h(x)g(x)dx 化简为普通的积分. (2) 若G( x) 是右连续的递增的阶梯函数, 即存在{x } (a,b] n Ì , 使 å£ = - - x x n n n G(x) [G(x ) G(x )], 则由积分的定义可算出 ò = å - - n n n n b a h(x)dG(x) h(x )[G(x ) G(x )], 这时, Stieltjes 积分就化为无穷级数. (3) 对于一个点的集合{ }0 x , 有 ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] 0 0 0 { 0} = - - ò h x dG x h x G x G x x . 可见，Stieltjes 积分是一种包容普通的积分与无穷级数, 而比之更为广泛的数学模型. 显 然 Stieltjes 积分也与通常积分一样地具有加法性质. 此外，Stieltjes 积分还具有以下的性质: (1) 若h(x) ³ 0 , 则 ( ) ( ) ³ 0 ò h x dG x (因为G( x) 递增). 特别地, 若 F(x) 是随机变量x 的分布函数, 则 ò Eh(x ) = h(x)dF(x) (这在第一章中已 经提到). (2) 若 hn (x) ³ 0, 且å hn (x) < ¥ n , 则
∫∑h(x)d0(x)=∑Jh,(x(x (3)设右连续的递增函数列G(x)满足∑G(x)<∞,又(x)20则 「x)2G(x)=∑Mxd(x) 注事实上(2)和(3)给出了无穷和与积分的运算次序可以交换的条件.在(2)和(3)中,我们 并未严格地给出h(x),hn(x)需要满足的条件,通常遇到的函数都可取成h(x),b(x).在本 书中避免在数学上追求严格条件 2.更新过程的概念 2.1作为 Poisson过程推广的更新过程 更新现象是指数流的推广·也是一种按随机时刻到达的流,但是这个随机的流并不按独 立同分布的指数分布随机变量的和到达,而是按非负独立同分布随机变量和的到达 定义4.1假定{}是非负的独立同分布随机变量序列,且其二阶矩有限.记 ET IawT1=a2,再假定ao=P(T1=0)<1.令 0=0,n=T1+…+Tn,(n≥1),N1=Sup{k:k≤l 即N,是{n}的计数过程(它们分别是 Poisson过程与指数流的推广).rn称为第n次更新 时刻,随机序列{n}称为更新流,Tn称为第n个更新间隔,N,称为更新过程 除了 Poisson过程以外,一般的更新过程N,就不是独立增量过程.但是更新过程与更新 流之间仍由下面的关系联系起来 {N≥n}={n≤l 定义4.2非负整值随机变量η称为关于随机变量列{k}满足Wald条件,如果对于 任意n,事件{=n}与{n1,Tn+2…}独立 引理4.3对于更新过程N,在t固定时n=N1+1关于{}满足Wald条件 证明{=m}即随机事件{N1=n-1},也就是{rm1≤l}\{rn≤l},后者可由随机变量 组{T1,…,Tn}完全地确定.故N1+1(即n)满足Wald条件 注意虽然N+1(即n)满足Wald条件,但是N,并不满足Wald条件.所以,对于 rx+可以应用Wa|d等式(1.26)与(1.27),而对于rx则不可以应用Wa|d等式(1.26)与
77 òå åò = n n hn (x)dG(x) hn (x)dG(x) . (3) 设右连续的递增函数列G (x) n 满足å < ¥ k k G (x) , 又h(x) ³ 0 则 ò å åò = k k h(x)d ( Gk (x)) h(x)dGk (x) . 注 事实上(2)和(3)给出了无穷和与积分的运算次序可以交换的条件. 在(2)和(3)中, 我们 并未严格地给出 h(x),h (x) n 需要满足的条件, 通常遇到的函数都可取成h(x),h (x) n . 在本 书中避免在数学上追求严格条件. 2. 更新过程的概念 2. 1 作为 Poisson 过程推广的更新过程 更新现象是指数流的推广. 也是一种按随机时刻到达的流，但是这个随机的流并不按独 立同分布的指数分布随机变量的和到达, 而是按非负独立同分布随机变量和的到达. 定义４.１ 假定{ } Tk 是非负的独立同分布随机变量序列, 且其二阶矩有限 . 记 ET1 = m , 2 VarT1 = s , 再假定 ( 0) 1 0 = 1 = < D a P T . 令 0, ,( 1) t 0 = t n = T1 +L+Tn n ³ , N sup{k : t} t = t k £ ， （4. 1） 即 Nt 是{ }n t 的计数过程（它们分别是 Poisson 过程与指数流的推广）． n t 称为第n 次更新 时刻, 随机序列{ }n t 称为更新流, Tn称为第n 个更新间隔, Nt 称为更新过程. 除了 Poisson 过程以外，一般的更新过程Nt 就不是独立增量过程. 但是更新过程与更新 流之间仍由下面的关系联系起来 {N n} { t} t ³ = t n £ . (4. 2) 定义４．２ 非负整值随机变量h 称为关于随机变量列{ } Tk 满足 Wald 条件，如果对于 任意n ，事件{h = n}与{ , , } Tn+1 Tn+2 L 独立． 引理４．３ 对于更新过程Nt ，在t 固定时 = + 1 Nt D h 关于{ } Tk 满足 Wald 条件． 证明 {h = n}即随机事件{N = n -1} t ，也就是{ } \{ } 1 t t t n- £ t n £ ，后者可由随机变量 组{ , , } T1 L Tn 完全地确定．故 Nt +1（即h ）满足 Wald 条件． ? 注意 虽然Nt +1（即h ）满足 Wald 条件，但是Nt 并不满足 Wald 条件. 所以，对于 Nt +1 t 可以应用 Wald 等式(1. 26)与(1. 27)，而对于 Nt t 则不可以应用 Wald 等式(1. 26)与
27 此外,即使在N是 Poisson过程的情形,由于{Tk}并不与N,独立,作为随机多个项 的独立和的x+1或rN都不是复合 Poisson过程.这样才能避免作不正确的推导 命题4.4P(N,=∞)=0 证明由大数定律,我们有 P(N=∞)=mnP(N1≥n)=lmnP(n≤1) T1+…+T =lm mm P( 0 记n的分布函数为F(1)=P(τn≤l}.与 Poisson过程类似地,更新过程N,的分布为 P(N,=n)=F(0-Fn(O 假定T是第k次更新的部件的寿命,利用F(1)是时刻t前更新次数超过n的概率 P(N,≥n),可以在此概率在容许小的控制条件下,设计部件备件的最小存储量也就是找 尽可能小的n,使Fn()被控制在一个可以容许的“小“的范围内,以达到减少储备量的 目的但是Fn()=P(rn≤D是n个与7独立同分布的随机变量的和的分布函数,除了极个 别的例子外,一般很不容易得到Fn(O)的解析表达式,然而,在应用中可以借助于随机模拟 得到它的近似例如,多次(例如m次)生成n个独立T随机数并求和用此m个和中不超 过t的频率,作为F(1)的估计值 命题4.5更新过程N,的期望函数称为更新函数它满足m(m)=EN1<∞,而且有 m()=∑Fn() 证明其有限性由P(T1=0)<1所保证,我们略去其证明.为了得到(44)式,我们利 用非负随机变量I 它的求和与取期望可以交换所以 EN=E∑l1s)=∑P(n≤1)=右
78 (1. 27)). 此外, 即使在 Nt 是 Poisson 过程的情形, 由于{ } Tk 并不与 Nt 独立, 作为随机多个项 的独立和的 Nt +1 t 或 Nt t 都不是复合 Poisson 过程. 这样才能避免作不正确的推导. 命题 4. ４ P(Nt = ¥) = 0 ． 证明 由大数定律, 我们有 P(N ) lim P(N n) lim P( t) t = ¥ = n®¥ t ³ = n®¥ t n £ lim ( ) 0 1 £ = + + = ®¥ n t n T T P n n L . ? 记 n t 的分布函数为 F (t) P( t} n = t n £ . 与 Poisson 过程类似地, 更新过程Nt 的分布为 ( ) ( ) ( ) 1 P N n F t F t t = = n - n+ . (4. 3) 假定 Tk 是第 k 次更新的部件的寿命 , 利用 F (t) n 是时刻 t 前更新次数超过 n 的概率 P(N n) t ³ , 可以在此概率在容许小的控制条件下，设计部件备件的最小存储量. 也就是找 尽可能小的 n , 使F (t) n 被控制在一个可以容许的 “小 “ 的范围内, 以达到减少储备量的 目的. 但是F (t) P( t) n = t n £ 是n 个与T1独立同分布的随机变量的和的分布函数，除了极个 别的例子外, 一般很不容易得到 F (t) n 的解析表达式. 然而, 在应用中可以借助于随机模拟 得到它的近似. 例如, 多次 (例如m 次) 生成n 个独立T1随机数并求和, 用此m 个和中不超 过t 的频率, 作为F (t) n 的估计值. 命题 4.５ 更新过程Nt 的期望函数称为更新函数. 它满足 ENt m t D ( )= < ¥ , 而且有 m(t) å ¥ = = 1 ( ) n n F t (4. 4) 证明 其有限性由P(T1 = 0) <1所保证, 我们略去其证明. 为了得到(4.4)式, 我们利 用非负随机变量 { n t} I t £ , 它的求和与取期望可以交换, 所以 å å ¥ = ¥ = = £ = £ 1 1 { } ( ) ( ) n n t t n EN E I P t n t t = 右
命题4.6令N。=lm,N1,则P(N2=∞)=1 证明P(N2<∞)≤P(使Tn=∞)s∑P(Tn=∞)=0 1.2更新函数的更新方程 定理4.7设T的分布函数为F1(1),则更新函数m(1)满足积分方程 m()=F1(1)+m(t-s)dF(s) 证明为了数学上更简单,我们假定分布函数F1具有密度f1.于是F是n个独立同分 布密度∫的随机变量的和的分布因此,它的分布密度满足关系 fn=f*∫n,J2=f*f, 其中(f*gO)=(-(s,fOg0在∞)上定义(易见∫*g=g*f)由 f(t-s)F, (s)ds)=( f(s)F, (t-s)ds)=f(s)f,(t-s)ds=fn(D) 可知 F(1)=[f(-s)F2(S)d=(f*F))=(F*/)) 再用(44)式便得 m()=F1(1)+(F+F2+…)*f=F1(1)+(m*f)(t) ? 注1更新函数m(1)是时刻t以前的平均更新次数EN,它是更新过程的一个极为重 要的量,表达了部件的平均储备量方程(4.5)可用来对m(1)作数值近似例如用典型的迭 代方法,可以求得m(m)的数值近似解.即令 m0(O)=F1(O)m0+()=F()+m(-)/()b、m≥0) 那么,在适当的条件下,就有∑m1“(1)≈m(t) 注2设h()是一个在任意有限区间上有界的函数.利用更新函数可以求解如下类型的 积分方程 g()=h()+g(-s)dF(s)
79 命题 4.６ 令N t®¥ Nt D ¥ =lim ， 则P(N¥ = ¥) =1. 证明 å ¥ = ¥ < ¥ £ $ = ¥ £ = ¥ = 1 ( ) ( , ) ( ) 0 n P N P n 使Tn P Tn . 1. 2 更新函数的更新方程 定理 4.７ 设T1的分布函数为 ( ) 1 F t , 则更新函数m(t) 满足积分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 m t F t m t s dF s t ò = + - . (4. 5) 证明 为了数学上更简单, 我们假定分布函数F1具有密度 1 f . 于是Fn 是n 个独立同分 布密度 f 的随机变量的和的分布. 因此, 它的分布密度 n f 满足关系 1 1 2 1 1 f f f , f f f n = * n - = * , 其中 ò * = - D t f g t f t s g s ds 0 ( )( ) ( ) ( ) , f (t), g (t) 在[0,¥) 上定义, (易见 f * g = g * f ). 由 ( ( ) ( ) }' ( ( ) ( ) )' ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 f t s F s ds f s F t s ds f s f t s ds f t n n t n t n t ò - = ò - = ò - = + 可知 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 1 F t f t s F s ds f F t F f t n t n = - n = * n = * + ò ． 再用(4. 4)式便得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 1 m t = F t + F + F +L * f = F t + m* f t . ? 注 1 更新函数m(t) 是时刻t 以前的平均更新次数 ENt , 它是更新过程的一个极为重 要的量, 表达了部件的平均储备量. 方程(4. 5)可用来对m(t) 作数值近似. 例如用典型的迭 代方法，可以求得m(t) 的数值近似解. 即令 ò = = + - ³ + t n n m t F t m t F t m t s f s ds n 0 ( ) 1 ( 1) 1 (0) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ,( 0) ． 那么, 在适当的条件下, 就有 ( ) ( ) ( ) 0 m t m t k n k å » = . 注 2 设h(t) 是一个在任意有限区间上有界的函数. 利用更新函数可以求解如下类型的 积分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 g t h t g t s dF s t = + - ò
这种积分方程称为更新方程.更新方程在精算中的集体风险模型中,是一个最基本的数学工 具 下面我们来求解更新方程.假定更新间隔的分布函数F1(x)具有密度f1(x).注意 Fn(x)的密度函数∫满足fn=f1*∫n,故而这时更新函数m(1)具有微商 m()=∑f()这样更新方程可以改写为 g=h+(g*f),即g*(1-f1)=h 由此得到更新方程的解 g=(1-f1)*h=(1+∑f)*h= g()=h()+「h(-sm(s 如果更新间隔的分布函数F1(x)不存在密度,那么只要利用Sees积分的性质,就可以得到 g(0)=b()+M-s)dm(s) 这就是说,更新方程的解g(1)可以用更新函数m(1)表示 注3更新间隔的分布函数F1(x)完全确定了更新函数m().反之,更新函数m(1)也 完全确定了更新间隔的分布函数F1(x).事实上它们可以通过 Laplace变换相互表达.对于 一个在[0,∞)定义的非负函数g(),可以定义它的 Laplace变换(记为L())如下 当g(1)是更新时间T具有密度f时,其 Laplace变换的概率含义为T的负指数矩,即 L(z)=Ee1.容易验证 Laplace变换满足以下的乘法关系 在(4.5)式两边取 Laplace变换,就得到其 Laplace形式 Ln()=L(=)+L(=)Ln(=)
80 这种积分方程称为更新方程. 更新方程在精算中的集体风险模型中, 是一个最基本的数学工 具. 下面我们来求解更新方程. 假定更新间隔的分布函数 ( ) 1 F x 具有密度 ( ) 1 f x . 注意 F (x) n 的密度函数 n f 满 足 n n f = f * f +1 1 , 故 而 这时更新函数 m(t) 具有微商 '( ) ( ) 1 m t f t n n å ¥ = = . 这样, 更新方程可以改写为 ( )1 g = h + g * f , 即g *(1- f 1 ) = h . 由此得到更新方程的解 (1 ) (1 ) ' 1 1 g f1 h f n h h h m n = - * = +å * = + * ¥ = - . 即 g t h t h t s m s ds t ( ) ( ) ( ) '( ) 0 = + - ò . 如果更新间隔的分布函数 ( ) 1 F x 不存在密度, 那么只要利用 Stieltjes 积分的性质, 就可以得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 g t h t h t s dm s t = + - ò . 这就是说, 更新方程的解 g (t) 可以用更新函数m(t) 表示. 注３ 更新间隔的分布函数 ( ) 1 F x 完全确定了更新函数 m(t) . 反之, 更新函数 m(t) 也 完全确定了更新间隔的分布函数 ( ) 1 F x . 事实上它们可以通过 Laplace 变换相互表达. 对于 一个在[0,¥) 定义的非负函数 g (t) ，可以定义它的 Laplace 变换（记为L (z) g ）如下 L z e g t dt zt g ( ) ( ) 0 - ¥ ò = ． 当 g (t) 是更新时间T1 具有密度 1 f 时, 其 Laplace 变换的概率含义为T1 的负指数矩， 即 ( ) = 1 L z f 1 zT Ee- ．容易验证 Laplace 变换满足以下的乘法关系 L (z) L (z)L (z) g *h = g h . 在（４．５）式两边取 Laplace 变换, 就得到其 Laplace 形式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 L z L z L z L z m = F + f m . (4. 6)
由分部积分可以得到L;(=)=L1()·代入(4·6)式就可以解出 zL,() Ln(=) (4.7) 1-L(=) 等价地有 f(2) Lm(二) 二+Ln(二) 又由于非负随机变量的分布密度是由此随机变量的负指数矩唯一确定的,所以更新间隔的 分布密度f1可由更新函数m(1)唯一确定 由(4.7式,只要用z的有理多项式来近似Ln(=),再通过查一般函数的 Laplace变换表, 也可以得到m()的近似计算公式 (如果更新间隔的分布函数F()不存在密度,那么这时候有Ee=「edF(),这是分布函数 F()的 Lap lace-Stielt变换,我们把它记为lA()再定义L2(2)=「edm,与上面 类似地可以得到 LS(=)= LF(E) LS(=) 或 Lm(二) 1.3年龄与剩余寿命 定义4.8设τn为更新流,N1是其对应的更新过程.当t固定时,随机变量 a,=t-N称为(第N个更新元的)年龄;而随机变量y,=τx+-1称为(第N 个更新元的)剩余寿命 命题4.9(指数流的年龄与剩余寿命)设τ是强度为λ的指数流,则当t固定时 有 (1)剩余寿命y,=【N+-t服从强度为λ的指数分布,即 y,=T1(记号=表示两边的随机变量同分布 (2)年龄a,的分布是如下的一个混合型的分布函数 P(a, ss)=lon(sdl-e)+I(s)
81 由分部积分可以得到 ( ) ( ) 1 1 L z zL z F = f ．代入（４．６）式就可以解出 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 L z zL z L z f f m - = . (4. 7) 等价地有 ( ) ( ) ( ) 1 z L z L z L z m m f + = . (4. 7)’ 又由于非负随机变量的分布密度是由此随机变量的负指数矩唯一确定的, 所以更新间隔的 分布密度 1 f 可由更新函数m(t) 唯一确定. 由(4. 7)式, 只要用z 的有理多项式来近似 L (z) m , 再通过查一般函数的 Laplace变换表, 也可以得到m(t) 的近似计算公式. (如果更新间隔的分布函数 ( ) 1 F t 不存在密度, 那么这时候有 ( ) 1 0 1 Ee e dF t zT -zt ¥ - ò = , 这是分布函数 ( ) 1 F t 的 Laplace-Stieltjies 变换, 我们把它记为 ( ) 1 L z S F . 再定义 ( ) ( ) 0 L z e dm t S zt m - ¥ ò = . 与上面 类似地可以得到 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 L z L z L z S F S S F m - = , 或 1 ( ) ( ) ( ) 1 L z L z L z S m S S m F + = (4. 7)’’) 1. 3 年龄与剩余寿命 定义 4. ８ 设 n t 为更新流, Nt 是其对应的更新过程．当t 固定时, 随机变量 Nt t a =t -t D 称为 (第Nt 个更新元的) 年龄; 而随机变量 t Nt g t = t +1 - 称为 (第 Nt 个更新元的) 剩余寿命. 命题４.９（指数流的年龄与剩余寿命）设 n t 是强度为l 的指数流, 则当t 固定时 有 （１）剩余寿命 t Nt g t = t +1 - 服从强度为l 的指数分布, 即 T1 d g t = (记号 d = 表示两边的随机变量同分布). (4. 8) （２）年龄at 的分布是如下的一个混合型的分布函数 ( ) ( )(1 ) ( ) (0, ) [ , ) P s I s e I s t s t t ¥ - £ = - + l a . (4. 9)
即a;与τ∧t同分布,其中τAt=min(r,D),r~eNpx 证明(1)随机变量y1=TN+1-1分布函数为 P(,≤s)=P(r =P(rxst+s)=∑P(N=n)P(xn≤+|N,=n) P(N1=n)P(N,≥1)=P(N,≥1)=1 (2)按定义当s≥t时P(a1>s)=P(t-τx>s)=0.而当ss)=P(t-,>)=∑P(N,=n,n<t-s) P(N N-N=0)=∑P(N=:=n)P(N=0) 推论4.10指数流的平均更新年龄为 4.1 从而重新得到第3章2.3段中的结论:t前最近更新时刻的数学期望为 1+A E 证明由命题4.9(2)可知,a,的分布函数在点有一个跃度为e的跳跃,而在[01) 上有连续导数λ·e,所以a,的分布函数可以看成为如下的混合型分布 P(a,≤s)=(1-e)F1(s)+eF2(s) 其中F(s)具有概率密度f1(s)=;x1o(s),而F2(s)=l1x(s).由于这两个分布的 数学期望分别为1-2,1e-与1,因此Eas1-eb 元·(1-e-) 命题4.11(一般更新流的平均剩余寿命)对于一般更新过程的剩余寿命y,有 EY:=(1+m(D)E1-t (4.lI
82 即 at 与t Ùt 同分布, 其中 t Ùt min( t ,t) D = , l t ~ exp . 证明 （１）随机变量 t Nt g t = t +1 - 分布函数为 ( ) ( ) 1 P s P t s Nt g t £ = t + - £ ( ) ( ) ( | ) 1 0 P 1 t s P Nt n P n t s Nt n n Nt = £ + = = + £ + = ¥ = t + å t s s n P Nt n P Ns P N e -l ¥ = = å ( = ) ( ³ 1) = ( ³ 1) = 1- 0 . （２） 按定义当s ³ t 时 P(at > s) = P(t - > s) = 0 Nt t . 而当s s) = å ¥ = - > = = < - 0 ( ) ( , ) n P t N s P Nt n n t s t t t å ¥ = = - = - = 0 ( , 0) n P Nt s n Nt Ns å ¥ = - = - = = = 0 ( ) ( 0) n s P Nt s n P Ns e l . 推论４．１０ 指数流的平均更新年龄为: l a lt t e E - - = 1 . (4. 10) 从而重新得到第 3 章 2. 3 段中的结论：t 前最近更新时刻的数学期望为 l l t a l e t E E t t N t t - + = - = - 1 ( ) ． 证明 由命题４.９(2)可知, at 的分布函数在 t 点有一个跃度为 t e -l 的跳跃, 而在[0,t) 上有连续导数 s e l l - × , 所以at 的分布函数可以看成为如下的混合型分布 ( ) (1 ) ( ) ( ) 1 2 P s e F s e F s t t t l l a - - £ = - + , 其中 ( ) 1 F s 具有概率密度 ( ) 1 ( ) 1 [0, ) I s e e f s t t s l l l - - - × = , 而 ( ) ( ) 2 [ , ) F s I s = t ¥ . 由于这两个分布的 数学期望分别为 (1 ) 1 t t t - e - te - e l l l l l - - - × × 与t , 因此 l a lt t e E - - = 1 . 命题４.１１ （一般更新流的平均剩余寿命 ）对于一般更新过程的剩余寿命 t g 有 E m t ET t g t = (1+ ( )) 1 - . (4. 11)
证明由于n=N1+1满足wad条件,我们仍可用Wald等式(参见(1.26)式及(1.27)式)得 到Ern=EnET,从而有ErN+1=(+m(1)ET 用同样的推理及r(xn)=Emar(7)+mm)ET2,Em2=∑P(n>n,m)可以得 到(我们略去冗长的推演过程) Ey2=(1+m)E72-2(+[m(s)s)ET1+t2 (4.12) 我们还不加证明地指出下面的渐近关系 ET Ey→ 2ET gET 此关系可以为储存设计提供参考 对1前的更新时刻Tx的分布,则有下面的积分表示 定理4.12(用更新间隔的分布函数F)表达t前的更新时刻τx的分布函数) (1-F()+(1-F(-s)dm(s(n≤o 证明利用独立和r的 Markov性质,我们得到 左=∑P(xn≤u,N=m)=∑P(rn≤rn =(1-F1(1)+∑P(rn≤l1nH>1) =(-F(0)+,Prn>|r,=s( F()+∑(-F 2更新定理与更新次数的正态近似 在应用中,主要是要知道更新过程(更新次数)的渐近概率规律,以作为设计的参考 2.1更新定理 定理4.13(更新定理)对于更新过程有 N (这里ET1可以取+∞)
83 证明 由于 = + 1 D h Nt 满足 Wald 条件, 我们仍可用 Wald 等式 (参见(1. 26)式及(1. 27) 式)得 到 E EhET1 th = ，从而有 1 E N 1 (1 m(t))ET t t + = + 。 用同样的推理及 2 1 1 Var(th ) = EhVar(T ) +Var(h)ET ， å ¥ = = > , 1 2 ( , ) n m Eh P h n m 可以得 到 (我们略去冗长的推演过程) ò = + - + + t t E m t ET t m s ds ET t 0 2 1 2 1 2 g (1 ( )) 2( ( ) ) . (4. 12) 我们还不加证明地指出下面的渐近关系 1 2 1 2ET ET E t t ®¥ g ® , 1 3 2 1 3ET ET E t t ®¥ g ® , (4.13) 此关系可以为储存设计提供参考. 对t 前的更新时刻 Nt t 的分布，则有下面的积分表示 定理 4. 12 （用更新间隔的分布函数 F (t) 1 表达t 前的更新时刻 Nt t 的分布函数） ò £ = - + - - £ u N 1 1 P u F t F t s dm s u t t 0 (t ) (1 ( )) (1 ( )) ( ),( ). (4. 14) 证明 利用独立和 n t 的 Markov 性质, 我们得到 左 ( , ) 0 P n u Nt n n = å £ = ¥ = t ( , ) 1 0 P u t n n n = £ + > ¥ = å t t = (1- F1 (t)) + ( , ) 1 1 P u t n n n £ + > ¥ = å t t = (1- F1 (t)) + ( | ) ( ) 1 1 0 P n t n s dFn s n u + > = ¥ = åò t t = (1- F1 (t)) + (1 ( )) ( ) 1 0 F1 t s dFn s n u å - - ò ¥ = =右. 2 更新定理与更新次数的正态近似 在应用中，主要是要知道更新过程(更新次数)的渐近概率规律, 以作为设计的参考. 2. 1 更新定理 定理 4. １3 (更新定理) 对于更新过程有 (1) ) 1 1 (lim 1 ®¥ = = t ET N P t t (这里 ET1可以取 + ¥ )
(2)基本更新定理 →一,(t∞)(这里ET可以取+∞) (注当ar(T1)时有EM、t,War(N)x 于是我们有 定理4.14(正态近似定理)若Var(T)=a2<∞,ET1=μ,则 ≈NO),(t→∞) (4 N 证明P( ≤x)=P(N,≤xo 令b(1)是大于XG +一的最 小整数,那么等式的右边等于 P(N,≤b()=P(020)=P20=b)2t-b a√b() √b()
84 (2) 基本更新定理 ,( ) ( ) 1 1 ® t ® ¥ t ET m t (这里 ET1可以取 + ¥ ). (4. 15) (注 当 Var(T1 ) < ¥ 时, 还有 ,( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 ® t ® ¥ ET Var T t Var Nt . (4. 16) ) 证明 (1)利用 Nt £ < Nt +1 r t t , 在t ® ¥ 时, 应用强大数定律便得 1 . . ET N a e t Nt ® t . (2)在 直观上看就是对于(1)取数学期望，然而其严格证明较为复杂, 本书略去. 注 在强度为 l 的指数流情形, 极限关系就简化为恒等关系, 即对于任意 t 均有 1 ( ) 1 t ET m t = , 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ET Var T t Var Nt = , 这是因为 l 1 ET1 = , 1 2 1 ( ) l Var T = , Var N m t t t ( ) = ( ) = l × . * 2. 2 更新过程的正态近似 对于更新过 Nt 而言，事件{N n} t ³ 即{ t} t n £ ，而 后者作为独立同分布的随机变量的和的分 布近似正态，所以 ，更新过程在时间发展充分长后，其分布就近似正态。设 ET1 = m ， = < ¥ 2 1 Var(T ) s , 则定理 4.13 说明当t ® ¥ 时有 m t ENt » ， 3 2 ( ) m ts Var Nt » ， 于是我们有 定理 4. １4 (正态近似定理) 若 = < ¥ 2 1 Var(T ) s , ET1 = m , 则 (0,1),( ) 3 » ® ¥ - N t t t Nt m s m . (4. 17) 证明 ( ) ( ) 3 3 m m s m s m t t x P N x t t N P t t £ = £ + - . 令 b(t) 是大于 m m s t t x + 3 的最 小整数, 那么等式的右边等于 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ( ) b t t b t b t b t P N b t P t P b t t b t s m s t m t - ³ - £ = ³ =
Tmn -ub(o) >1-Φ(x)=Φ(x) a√b(1) 其中Φ(x)是N(0,1)的分布函数.这里用了tn服从中心极限定理以及由b(1)的定义所引出的近似关系 b(t)≈-x b() N.-λ·t 注在强度为A的指数流的情形,此定理即是中心极限定理 N(O,1),(t→>∞),因为 此时有=一,σ 2.3 Blackwell定理与主更新定理 在本段中,我们不再假定更新间隔T有密度函数,它可以是离散的随机变量 定义4.15(格点分布)设随机变量ξ只取某个正数(更常见的是正整数)d的整数倍 而且这个d是满足此性质的最大者(d称为周期)则称此随机变量具有d-格点分布 我们不加证明地介绍两个在更新理论中最重要的定理, Blackwell定理及作为其延伸的主 更新定理( key renewal theorem) 定理4.16(B| ackwe II定理)设更新间隔T的数学期望ET= (1)若更新间隔T不是格点分布,则 im,→[m(t+s)-m() (2)若更新间隔T1是d-格点分布,则 lim m(nd) 注(1)的形式可由定理4.13猜得,其严格证明的主要点在于极限的存在性,一旦证明 存在性,那么此极限作为s的函数易见是可加的,等式就自然成立.本定理的证明可参见文 献[H]) 定理4.17(主更新定理)若更新间隔T不是格点分布,ET=μ,则对可积函数g有 limiNg(t-s)dm(s)=[g( (4.20) 注1在指数流时(4.20)是显然的. 注2 Blackwell定理中的(1),相当于在主更新定理中取g(1)=1+·事实上,由
85 ) ( ) ( ) ( ( ) x b t b t P b t ³ - - » s t m 1 ( x) (x) t ¾ ¾® - F - = F ®¥ , 其中F(x) 是 N(0,1) 的分布函数. 这里用了 n t 服从中心极限定理以及由 b(t) 的定义所引出的近似关系 x b t t b t » - - ( ) ( ) s m . 注 在强度为 l 的指数流的情形, 此定理即是中心极限定理 » (0,1),( ® ¥) × - × N t t N t t l l , 因为 此时有 2 2 1 , 1 l s l m = = . 2. 3 Blackwell 定理与主更新定理 在本段中, 我们不再假定更新间隔T1有密度函数, 它可以是离散的随机变量. 定义 4. １5 (格点分布) 设随机变量x 只取某个正数 (更常见的是正整数) d 的整数倍, 而且这个 d 是满足此性质的最大者( d 称为周期), 则称此随机变量具有d - 格点分布. 我们不加证明地介绍两个在更新理论中最重要的定理, Blackwell 定理及作为其延伸的主 更新定理 (key renewal theorem) 定理 4. １6 (Blackwell 定理) 设更新间隔T1的数学期望 ET1 = m . (1) 若更新间隔T1不是格点分布, 则 m s m t s m t lim t®¥ [ ( + ) - ( )] = ; (4. 18) (2) 若更新间隔T1是d - 格点分布, 则 m d lim n®¥ m(nd) = . (4. 19) (注 (1)的形式可由定理 4.13 猜得，其严格证明的主要点在于极限的存在性, 一旦证明 存在性, 那么此极限作为 s 的函数易见是可加的, 等式就自然成立．本定理的证明可参见文 献［H］). 定理 4. 17 (主更新定理) 若更新间隔T1不是格点分布, ET1 = m , 则对可积函数 g 有 ò ò ¥ ®¥ - = t t dt g t g t s dm s 0 0 ( ) lim ( ) ( ) m . (4. 20) 注 1 在指数流时(4. 20)是显然的. 注 2 Blackwell 定理中的(1), 相当于在主更新定理中取 ( , ] ( ) t t s g t I = + . 事实上，由