北京大学2000年研究生入学考试:概率统计与线性规划试题 (8分)假设事件A与Bi(=12,,n)相互独立,其中B1,B2,,Bn两两不相容。证明A的补集与 1+B2++Bn相互独立。 (10分)已知随机变量X的分布函数为 0x1|X>0} 2、X与Y是否相互独立 四、(8分)在某个公共汽车站一小时内等候的人数服从泊松( Poisson)分布,根据以往大量的随机 观测平均每小时有36.73人候车,请问一小时内最可能在此车站候车的人数是多少? 五、(12分)设总体服从区间[00上(0>0)的均匀分布,X1,X2,,Xn是从中抽取的一个简单随机 试求:1、0的最大似然估计: 2、0的一个置信度为1-a的置信区间(a>0)
北京大学 2000 年研究生入学考试：概率统计与线性规划试题 一、（8 分）假设事件 A 与 Bi（i=1,2,...,n)相互独立，其中 B1,B2,...,Bn 两两不相容。证明 A 的补集与 B1+B2+...+Bn 相互独立。 二、（10 分）已知随机变量 X 的分布函数为 试求将 X 标准化之后得到的变量 Y（即 Y＝(X－μ)/σ，其中 μ 和 σ 分别表示 X 的期望和标准差）的 分布函数。 三、（12 分）设（X,Y)的联合密度函数为 其中，c 是某个待定常数。 试求：1、P｛X＋Y＞1｜X>0}; 2、X 与 Y 是否相互独立。 四、（8 分）在某个公共汽车站一小时内等候的人数服从泊松（Poisson)分布，根据以往大量的随机 观测平均每小时有 36.73 人候车，请问一小时内最可能在此车站候车的人数是多少？ 五、（12 分）设总体服从区间[0,θ]上（θ＞0）的均匀分布，X1,X2,...,Xn 是从中抽取的一个简单随机 样本。 试求：1、θ 的最大似然估计； 2、θ 的一个置信度为 1-α 的置信区间(α >0)
六、(10分)某个厂家生产的10件产品中次品的个数未知。甲从中有放回地抽取了n次,结果没有 抽到次品,并由此接受这10件产品中没有次品的假设。请甲可能会犯什么类型的错误?为了使得甲犯该 类型错误的最大概率不超过60%,他至少需要抽取多少次? 七、(10分)假设根据样本(Ⅺ1,Y1),…(Ⅺ,Yn)得到的一元线性回归樸型的最 小二乘估计为P=B+,其中模型的可决系数为R,记残差项为 YyYa-BX,,i=l, 2,",n. 试求:与y,i=1,2,…,n之间的样本相关系数。 八、(6分)试证明:若线性规划有两个不同的最优解,则它有无穷多个最优解。 九、(12分)线性规划的目标函数是Maxz,在用标准的单纯型法求解的过程中,得到下表(其中ab 是常数,部分数据有缺失) 2 8 0 0 Cb Xb XI X2 X3 X4 X6 X2 B A X4 CJ-ZJ 1)在答卷纸上画出此单纯型表,并在所有空格中填上适当的数(其中可含参数ab)。 2)判断以下四种情况在什么时候成立,并简要说明理由 (1)此解为最优解?请写出相应的基解和目标函数值。 (2)此解为最优解,此规划又有无穷多最优解? (3)此规划有无界解? (4)此解不是最优解,且能用单纯型法得到一下一个基解
六、（10 分）某个厂家生产的 10 件产品中次品的个数未知。甲从中有放回地抽取了 n 次，结果没有 抽到次品，并由此接受这 10 件产品中没有次品的假设。请甲可能会犯什么类型的错误？为了使得甲犯该 类型错误的最大概率不超过 60%，他至少需要抽取多少次？ 八、(6 分)试证明：若线性规划有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 九、(12 分)线性规划的目标函数是 Max z，在用标准的单纯型法求解的过程中，得到下表(其中 a,b 是常数，部分数据有缺失)： C 2 5 8 0 0 0 Cb Xb B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X6 20 0 3 0 X2 B A 1/2 X4 8 -2 -1 1 Cj-Zj -2 1) 在答卷纸上画出此单纯型表，并在所有空格中填上适当的数(其中可含参数 a,b)。 2) 判断以下四种情况在什么时候成立，并简要说明理由。 (1)此解为最优解？请写出相应的基解和目标函数值。 (2)此解为最优解，此规划又有无穷多最优解？ (3)此规划有无界解？ (4)此解不是最优解，且能用单纯型法得到一下一个基解
十、(12分)某地区有三个煤矿,专供四个城镇之用。已知各煤矿与各城镇之间的运输费用矩阵如下(单 50315 10126∞ 位:元吨为:L16149 。已知三个煤矿的产量分别为25000吨,18000吨,17000吨:四 个城镇的需求量分别为12000吨,15000吨,18000吨,24000吨。若不能满足需求,各城市的最低需求 分别为8000吨,10000吨,12000吨,15000吨 (1)试建立使本地区四城镇煤炭运费最小的线性规划模型。 (2)写出此线性规划的对偶规划
十、(12 分)某地区有三个煤矿，专供四个城镇之用。已知各煤矿与各城镇之间的运输费用矩阵如下(单 位：元/吨)： 。已知三个煤矿的产量分别为 25000 吨，18000 吨，17000 吨；四 个城镇的需求量分别为 12000 吨，15000 吨，18000 吨，24000 吨。若不能满足需求，各城市的最低需求 分别为 8000 吨，10000 吨，12000 吨，15000 吨。 (1)试建立使本地区四城镇煤炭运费最小的线性规划模型。 (2)写出此线性规划的对偶规划