高等院校非数学类本科数学课程 大学数学 多元微积分学
高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学 （三） 多元微积分学
第一章 多元函数微分学 教案编写:刘楚中曾金平 电子制作:刘楚中曾金平 已世剑
第一章 多元函数微分学 教案编写：刘楚中 曾金平 电子制作：刘楚中 曾金平
第一章多元函数微分学 本章学习要求 1.理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 知道二元函数的极限、连续性等概念,以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法 3.理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件 5.理解方向导数的概念,并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系
第一章 多元函数微分学 本章学习要求： 1. 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 2. 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法。 3. 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。 4. 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件。 5. 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系
6.会求隐函数包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7.知道二元函数的泰勒公式形式。 8.知道n元函数的偏导数概念及其求法。 9.熟悉平面的方程和直线的方程及其求法 10.了解空间平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 1l.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12.理解二元函数无约束极值的概念,能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值(有约束极值)的概念,能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题
6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7. 知道二元函数的泰勒公式形式。 8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。 9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。 10. 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题
多元微分学的应用 在几何方面的应用 在优化方面的应用
多元微分学的应用 ● 在几何方面的应用 ●●在优化方面的应用 在优化方面的应用
多元函数的极值 极值和最大、最小值问题属于优化问题范畴,它 是一种简单的优化问题 无约束极值 多元函数的极值 变拉 量‖格 替 日 法乘 数 法 有约束极值
极值和最大、最小值问题属于优化问题范畴, 它 是一种简单的优化问题. 多 元 函 数 的 极 值 无约束极值 有约束极值 变 量 替 代 法 拉 格 朗 日 乘 数 法 多元函数的极值
无约束极值 无约東极值的形式 目标函数:=f(X),X∈!cR" 表现形式:maxf(X)X∈g mif(X)X∈g2
无约束极值的形式 目标函数： n u = f (X) , X R 表现形式： max f (X) X min f (X) X 一 . 无约束极值
极大值和极小值的定义 设=f(X)在U(X0)cR"内有定义 若X∈U(X0),总有 f(X)f(X0) 则称f(X)为函数f(X)的极大值(极小值 A0称为函数的极大点(极小点) 函数的极大值和极小值统称为函数的极值
极大值和极小值的定义 设 u = f (X ) 在 n U(X0 ) R 内有定义. 若 U( ), ˆ X X0 总有 ( ) ( ) X0 f X f ( ( ) ( )) X0 f X f 则称 ( ) X0 f 为函数 f (X ) 的极大值(极小值). X0 称为函数的极大点(极小点). 函数的极大值和极小值统称为函数的极值
例1函数z=1-x2-y2在点(0,0)处取极大值 2 例2函数z=√x2+y2在点(O,0)处取极小值 现在对已有的结果进行分析 看能否得到一点什么
例1 函数 2 2 z = 1− x − y 在点 (0,0) 处取极大值. 函数 2 2 例2 z = x + y 在点 (0,0) 处取极小值. 现在对已有的结果进行分析, 看能否得到一点什么
例1函数z=√1-x2-y2在点(0,0)处取极大值 进行分析: 上半单位球面 函数z=√1-x2(即固定y=0)在点x=0处 取极大值,由一元函数取极值的必要紊件.有 ax10.0)=0 2 类似地.函数z y(即固定x=0)在点y=0处 取极大值,由一元函数取极值的必要条件.有 2 (0,0) 0
例1 函数 2 2 z = 1− x − y 在点 (0,0) 处取极大值. 进行分析： 函数 2 z = 1− x (即固定 y = 0) 在点 x = 0 处 取极大值, 由一元函数取极值的必要条件, 有 (0,0) = 0 x z 取极大值, 由一元函数取极值的必要条件, 有 类似地, 函数 z = 1− y 2 (即固定 x = 0) 在点 y = 0 处 (0,0) = 0 y z 上半单位球面