高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(-) 元微积分学 第三十一讲一元微积分的应用四) 面积、体积、弧长 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三十一讲 一元微积分的应用(四) 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中 —— 面积、体积、弧长
第六章一元微积分的应用 本章学习要求 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念,并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法″,能熟练运用定积分表达和计算· 些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章 一元微积分的应用 本章学习要求： ▪ 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 ▪ 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 ▪ 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 ▪ 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 ▪ 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一 些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章一元微积分的应用 第四、五、六节面积、体积、弧长 平面图形的面积 二、旋转体的体积 三、平行截面面积为已知的几何体的体积 四、弧长及其计算方法 五、旋转体的侧面积
第六章 一元微积分的应用 第四、五、六节 面积、体积、弧长 一、平面图形的面积 三、平行截面面积为已知的几何体的体积 二、旋转体的体积 四、弧长及其计算方法 五、旋转体的侧面积
微分元素法 数学建模中的微分元素法(或称为积分元素法) 在物理、几何以及工程实际中,当把非均匀变化的问题 看作是均匀变化时,能表示为某两个量的乘积达形式则通 常可将问题归结为定积分问题来处理 运用定积分处理问题时要求量A具有对区间的可加性. 按照定积分的概念,采用 “分划一近似一求和一取极限” 的步骤将整体问题化成局部问题,利用整体上变化的量在局 部上近似于不变的辩证关系在局部上以“不变”代替“变” 便有关系式A=∑M4≈∑f(5)x15∈[x1,x
一、微分元素法 数学建模中的微分元素法(或称为积分元素法) 在物理、几何以及工程实际中, 当把非均匀变化的问题 看作是均匀变化时, 能表示为某两个量的乘积达形式, 则通 常可将问题归结为定积分问题来处理. 运用定积分处理问题时要求量 A具有对区间的可加性. “分划—近似—求和—取极限” 的步骤将整体问题化成局部问题, 利用整体上变化的量在局 部上近似于不变的辩证关系, 在局部上以“不变”代替“变”, 按照定积分的概念, 采用 ( ) [ , ]. 1 1 1 i i i n i i i n i i A A f x x x − = = 便有关系式 =
为简便和醒目起见,略去下标i,将具有代表性的第i个 小区间[x21,x]表示为[x,x+dx],称之为典型小区间,且取 E;为区间的左端点x,则有 △4≈f(x)dx 通常称∫(x)dx为量A的微分元素(或积分元素),记为 da=f(x)dx 由量A对区间的可加性,取极限过程dx→0(相当于 Ax|→>0),将微分元素dA在区间[a,b]上“无限累加”起来 (即作定积分)就得到量A在区间[a,b上的值: A=JdA=「f(x)dx 简言之,我们在这里将定积分理解为微分元素的无限累加
为简便和醒目起见, 略去下标i , 将具有代表性的第i个 [ , ] [ , d ], , 小区间 xi−1 xi 表示为 x x + x 称之为典型小区间 且取 为区间的左端点x , 则有 i A f (x)d x . 通常称 f (x)d x为量 A的微分元素(或积分元素), 记为 d A = f (x)d x . 由量 A对区间的可加性, 取极限过程d x → 0 ( 相当于 || x ||→ 0), 将微分元素d A在区间[a, b]上“无限累加”起来 (即作定积分)就得到量 A在区间[a, b]上的值： d ( )d . = = b a b a A A f x x 简言之, 我们在这里将定积分理解为微分元素的无限累加
注意 在应用微分元素法时,要求所计算的量A具有可加性 即在区间[ab上,量A总等于它在该区间的各个子区间上部 分量△A的和 求量A的步骤如下 (1)在区间a,b中任取一小区间x,x+dx; (2)求出A在小区间上的部分量的近似值AA,记为 △A=f(x)dx(微分元素为dA=f(x)dx) (3)计算定积分求出量A在区间[a,b上的值 a=,da=lf(x)dx
在应用微分元素法时, 要求所计算的量 A 具有可加性: 注意 即在区间[a, b]上, 量 A总等于它在该区间的各个子区间上部 分量A的和. 求量 A的步骤如下: (1) 在区间[a,b]中任取一小区间[x, x + d x]; (2) 求出A在小区间上的部分量的近似值A, 记为 A = f (x)d x (微分元素为 d A = f (x)d x) (3) 计算定积分求出量 A在区间[a, b]上的值 d ( )d . = = b a b a A A f x x
平面图形的面积 直角坐标系中平面图形的面积 y=f(x) y=g(x) x=b X三C 求由连续曲线y=f(x),y=g(x)及x=a,x=b 所围成的平面图形的面积
一、平面图形的面积 1 直角坐标系中平面图形的面积 y = f (x) y = g(x) x = a x = b . ( ), ( ) , 所围成的平面图形的面积 求由连续曲线 y = f x y = g x 及 x = a x = b O x y a b
y=f() y=g(x) b x y+ax bx da 任取[x,x+Δx]c[an,b],则微分元素(面积元素)为 d a=lf(x)g(x)dx 于是,所求面积为 A=If(x)-g(x)ldx
任取 [x, x + x] [a, b], 则微分元素(面积元素)为 x x + x d A d A =| f (x) − g(x)| d x 于是, 所求面积为 = − b a A | f (x) g(x)| d x O x y y = f (x) y = g(x) x = a x = b a b
求由连续曲线y=f(x),y=g(x)及x=a,x=b 所围成的平面图形的面积的计算公式为 A=||f(x)-8(x)dx.(a<b) 类似地 求由连续曲线x=0(y),x=(y)及y=c,y=d 所围成的平面图形的面积的计算公式为 A=∫10()-)dy.(e<d
所围成的平面图形的面积的计算公式为 求由连续曲线 y = f (x), y = g(x) 及 x = a, x = b A | f (x) g(x)| d x . (a b) b a = − 求由连续曲线 x =(y), x = ( y) 及 y = c, y = d 所围成的平面图形的面积的计算公式为 A | (y) ( y)| d y . (c d) d c = − 类似地
例1求曲线y=x2与直线x+y=2所围成的平面图形的面积 解(1)求积分区间 联立方程组 B x+y=2 x+y=2 求得交点:4(-2,4),B(1,1) x 积分区间x∈[-2,1 (2)微分元素dA=(2-x)-x2]dx (3)计算面积 A=[(2-x)-x21dx=[2x 4
例 1解 2 . 求曲线 y = x2 与直线x + y = 所围成的平面图形的面积 O x y 2 y = x x + y = 2 − 2 1 A B (1) 求积分区间 联立方程组 2 y = x x + y = 2 求得交点: A(− 2, 4), B(1, 1). (2) d [(2 ) ]d . 2 微分元素 A = − x − x x (3) 计算面积 . 21 ] 4 2 3 [(2 ) ]d [2 12 2 3 12 2 = − − = − − = − − x x A x x x x 积分区间 x [− 2,1]