高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第二十六讲定积分的计算 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十六讲 定积分的计算 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
第五章一元函数的积分 本章学习要求: 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式 理解广义积分的概念掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第五章 一元函数的积分 本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
由牛顿—莱布尼兹公式,可以通过不定积分来 计算定积分.一般是将定积分的计算截然分成两步 先计算相应的不定积分,然后再运用牛顿莱布尼 兹公式代值计算出定积分.这种作法相当麻烦,我们 希望将不定积分的计算方法与牛顿莱布尼兹公式 有机地结合起来,构成定积分自身的计算方法定 积分的换元法和定积分的分部积分法
由牛顿——莱布尼兹公式，可以通过不定积分来 计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步： 先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿——莱布尼 兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们 希望将不定积分的计算方法与牛顿——莱布尼兹公式 有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法——定 积分的换元法和定积分的分部积分法
例1 计算「√1-x2dx 令x=sint 0 解先用不定积分求被积函数的一个原函数: 1-x'dx= cos tdt (1+cos 2*)dt t sin 2t 4*C arcsinx+-X 由牛顿——莱布尼兹公式,得 √1 x dx arcsinx+-x 0 4
例 1解 1 d . 10 2 计算 − x x 先用不定积分求被积函数的一个原函数： 1− x d x = cos t dt 2 2 令 x = sin t (1 cos 2t)dt 21 = + C t t = + + 4 sin 2 2 = x + x − x + C 2 1 21 arcsin 21 由牛顿 ——莱布尼兹公式， 得 . 4 1 21 arcsin 21 1 d 10 2 10 2 = − = + − x x x x x
0≤x≤1 例1 计算「√1-x2dx 令x=sint 0 丌 0 解先用不定积分求被积函数的一个原函数: 2 z -x dx cos'tdt=2(1+cos 2t)dt 0 t sin 2tT 24 由牛顿——莱布尼兹公式,得 √1 x dx arcsinx+-x 0 4 有什么想法没有?
例1 解 1 d . 1 0 2 计算 − x x 先用不定积分求被积函数的一个原函数： 1− x d x = cos t dt 2 2 令 x = sin t (1 cos 2t)dt 2 1 = + C t t = + + 4 sin 2 2 = x + x − x +C 2 1 2 1 arcsin 2 1 由牛顿——莱布尼兹公式， 得 . 4 1 2 1 arcsin 2 1 1 d 1 0 2 1 0 2 = − = + − x x x x x 0 x 1 2 0 t − = 2 0 2 1 0 2 1 d cos d x x t t (1 cos 2t)dt 2 1 2 0 = + 2 4 0 sin 2 2 = + t t . 4 = 有什么想法没有？
就是说,计算定积分时可以使用换元法.换元 时只要同时改变积分的上、下限,就不必再返回到 原来的变量,直接往下计算并运用牛顿莱布尼 兹公式便可得到定积分的结果
就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元 时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到 原来的变量，直接往下计算并运用牛顿——莱布尼 兹公式便可得到定积分的结果
定积分的换元法 定理设()f(x)∈C([ab]) (2)x=0(1)∈C([a,])且单调 (3)q(a)=a,(B)=b, 则 (x)dx f(o(t)o' (tdt
一、定积分的换元法 定理 设 (1) f (x)C([a, b]); (2) x =(t)C 1 ([, ]) 且单调； (3) () = a， ( ) = b， ( )d ( ( )) ( )d . = f x x f t t t b a 则
证由条件(2)和(可知:当a≤1≤B时,有a≤()≤b 因为f(x)∈C([a,b]),所以,f(x)在[a,b]上有原函数存在 不妨设F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数 由复合函数的求导法则及条件②2,得 (F((t))'=F'(q(t)'(t)=f(q(t)(t)t∈[,], 即F(q(t)为f(q(t)y(t)的一个原函数 由牛顿一莱布尼兹公式,得 o()o(dt=F(p()&=F((B)-F(o(a) F(b)-F(a)=f(x)dx 证
证 由条件(2)和（3）可知：当 t 时，有 a (t) b . 因为 f (x)C([a, b])，所以，f (x) 在[a, b]上有原函数存在. 不妨设 F(x)为 f (x) 在[a, b]上的一个原函数. 由复合函数的求导法则及条件（2），得 (F((t))) = F((t))(t) = f ((t))(t) t [, ], 即 F((t))为 f ((t))(t)的一个原函数. 由牛顿—莱布尼兹公式，得 (( )) ( )d (( )) (( )) (()) f t t t = F t = F − F = F(b) − F(a) ( )d . = b a f x x 证毕
2计算 d x x√1-x 解令 ,则dx d t 且x 时,t:2 故 y d d t In(t+vt2-1lls =In(2+ 3)-In3
例 2解 . 1d 5321 2 x − x x 计算 d d 1 令 ，则 2 ，t t x t x = = − 35 : 2 53 21 且 x : → 时，t → ，故 − − = − 352 2 5321 2 1 d 1d t t x x x − = 235 2 1 dt t 235 2 = ln | t + t −1| = ln(2 + 3) − ln3
例 计算「a2-x2dx.x=asmt在[0,n]上单调、连续可导 0 解令x= asin t,则dx= a cost d z 且x:0→a时,t:0→,故 xdx= 2 a cos tdt (1+cos 2t )dt sin2t、z (t+ 丌C
例 3解 d . 0 2 2 − a 计算 a x x 令 x = asin t，则 d x = acost dt， 2 且 : 0 时， : 0 ，故 x → a t → ] . 2 sin 在[ 0, 上单调、连续可导 x = a t − = 20 2 2 0 2 2 d cos d a x x a t t a (1 cos 2 )d 2 20 2 = + t t a 20 2 ) 2 sin 2 ( 2 t t a = +. 4 2 a =