高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第九讲函数极限的运算 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第九讲 函数极限的运算 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第三章函数的极限与连续性 本章学习要求: ■了解函数极限的概念,知道运用“ε-δ和"ε-X'语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较,能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念,会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理)。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法
第三章 函数的极限与连续性 本章学习要求： ▪ 了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和 “ ε－X ”语言描 述函数的极限。 ▪ 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 ▪ 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ▪ 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 ▪ 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 ▪ 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法
第三章函数的极限与连续性 第三节极限远算法则 极限运算法则的理论依据 O定理mf(x)=a0) 法则 依据无穷小量的远算法则
第三章 函数的极限与连续性 第三节 极限运算法则 极限运算法则的理论依据 lim f (x) = a f (x) = a +(x) ((x) → 0 ) 依据无穷小量的运算法则 定理 法则
极限运算法则 设limf(x)=a,img(x)=b存在,则 f(x)=a+a,g(x)=b+B,(a,B->0) 在该极限过程中 f(x)+g(x)=(a+b)+(a+B) f(x)g(x)=(a+a(b+B)=ab+(aB+ba+aB) f(x)a+aaa+aa asba-aB kb≠0 g(x)b+Bb+Bb(b(b+B) 由此你能不能写出极限四则运算公式?
设 lim f (x) = a , lim g(x) = b 存在, 则 f (x) = a + , g(x) = b + , (, → 0 ). 在该极限过程中 f (x) + g(x) = (a + b) + ( + ), f (x)g(x) = (a +)(b + ) = ab + (a + b + ), , ( 0). ( ) ( ) ( ) + − − = + + + = + + + = b b b b a b a b a b a b a b a g x f x 由此你能不能写出极限四则运算公式？ 一. 极限运算法则
和的极限等于极限的和 乘积的极限等于极限的乘积 商的极限等于极限的商(分母不为零) 差一点! 结论成立的条件
和的极限等于极限的和. 乘积的极限等于极限的乘积. 商的极限等于极限的商(分母不为零). 差一点 ! ? 结论成立的条件
设在某极限过程中,函数f(x)、g(x)的极限 limf(x)、limg(x)存在,则 imn[f(x)±g(x)=imf(x)±lmg(x) 2. lim kf(x)=kmf(x)(为常数) 3. lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x) f(x) lim f(x) (limg(x)≠0) g(x) lim g(x) 5. limlf(x)l=[lim f(x) 6.若在极限过程中f(x)≥g(x), 则limf(x)≥lmg(x)
设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则 ( lim ( ) 0 ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) 4. lim = g x g x f x g x f x 2. lim k f (x) = k lim f (x) (k为常数) 3. lim f (x)g(x) = lim f (x)lim g(x) 1. lim[ f (x) g(x)] = lim f (x) lim g(x) 5. lim[ ( )] [lim ( )] n n f x = f x lim ( ) lim ( ) 6. ( ) ( ), f x g x f x g x 则 若在极限过程中
注:)法则1、3可推广至有限个函数的情形 法则6中∫(x)≥g(x)换成f(x)>g(x) 其极限仍为lmf(x)≥lmg(x) 由极限运算理论根据中的定理及无穷小量的 运算法则,容易证明上述各公式 请同学们课后看书中的证明
法则 1、3 可推广至有限个函数的情形. 法则6 中 f (x) g(x) 换成 f (x) g(x) 其极限仍为 lim f (x) lim g(x) . 注： 由极限运算理论根据中的定理及无穷小量的 运算法则, 容易证明上述各公式. 请同学们课后看书中的 证明
复合函数的极限 设y=f((x)是由y=f()及l=(x)复合而成 由极限的概念可知 limp(x)=0,即V>0,3>0,当x∈U(x2)时, 有∈U(0,) limf(u)=a,即VE>0,37>0,当∈U(l1,m)时, 有y∈U(a2) VE>0→>36>0,x∈U(x020)→>∈U(lb,0) →y∈U(a2E) 有什么问题没有?
复合函数的极限 设 y = f ((x)) 是由y = f (u)及u = (x)复合而成. 由极限的概念可知: U( , ). 有 u u0 U( , ) , ˆ lim ( ) , 0 , 0 , 0 0 f u a 即 当u u 时 u u = → 有 y U(a, ). U( , ) , ˆ lim ( ) , 0 , 0 , 0 0 0 x u 即 当x x 时 x x = → U( , ) U( , ) ˆ 0 0, → x x0 → u u0 → y U(a, ). 有什么问题没有？
7.复合函数的极限计算 是函数f(u)的“自变量” 定理 l是l在定义域内的值 设y=f((x)是由y=f()及l=(x)复合而成 若lm(x)=l,且在U(x)内(x)≠l0,又有 x→>xo lim f(u)=a, ny lim f(o(x))=lim f(u)=a x→ u->u0 注意这个条件,缺了它定理不一定成立
7. 复合函数的极限计算 定理 设 y = f ((x)) 是由y = f (u)及u = (x)复合而成. U( ) ( ) , ˆ lim ( ) , 0 0 0 0 若 x u 且在 x 内 x u 又有 x x = → lim ( ) , lim ( ( )) lim ( ) . 0 0 0 f u a f x f u a u u x x u u = = = → → → 则 注意这个条件, 缺了它定理不一定成立. . ( ) , 0 是 在定义域内的值 是函数 的“自变量” u u u f u
由极限的定义。即要证明 E>0,3δ>0,使当00,彐m>0, l→> 当00,彐1>0 X→) 当0<|x-x0|<61时,|-=9(x)-0<7 设在U(x,2)中(x)≠,取(δ=min(122})则 当0<|x-x0<8时,0<-l0|<n((x)≠), 从而,|∫()-a|<E
证 由极限的定义, 即要证明： 0, 0, 0 | | , 使当 x − x0 时 有 | f ((x)) − a | =| f (u) − a | . lim ( ) , 0, 0, 0 = → 由 f u a 故 u u 0 | | , 当 u − u0 时 | f (u) − a | . lim ( ) , 0 , 0, 0 1 0 = → 又 x u 故对上面的 x x 0 | | , 当 x − x0 1 时 | | | ( ) | . u − u0 = x − u0 设在 U ˆ (x0 , 2 ) 中 (x) u0 , 取 = min{ 1 , 2 }, 则 0 | | , 0 | | ( ( ) ), 0 0 u0 当 x − x 时 u − u x 从而, | f (u) − a |