4、二元函数的极值、最值 10极值定义P208 f(x、y)≤f(xo、y)fxo、yo)为极大值 f(x、y)≥fxo、yo)fko、y)为极小值 fk、y)在(k、y)极限值→/F(。、y)=0 驻点←极值点,需判别 设f、y)=A、fk。、y0)=B、fk、y)=C B--AC f(xo、yo A0极小值 >0 非极值 不定 例1、求z=x3+y3-3xy的极值 解:f f!=0 3x2-3y=0 =0 令 f=0 0 得驻点0,0),(,1 在(0,0),B32-AClo0=(-3)2-0=9>0 ∴f,0)非极值 (11) (-3)2-360∴f,1 为极小值
4、二元函数的极值、最值 1 0 极值定义 P208 ( ) ( ) x0 y0 f x 、y f 、 ( ) x0 y0 f 、 为极大值 ( ) ( ) x0 y0 f x 、y f 、 ( ) x0 y0 f 、 为极小值 ( ) ( ) ( ) ( ) = = → f x y 0 f x y 0 f x y x y y 0 0 x 0 0 0 0 、 、 、 在 、 有极限值 驻点 极值点，需判别 设 f xx (x0 、y0 )= A 、f xy (x0 、y0 ) = B 、f yy (x0 、y0 ) = C B AC 2 − f ( ) x0 、y0 0 极小值 > 0 非极值 =0 不定 例1、 求 z x y 3xy 3 3 = + − 的极值 解： f 3x 3y 2 x = − ，f 3y 3x 2 y = − ，f xx = 6x ， f xy = −3 ，f yy = 6y 令 = = f 0 f 0 y x → − = − = 3y 3x 0 3x 3y 0 2 2 → y y 0 4 − = y 1 y 0 = = 得驻点 (0 , 0) ，(1 , 1) 在 (0 , 0) ， ( ) B AC ( 3) 0 9 0 2 0,0 2 − = − − = ∴ f(0 , 0) 非极值 (1 , 1) ， ( ) B AC ( 3) 36 0 2 1,1 2 − = − − ∴ (1 , 1) 为 极值点 又 ( ) A 6 0 1,1 = ∴ f(1 , 1) = −1 为极小值
例2、求z=x2y(5-x-y)在闭区域D:x≥0,y≥0, x+y≤4的最大,最小值。 解:f=y(1 ),f=x2(5-x-2y) 10-3x-2y)=0 令1(x(6-x-2y (在D内) 在D的内部函数只有一个驻点 55)625 24 在边界x=0,f=0在 y=0,f=0 在x+y=4,z=x2(4-x5-x-4+x)=x2(4-x)=4x2-x3 d=8×-3×2=0:3,即x8,y班点 dz 625 Z 0,z 得最大值z=2625,最小值z=0 在实际问题中要求最大,最小值往往带有附加条件,即对函数 的自变量除了限制在函数的定义域内外,还有其他的附加条件,这 些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示 例3、求原点到曲线qx,y)=0的最大距离 此题即在条件(,y)=0下求z=√x2+y2的最小值问题
例 2、求 z x y(5 x y) 2 = − − 在闭区域 D： x 0， y 0 ， x + y 4 的最大，最小值。 解： f xy(10 3x 2y) x = − − ，f x (5 x 2y) 2 y = − − 令 ( ) ( ) − − = − − = x 5 x 2y 0 xy 10 3x 2y 0 2 （在 D 内） = = 4 5 y 2 5 x 在 D 的内部函数只有一个驻点 4 5 , 2 5 ， 64 625 4 5 , 2 5 f = 在边界 x = 0 ，f = 0 在 y = 0 ，f = 0 在 x + y = 4， ( )( ) ( ) 2 2 2 3 z = x 4 − x 5 − x − 4 + x = x 4 − x = 4x − x 8x 3x 0 dx dz 2 = − = 得： 3 8 x = ，即 3 8 x = ， 3 4 y = 为驻点 27 256 3 4 , 3 8 z = 比较 64 625 z = ，z = 0 ， 27 256 z = 得最大值 64 625 z = ，最小值 z = 0 在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数 的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这 些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。 例3、 求原点到曲线 (x , y) = 0 的最大距离 此题即在条件 (x , y) = 0 下求 2 2 z = x + y 的最小值问题
20条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 求在条件ox,y)=0下,z=f(x,y)的极值 令F=f(x,y)+入pk,y)称f(x,y)为目标函数为拉格朗日常数 F=0 Fy=0解得的(,y)为可能的极值点 F=0 例1、求曲面4z=3x2-2xy+3y2到平面x+y-4z=1的最短距离 解法一、曲面上任一点(x,y,z)到平面的距离d=+y=4z- ∴设F=(x+y-42-1)2+x13x2-2xy+3y2-42) F 1+(6y (x+y-4z-1)-4x=0 F2 16 驻点唯 解法二、曲面在任一点的切平面法矢量n={6x-2y6y-2x-4} 平面x+y-4z=1的法矢量n1=4,1,-4} 当五∥n1时,即 6x-2y6y-2 4 4 得:x=y= 在(4416)点处切平面平行已知平面 ∴点门11 416 )到平面距离最短,dm
2 0 条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 求在条件 (x , y) = 0 下, z = f(x , y) 的极值 令 F = f(x , y)+ (x , y) 称 f(x , y) 为目标函数, 为拉格朗日常数 = = = F 0 F 0 F 0 y x 解得的 (x , y) 为可能的极值点 例 1、求曲面 2 2 4z = 3x − 2xy + 3y 到平面 x + y − 4z = 1 的最短距离 解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离 18 x y 4z 1 d + − − = ∴ 设 (x y 4z 1) (3x 2xy 3y 4z) 2 1 F 2 2 2 = + − − + − + − ( ) ( ) ( ) = − + − = = − + − − − = = + − − + − = = + − − + − = F 3x 2xy 3y 4z 0 F 4 x y 4z 1 4 0 F x y 4z 1 6y 2x 0 F x y 4z 1 6x 2y 0 2 2 z y x ∵ 驻点唯一 ∴ 8 2 d min = 解法二、曲面在任一点的切平面法矢量 n = 6x − 2y,6y − 2x,−4 平面 x+y-4z=1 的法矢量 n1 = 1,1,−4 当 n ∥ 1 n 时，即 4 4 1 6y 2x 1 6x 2y − − = − = − 得： 4 1 x = y = , 16 1 z = ∵ 在 ) 16 1 , 4 1 , 4 1 ( 点处切平面平行已知平面 ∴ 点 ) 16 1 , 4 1 , 4 1 ( 到平面距离最短， 8 2 d min = 得： 16 1 z 4 1 x y = = =
例2、在曲面z=2-x2-y2位于第一卦限部分上求一点,使该点的切 平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。 曲面位于第一卦限部分上任一点(x,y,z)处的平面方程为: 2xX+2vY+Z=4-z 即 四面体体积V Z 24 2 故令F=3h(4-2-l-ly+x(2+y2+z +2y=0 由 =X +y+Z- 0 X=V= 得 ∵驻点唯 22为所求点
例 2、在曲面 2 2 z = 2 − x − y 位于第一卦限部分上求一点，使该点的切 平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。 ∵ 曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为： 2xX + 2yY + Z = 4 − z 即 1 4 z Z 2y 4 z Y 2x 4 z X = − + − + − ， ∴ 四面体体积 ( ) 24xy 4 z V 3 − = 故令 F 3ln(4 z) lnx lny λ (x y z 2) 2 2 = − − − + + + − 由 = + + − = + = − = − = − + = = − + = F x y z 2 0 0 4 z 3 F 2 y 0 y 1 F 2 x 0 x 1 F 2 2 z y x 得： z 1 2 2 x y = = = ∵ 驻点唯一 ∴ ,1 2 2 , 2 2 为所求点
例3、在第一象限内,过椭圆曲线3x2+2xy+3y2=1上任一点作椭圆 的切线,求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值 解:在第一象限内曲线上任一点(x,y)处的切线方程为: Y (X-x) Y(x+3y)+X(3x+y)=y(x+3y)+x(3x+y) 切线与两坐标轴的截距分别为x+x+3yyy+3x+y X+3 X十 3x+y 3x+ y‖y X+ 3y 2 x+3y 3x+y 若要使S最小,只要(x+3y)3x+y)最大 故设F=(x+3y3x+y)+(x2+2y+3y2-1) F=6X+10y+6λx+2y=0 由{F,=10x+6y+2λx+6y=0 F=3x2+2xy+3y2-1=0 得 ∴驻点唯 例4、P212例5.325.33
例 3、在第一象限内，过椭圆曲线 3x 2xy 3y 1 2 2 + + = 上任一点作椭圆 的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。 解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为： (X x) x 3y 3x y Y y − + + − = − Y(x +3y)+ X(3x + y) = y(x +3y)+ x(3x + y) 切线与两坐标轴的截距分别为 x x 3y 3x y y, y 3x y x 3y x + + + + + + 3x y 1 x 3y 1 2 1 x x 3y 3x y y y 3x y x 3y x 2 1 S + + = + + + + + = + 若要使 S 最小，只要 (x + 3y)(3x + y) 最大 故设 F (x 3y)(3x y) λ (3x 2xy 3y 1) 2 2 = + + + + + − 由 = + + − = = + + + = = + + + = F 3x 2xy 3y 1 0 F 10x 6y 2λ x 6λ y 0 F 6x 10y 6λ x 2λ y 0 2 2 λ y x 得： 2 2 1 x = y = ∵ 驻点唯一 ∴ 4 1 smin = 例 4、P212 例 5.32 5.33
第六章多元函数的积分 10二重积分 1、定义 P225 ∑k,n 2、性质 其中d表示平面区域D的面积 tk,y知=,n,(,n)eD,o表D的面积 3、几何意义 0,(x,y)eD,则(k,y知表示以z=f(k,y为顶, 以D为底的曲顶柱体体积。 4、二重积分在直角坐标下的计算法 ∫fkyk= 设 用x=x平面截立体得如图所示的曲边梯形 其面积s()=k,yy k,yk=∫。sxkx ∫:∫1,yk dxy2(x) ∫:∫y
第六章 多元函数的积分 1 0 二重积分 1、定义 P225 ( ) ( ) = → = D n 1 0 f x , y d l im f , 2、性质 P226 其中 D d 表示平面区域 D 的面积 ( ) ( ) = D f x , y d f , , ( ,) D ， 表 D 的面积 3、几何意义 f(x , y) 0 ，(x , y) D ，则 ( ) D f x , y d 表示以 z = f(x , y) 为顶， 以 D 为底的曲顶柱体体积。 4、二重积分在直角坐标下的计算法 ( ) ( ) = D D f x , y d f x , y dxdy 设 z = f(x , y) 0 用 x = x 平面截立体得如图所示的曲边梯形 其面积 ( ) ( ) ( ) ( ) s x f x , y dy x 2 y x 1 y = ( ) ( ) = D b a f x , y d s x dx ( ) ( ) ( ) = b a x 2 y x 1 y f x , y dy dx ( ) ( ) ( ) = b a x 2 y x 1 y dx f x , y dy ( ) ( ) ( ) = d c y 2 h y 1 h dy f x , y dx
例1、计算二重积分』(2+y)其中D由曲线y=x2直线x=1及x 轴所围成。 解:首先画出积分区域 (1,1) dx =26 105 例2、将二重积分k,y知化为累次积分,其 中D为: (1)抛物线y=x2及y=4-x2所围成 交点 xy=∫xyy dy f(x, y)dx (2)圆x2+y2=k2,x+y=k,y=0所围 xy)=丁。小2=y (3)y=x2,y=4x2,y=1所围, y)d=」。dy ∫。吋「ykx
(1,1) y x y=x x=1 2 0 1 x 2 − 2 2 y 2 y = 4 − x 2 y = x 0 y k x -k 0 k 2 2 2 x-y=k x + y = k 例 1、计算二重积分 ( ) + D 2 2 x y d 其中 D 由曲线 2 y = x 直线 x = 1 及 x 轴所围成。 解：首先画出积分区域 D ( ) ( ) + = + 1 0 2 x 0 2 2 D 2 2 x y d dx x y dy 105 26 dx 3 x y dx x 3 1 x y 1 0 6 4 1 0 2 x 0 2 3 = = + + 例 2、将二重积分 ( ) D f x , y d 化为累次积分，其 中 D 为： (1) 抛物线 2 y = x 及 2 y = 4 − x 所围成 解： = − = 2 2 y 4 x y x 交点 − ( 2 ,2) ( 2 ,2) − − = 2 4 x 2 x 2 2 D f(x, y)d dx f(x, y)dy ═ − − − − + 4 y 4 y 4 2 y y 2 0 dy f(x, y)dx dy f(x, y)dx (2) 圆 2 2 2 x + y = k ， x + y = k ， y = 0 所围 − − − − − = + = k x 0 k 0 2 x 2 k 0 0 k k-y 2 y 2 k k 0 D dx f(x, y)dy dx f(x, y)dy f(x, y)d dy f(x, y)dx (3) 2 y = x ， 2 y = 4x ， y = 1 所围， = + − − y 2 y 1 0 2 y y 1 0 D f(x, y)d dy f(x, y)dx dy f(x, y)dx y = 0
例3、计算∫xy2ddy0≤xs1,0≤y≤1 ∫。。xy=。x时∫。y,-90 X 例4、P228,例6.1,6,2,63 例5、貫x) dy,则「f (e 解:「。x y dy"dx=」 dy ye-1)dy=(e-1) 例6、[d dy =2 2 (1-e-") X
例 3、计算 D 2 2 x y dxdy 0 x 1, 0≤y≤1 = = 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 1 0 dx x y dy x dx y dy 9 2 3 y 3 x 1 0 3 1 0 3 = = 例 4、P228，例 6.1，6.2，6.3 例 5、 = 1 x y x f(x) e dy ，则 (e 1) 2 1 f(x)dx 1 0 = − 解： = = 1 x y x 1 0 1 0 1 x y x 1 0 f(x)dx e dy dx dx e dy = = 1 0 y 0 y x y 0 y x 1 0 dy e dx ye dy (e 1) 2 1 y(e -1)dy 1 0 = = − 例 6、 = − y 0 2 -y 2 0 2 x 2 y 2 0 dx e dy dy e dx − = 2 0 2 y ye dy (1- e ) 2 1 -4 = y = 0 x = 1 (1 ,1) y = 1 y = x (1 ,1) y x 0 1 1 1 0 x y y x y = 2 (2 ,2) y = x 0 2
例7、交换积分次序 y7x2人(,1 例8、P231例6.5例66,6.7(1),68,6.9,610 5、二重积分在极坐标下计算方法 Rx y)do=[rrcose, sine rdrde 例9、计算』ed < 解: 2 例10、 [xydo D:由y=x,x=0,x2+(y-b) <a<b)所围 解: xydo=j i do akio r'cose sine dr 412bsirt cohesin d0=4(b-a sin eco
y (1,1) x 0 3 y=(3-x)/2 2 y = x 3 π θ = 4 π θ = γ = 2bsinθ γ = 2asinθ 0 b 例 7、交换积分次序 − = + (3 x) 2 1 0 3 1 2 x 0 1 0 I dx f(x, y)dy dx f(x, y)dy − = 3 2y y 1 0 dy f(x,y)dx 例 8、 P231 例 6.5 例 6.6，6.7(1)，6.8，6.9，6.10 5、二重积分在极坐标下计算方法 = D D f(x, y)d f(rcos ,rsin )rdrd 例 9、计算 − − D 2 y 2 x e d D： 2 2 2 x + y a 解： − − − = 2 0 a 0 2 r D 2 y 2 x e d d e r dr = − − − − a 0 2 2 r 2 e d( r ) 2 1 ( e ) 2 −a = − 例 10、 D x, yd D：由 y = x ， x = 0， ( ) 2 2 2 x + y − b = b ， ( ) 2 2 2 x + y − a = a (0 a b) 所围。 解： = 2bsin 2asin 2 2 4 D x, yd d r cos sin r dr = = − 2 4 4 4 5 2 4 2bsin 2asin 4 d 4(b a ) sin cos d 4 r cos sin
4b-a)·sn" 例11、xydD由x2+(-1)s1,x2+y21及x≥0轴所围 得交点(,1) r=2sin 0 Jx, yde= i de rcone sine r de =|4 consin ede0·-r (4sin0 cone -sine cone )de=(sin 20 例12、P238例6.136.146.15 例13、证明x(7-4s∫ ys√16+sm2x+sn2y4 dxdy d xdy ≥ 24 241v16+sinx+sin y 2241v16+x+ 2兀√6+r2=2x(√7 又 dxdy ≤
(b a ) 12 7 sin 6 1 4(b a ) 2 4 4 4 4 4 6 = − = − 例 11、 D x, yd D 由 x (y 1) 1 2 2 + − , x y 1 2 2 + 及 x 0 轴所围。 = = r 2sin r 1 得交点 ,1) 6 ( = 2sin 1 2 2 6 D x, yd d r con sin r d = 2sin 1 4 4 6 r 4 1 con sin d 16 9 sin ) 8 1 sin 3 2 sin con )d ( 4 1 (4sin con - 2 6 6 2 4 6 5 = = − = 例 12、P238例 6.13 6.14 6.15 例 13、证明 4 π 16 sin x sin y dxdy 2π ( 17 4) x y 1 2 2 2 2 + + − + 证： + = + + + + + + 1 0 2 2 0 1 2 y 2 x 2 2 1 2 y 2 x 2 2 dr 16 r r d 16 x y dxdy 16 sin x sin y dxdy 2 16 r 2 ( 17 4) 1 0 2 = + = − 又 4 1 4 1 dxdy 4 1 16 sin x sin y dxdy 2 1 2 y 2 1 x 2 y 2 x 2 2 = = + + + +
