湖南大学：《线性代数与解析几何》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 二次型与二次曲面

第七学一二次曲面 第一节二次型及其矩阵示 D第二节正突变换 郭三节用正灾爽换化二次发标准形 第四中用配法花三型标准张 第节正定二次型 BACK c

第一节 二次型及其矩阵表示 第二节 正交变换 第三节 用正交变换化二次型为标准形 第四节 用配方法化二次型为标准形 第五节 正定二次型

、三元二咨型改基表示 O三三次型孩换降表示 O三三决型的标准形 BACK

一、三元二次型及其表示 二、n元二次型及其矩阵表示 三、二次型的标准形

51、二次型及其矩阵表示 、三元二次型及其表示 定义1 二次齐次多项式 f(x,y, z) a22y2+a33z2+2anxy+2 a13xz+2 a23yz 称为实二次型其中a为实常数 取 21=a12,a1=a13,a32=a23, M, 2a12xy=a12xy+a21x, 2a13x2=013xz+a3lEx, 2a23yZ=a23y2+a32zy f=aurr2+aux+a13xz +a2iyx+a22y2+a2lz +a31zx +a324y+334 x(a1x+an2+a13x)+y(a2x+a2y+a23z)+z(a3x+a32+a3x) (x,y,)a21x+a2y+a23|=(x,y y=XTAX a31xta32y+ a33= 称A为二次型∫的矩阵,它是一个对称矩阵 三元实二次型f 对应 三阶实对称矩阵A 第七章二次型与三次茁面

定义1 第七章 二次型与二次曲面 二次齐次多项式 f (x, y, z) = a11x 2 + a22y 2 + a33z 2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数. 一、三元二次型及其表示 §1、二次型及其矩阵表示 取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 , 从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx , 2a23yz = a23yz + a32zy . f = a11x 2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y 2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z 2 = x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z) + z (a31x + a32y + a33z)           + + + + + + = a x a y a z a x a y a z a x a y a z x y z 31 32 33 21 22 23 11 12 13 ( , , )                     = z y x a a a a a a a a a (x, y,z) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = XT AX . 称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵. 三元实二 次 型 f 三阶实对称矩阵 A 一一对应 A X

例1 写出f=x2+3y2+422+2xy+3y的矩阵A并用矩阵形式表示f 解 0 3 03-24 2 例 若二次型∫的矩阵为 1-1√2 A 120 √20 试写出f f=(x,y,=) 20 √203人z x2+2y2+3z2-2xy+2√2x 第七章二次砖与二次曲面

例 2 第七章 二次型与二次曲面 例 1 3 4 2 3 . . 2 2 2 写出 f = x + y + z + x y + yz的矩阵A 并用矩阵形式表示 f A = . 4 2 3 0 2 3 1 3 1 1 0 ( , , )           = z y x f x y z 1 3 4 1 0 2 3 2 3 1 0 解 上一页 2 3 2 2 2 . 2 2 2 = x + y + z − x y + x z                     − − = z y x f x y z 2 0 3 1 2 0 1 1 2 ( , , ) 例 2 若二次型 f 的矩阵为           − − = 2 0 3 1 2 0 1 1 2 A 试写出 f . 解

51、二次型及其矩阵表示 二、n元二次型及其矩阵表示 定义2 称n元实二次齐次式 f(x1,x2,…x)=a1x2+2a12x1x2+…+2a1nx1xn +a2x2+…+2a 为n元实二次型. 记a1=an则f(x,x2…x)=∑∑ax,(或∑4x) I j=l 记X=(x1,x2,…,x),A=(an)m,则f(x1,x2,…,x)=XA, 其中A称为二次型的矩阵,A的秩称为二次型的秩 注:(出,所以AT=A, ②A中an是x2的系数,an是交叉项xx系数的一半 n元实二次型f 对应n阶实对称矩阵A 第七章二次砖与二次曲面

定义2 第七章 二次型与二次曲面 §1、二次型及其矩阵表示 二、n 元二次型及其矩阵表示 称 n 元实二次齐次式 n n n f x x x a x a x x a x x 1 2 1 2 1 1 2 ( 1 , 2 ,  , ) = 1 1 1 + 2 ++ 2 n n a x a x x 2 2 2 + 22 2 ++ 2 + 2 nn n + a x 为 n 元实二次型. 记 aij = aji, 则 = = = n i n j n ij i j f x x x a x x 1 1 1 2 ( , ,, ) ( ) , 1 = n i j ij i j 或 a x x 记 X = ( x1 , x2 , …, xn ) T, A =( aij )nn , 则 f ( x1 , x2 , …, xn ) = X TAX , 其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次型的秩. ① 由于aij = aji , 所以 A T= A , ② A中 aii 是 xi 2 的系数, aij 是交叉项 xixj 系数的一半. 注: n 元实二次型 f n 阶实对称矩阵 A 一一对应

51、二次型及其矩阵表示 三、二次型的标准形 定义3 称只含平方项的二次型厂=∑x为标准二次型 n元标准二次型∫ 对应 n阶对角矩阵 思考:二次型∫=XTAX经过满秩线性变换X=CY后还是二次型吗? 对于二次型f=XTAX,作满秩变换X=CY, f=XTAX=(CY )A(CY=Y(CTAC)Y 而 (C TAC T=CTAT(C T)T=C TAC 所以∫=YT(CTAC)Y仍是关于新变量Y的二次型,且二次型的矩阵 为CTAC 满秩变换X=CY ∫=XTAX F=YTBY兮B=CTAC 第七章二次砖与二次曲面

定义3 第七章 二次型与二次曲面 §1、二次型及其矩阵表示 三、二次型的标准形 称只含平方项的二次型 = = n i i i f x 1 2  为标准二次型. n 元标准二次型 f n 阶对角 矩 阵 一一对应 思考：二次型 f = X TAX 经过满秩线性变换 X = CY 后还是二次型吗? 对于二次型 f = X TAX ，作满秩变换 X = CY , 则 f = X TAX = (CY ) TA(CY) = Y T(C TAC ) Y . 而 (C TAC ) T = C TAT(C T ) T = C TAC , 所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型, 且二次型的矩阵 为 C TAC . 满秩变换 X = CY f = X TAX F = Y TBY  B = C TAC

定义4 对于n阶实对称矩阵A和B,若存在可逆矩阵P使 P TAP= B 则称A合同于B,记作A~B 因此,二次型经满秩线性变换后所得的新二次型,其矩阵与原二次 型的矩阵是合同的. 定义5 如果满秩变换X=CY将二次型∫=XTX化成了标准二次型 ∑41,则称∑不,为∫=xAX的一个标准形 第七章二次砖与二次曲面

定义4 定义5 第七章 二次型与二次曲面 对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B ，若存在可逆矩阵 P 使 P TAP = B 则称 A 合同于B，记作 A B  如果满秩变换 X = CY 将二次型 f = X TAX 化成了标准二次型  , = n i i yi 1 2  = n i i i y 1 2 则称  为 f = X 的一个标准形. TAX 因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次 型的矩阵是合同的. 上一页

、玉变换的概禽 BACK

一、正交变换的概念 二、正交矩阵

52.正交变换 正交变换的概念 定义1 设a是n维欧氏空间R上的线性变换,若对任意的X,Y∈R,有 (X-(Y)‖l=X-F,(*) 则称a为Rn上的正交变换 (*)可写成:‖a(X-Y)‖=‖X-Y 定理1 设σ是欧氏空间Rn上的线性变换,则下列四个条件等价互为充分必要条件) (1)a为正交变换 2)a把R的标准正交基变为标准正交基 3)|l(a川=|a,ya∈R(保持向量长度不变) (4)(a(X),(Y)=(X,Y)(保内积不变) 第七章二次型与三次曲面

定义1 §2. 正交变换 一、正交变换的概念 设  是 n 维欧氏空间 Rn 上的线性变换，若对任意的 X, YRn , 有 ||  (X)−  (Y ) || = || X−Y || , (* ) 则称  为 Rn 上的正交变换. (*)可写成： ||  (X−Y ) || = || X−Y || . 第七章 二次型与二次曲面 定理1 设  是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四个条件等价(互为充分必要条件). (1)  为正交变换 . (2)  把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 . (3) || ()|| = ||||,    Rn ( 保持向量长度不变 ) . (4) ( (X ),  (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变 )

52.正交变换 二、正交矩阵 定义2 正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为正交矩阵 正交矩阵有如下性质 定理2 A是正交矩阵台AT=E(或A4T=E) ∠定理39 设A是正交矩阵,则 (1)A|=±1. (2)A-1=AT 定理4 设A是正交矩阵兮A的列(行)向量组为相互正交的单位向量组 第七章二次到与三次热

定义2 §2. 正交变换 二、正交矩阵 正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为正交矩阵. 第七章 二次型与二次曲面 定理 2 A 是正交矩阵  ATA=E ( 或AAT = E ) . 正交矩阵有如下性质： 定理 3 定理 4 设 A 是正交矩阵 ，则 (1) | A | = 1 . (2) A −1=AT . 设 A 是正交矩阵 A 的列(行)向量组为相互正交的单位向量组