第一节向的概念及其线算 第二节窆间的直角坐标系况向的坐标 第三节向量空间 第四节向量的樂帐粗哭些 第五节向量空间的基与坐标 第六节缆些空间基本概念介绍 BACK
第一节 向量的概念及其线性运算 第四节 向量的线性相关性 第二节 空间的直角坐标系及向量的坐标 第五节 向量空间的基与坐标 第三节 向量空间 *第六节 线性空间基本概念介绍
量的盒及其纷 扁量的概 =、向量的线他运
一、向 量 的 概 念 二、向 量 的 线 性 运 算
向量的概念及其錢性 一、向量的概念 定义1 既有大小,又有方向的量称为向量(又称矢量) B 例如力,速度,加速度等均为向量 向量可用空间的一个有向线段来表示,如A 其中有向线段的长度表示向量的大小,称为向量的长度(模).有向线段的指向表示向 量的方向这样的向量我们均称为几何向量 如果A,B分别是向量的起点和终点,则向量可用符号AB表示,也可用一希腊字如 a,By,等表示 向量AB(或a)的模用符号M酬(或‖a)来表示.模为1的向量称为单位向量;模为 零的向量称为零向量,记作0,零向量的方向不定 方向相同且模相等的向量称为相等的向量,也就是说,向量与它的起点无关,而只与它的 长度及方向有关在讨论多个向量时,我们常把它们平移到同一起点 「绾三章向量后
第三章 向量空间 §1.向量的概念及其线性运算 向量可用空间的一个有向线段来表示，如 A B 一、向量的概念 例如力，速度，加速度等均为向量. 既有大小，又有方向的量称为向量(又称矢量). 定义1 其中有向线段的长度表示向量的大小，称为向量的长度(模). 有向线段的指向表示向 量的方向. 这样的向量我们均称为(几何)向量. 如果 A, B 分别是向量的起点和终点，则向量可用符号 AB 表示，也可用一希腊字如 , , , …等表示. 向量 AB (或 )的模用符号 ||AB|| (或 || ||)来表示. 模为1的向量称为单位向量; 模为 零的向量称为零向量，记作 0，零向量的方向不定. 方向相同且模相等的向量称为相等的向量，也就是说，向量与它的起点无关，而只与它的 长度及方向有关. 在讨论多个向量时，我们常把它们平移到同一起点
与向量a的长度相等,方向相反的向量称为a的负向量,记为 显然AB=-BA B B 如果n个向量平行于同一直线,则称它们共线向量a,B共线记为a∥B 我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面,则称它们共面 显然,任意两个向量一定共面 「绾三章向量后
第三章 向量空间 如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线. 向量 , 共线记为 // . 我们规定, 零向量与任何向量共线. 如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面. 显然,任意两个向量一定共面. 与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量，记为− ， 显然 AB = − BA. A B A B 上一页
向量的概念及其錢性运 二、向量的线性运算 1.向量的加法 定义2 设a,B为空间中两个向量,在空间中任取一点O,作OA=a, AB=R则向量OB称为a与B的和,记为a+B at B B 2.向量与数的乘法 定义3 设a为向量,A为实数,定义与a的乘积λa是满足如 下两条件的向量: i)‖a‖=|xl‖lal i)当A>0时,Aa的方向与a相同;当<0时,Aa的方向 与a相反 如 2a 2a 显然,当A=0或a=0时,a=0 「绾三章向量后
第三章 向量空间 二、向量的线性运算 1. 向量的加法 + O A B 设 , 为空间中两个向量，在空间中任取一点O, 作 OA = , AB = , 则向量 OB 称为 与 的和，记为 + . 定义2 2. 向量与数的乘法 设 为向量， 为实数，定义与 的乘积 是满足如 下两条件的向量： i) || || = | | || ||, ii) 当 > 0 时， 的方向与 相同；当 < 0 时， 的方向 与 相反. 定义3 §1.向量的概念及其线性运算 显然，当 = 0 或 = 0 时, = 0. 如： 2 −2
设a为一非零向量,a0为与a同向的单位向量,则由向量的数乘可知 或 此时a又称为a的单位化向量 向量的加法及数与向量的乘法这两种运算称为向量的线性运算 利用向量的数乘,显然有 定理● 向量a与非零向量B平行的充要条件是存在非零实数λ,使 a=aB 「绾三章向量后
第三章 向量空间 设 为一非零向量， 0 为与 同向的单位向量，则由向量的数乘可知 = || || 0 , 或 . || || 0 1 = 此时 0 又称为 的单位化向量. 向量的加法及数与向量的乘法这两种运算称为向量的线性运算. 利用向量的数乘，显然有 定理 1 向量 与非零向量 平行的充要条件是存在非零实数 , 使 = . 上一页
定理2 向量的线性运算满足下面的运算法则 1)a+B=B+ (加法交换律) 2)(a+B)+y=a+(B+y);(加法结合律) 3)0+a=a: 4)a+(-a)=0; 5)1a=a; 6)A1(2a)=(412)a;(数乘结合律) 7)(41+λ2)a=41a+λ2a;(第一分配律) 8)(a+B)=4a+B(第二分配律) 其中α,B,y表示空间中任意向量,1,A2表示任意实数 以上8条法则可直接由定义得出.例如由下图 可得出1)a+B=B+a 「绾三章向量后
第三章 向量空间 向量的线性运算满足下面的运算法则： 1) + = + ; (加法交换律) 2) ( + ) + = + ( + ); (加法结合律) 3) 0 + = ; 4) + ( −) = 0; 5) 1 = ; 6) 1 ( 2 ) = ( 1 2 ) ; (数乘结合律) 7) (1 + 2 ) = 1 + 2 ; (第一分配律) 8) ( + ) = + ; (第二分配律) 其中 , , 表示空间中任意向量, 1 , 2 表示任意实数. 定理 2 以上 8 条法则可直接由定义得出. 例如由下图 可得出1) + = + . 上一页
由下图 可得出2)(a+B)+y=a+(B+y); 3),4),5)显然 下面看8) 如果a,B有一为零向量或=0,8)显然成立.设a≠0,B≠0,2≠0,当>0时,由下图 1 λa+B λB B 因为a∥a,B∥AB, B 知△ABC∽△AB1C1故(a+AB)∥(a+B) 且 λa+B l a+B 即Aa+B与a+B同向,且|4a+AB=4a+B,从而由数与向量相乘的定义可得出 8)(a+B)=(a+AB).当<0时,同样可证明8)成立 6),7)留给同学们自己证明 「绾三章向量后
第三章 向量空间 由下图 可得出2) ( + ) + = + ( + ); 3), 4), 5)显然. 下面看 8): 如果 , 有一为零向量,或 = 0, 8) 显然成立. 设 ≠ 0, ≠ 0, ≠ 0, 当 > 0 时 , 由下图 A B C A1 B1 C1 因为 // , // , 且 知 △ABC ∽ △A1B1C1, 故 ( + ) // ( + ), 且 即 + 与 + 同向, 且 | + | = | + | , 从而由数与向量相乘的定义可得出 8) ( + ) = ( + ) . 当 < 0 时,同样可证明 8) 成立. 6), 7) 留给同学们自己证明. , | | | | | | | λ λ λ = = α α | λ, λ λ = + + | | | | α α 上一页
根据向量的加法,定义两向量的减法为: a-B=a+(-B) 显然,若y=a-B则y+B=a, 即减法是加法的逆运算 例1 已知平行六面体三边的向量分别为a,By;A,B,C,D,E,F为各边中点, 求证向量AB,CDE能构成三角形 (例2 已知四边形ABCD中,B=a-2y,CD=5a+6B-87对角线AC BD的中点分别为E,F,试用a,B,y表示向量EF 例3 证明 i)向量a,月共线的充分必要条件是存在不全为零的实数k,l使得ka+lB=0 2)向量a,B共线的充分必要条件是存在不全为零的实数k,l使得ka+lB=0 单击些处可查阅进一步内容 「绾三章向量后
例 1 第三章 向量空间 根据向量的加法，定义两向量 的减法为： − = + ( − ). 显然， 若 = − , 则 + = , 即减法是加法的逆运算. − 已知平行六面体三边的向量分别为 , , ; A, B, C, D, E, F为各边中点， 求证向量 AB, CD, EF 能构成三角形. 证 例 2 已知四边形 ABCD 中，AB = −2 , CD = 5 + 6 − 8. 对角线 AC, BD 的中点分别为 E, F, 试用 , , 表示向量 EF. 解答 例 3 证 证明 i) 向量 , 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数 k, l 使得 k + l = 0. 2) 向量 , 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数 k, l 使得 k + l = 0. 单击 此处 可查阅进一步内容 上一页
量的 、间确坐标系 二、间向量的坐标表示 BACK
一、空间直角坐标系 二、空间向量的坐标表示