第五服空间 ⊙第一节內积,欧氏窆间R 第二节标准正交基 郭三节向量积与提合积 第四中R3中直角坐标系下直线与平面少程 第节窆间曲面,空间曲缆及其亦 BACK
第一节 内积 , 欧氏空间Rn 第二节 标准正交基 第三节 向量积与混合积 第四节 R 3 中直角坐标系下直线与平面方程 第五节 空间曲面, 空间曲线及其方程
、何皇角量的积 维府量的积 咳兵角 BACK
一 、几何空间中向量的内积 二、n 维向量的积 三、欧氏空间 R n
§1.内积、欧氏空间Rn 、几何空间中向量的内积 1.空间向量及两向量的夹角(回顾) 实际问题中,既有大小又有方向的物理量称为向量 ①几何上用有向线段表示一个向量,线段的长度表示向量的大小 ②空间向量为自由向量在直角坐标系下,将向量的起点移至原点,称之为向径 点向Mx,y,z) OM=(x, y, 3) ③向量a=(x,y,z)的长度 ④向量的方向角 p= arccos φ= arccos arccos ⑤将空间两向量a,B的起点移至一点o,两有向线段的夹角(0≤0≤丌),称 为向量a与B的夹角,记为a,b) 当=时,称a与B垂直(正交),记作a⊥B 当0=0成x时,称a与B平行(共线,记作aB[第五章欧氏空
1. 空间向量及两向量的夹角 (回顾) 实际问题中, 既有大小又有方向的物理量称为 第五章 欧氏空间 §1. 内积、欧氏空间Rn ①几何上用有向线段表示一个向量, 线段的长度表示向量的大小. ② 空间向量为 在直角坐标系下, 将向量的起点移至原点, 称之为 . 点向 M(x, y, z) OM = (x, y, z) ③向量 = (x, y, z) 的 2 2 2 | | x y z ④向量的 , | | arccos x ρ , | | arccos y φ . | | arccos z ⑤将空间两向量 , 的起点移至一点o, 两有向线段的夹角 (0≤≤ )，称 为向量 与 的 , 当 2 时，称 与 记作 . 当 = 0 或 时，称 与 记作 // . o 记为 (a, b)
2.空间向量的内积 例如,常力∫作用于物体,使之产生位移s, 这个力所作的功为 ∫|ls|cos(∫,s) 定义1 设aBER,记a与B的夹角为(a,B),称数a‖|koa,B)为向量a与B的 内积(数量积),记为aB,即 a·B=a‖Bcos(a,B) 「第五章欧氏空间
第五章 欧氏空间 例如, 常力 f 作用于物体, 使之产生位移 s, s f cos( , ) W f s f s 2. 空间向量的内积. 这个力所作的功为 定义1 设, R3 , 记 与 的夹角为( , ) , 称数 cos( , ) 为向量 与 的 记为 · , 即 cos( , ) (1) 上一页
3.内积的坐标表示 在直角坐标系下,设空间向量a=(x1,y,z1,B=(x2,y2,2),由于a,B及|a-B 构成三角形的三条边 a-B 则由余弦定理知: a-B=a+B 2-2a|l Bcos(a,B) Ep a B cos(a,B)=3(a+B2-a-BP) 1[2+x2+2+x2+y2+2-(x-x)-01-y)-(a= xx2+V,y 所以a·B=x1x2+ny2+=12 (2) 「第五章欧氏空间
第五章 欧氏空间 在直角坐标系下, 设空间向量 = (x1 , y1 , z1), = (x2 , y2 , z2), 由于 , 及 构成三角形的三条边, 2 2 cos( , ) 2 2 则由余弦定理知: 即 cos( , ) ( ) 2 1 2 2 2 [ ( ) ( ) ( ) ] 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y z x y z x x y y z z 1 2 1 2 1 2 x x y y z z 所以 1 2 1 2 1 2 x x y y z z (2) 3. 内积的坐标表示. 上一页
4.用内积表示向量的长度及向量的夹角 因为aa +212,cos(a,B) 所以 a|·|B a的长度|a|=√a.a 与B的夹角(a,B)=ar (a,B≠0) a⊥B分a·B=x1x2+yy2+122=0 「第五章欧氏空间
第五章 欧氏空间 , 与 的夹角 ( , ) arccos , 1 2 1 2 1 2 x x y y z z 0. 的长度 因为 = x1 2+y1 2+z1 2 , | | | | cos( , ) (, 0 ) . , 所以 4. 用内积表示向量的长度及向量的夹角 上一页
§1.内积、欧氏空间Rn 二、n维向量的内积 1.Rn中向量内积定义 定义2 设a月∈Ra=(x1,x2,…,x),B=(1y2,…,yn)称数x1y1+x2y2+ +xnyn为a与的内积记为(axB),即 (a, B=xvi+x222+.+xn yn 2、内积的性质 设a凤则∈Rn,k∈R,则上面定义的内积满足以下性质 (1)(a,B)=(B,a) (2)(a+B,y)=(a,y)+(6,y) (3)(ka,B)=(a,kB)=k(a,B) (4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时,等号成立 性质(1)到(4)的证明可由内积定义直接推得 「第五章欧氏空间
定义2 第五章 欧氏空间 1. Rn 中向量内积定义 设, Rn, = (x1 , x2 , …, xn ), = (y1 , y2 , …, yn ), 称数 x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn为 与 的 记为(, ) , 即 (, ) = x1 y1 + x2 y2 +…+ xn yn (3) 2、内积的性质 设, ,则Rn , kR, 则上面定义的内积满足以下性质： (, ) ( ,) ( k, ) (, k ) k(, ) (, ) 0, 当且仅当 = 0 时, 等号成立 . 性质 (1) 到 (4) 的证明可由内积定义直接推得. (1) (2) (3) (4) ( , ) (, ) ( , ) §1. 内积、欧氏空间Rn
§1.内积、欧氏空间Rn 欧氏空间R 定义3 称定义了内积的n维实向量空间R为n维欧几里得( Euclid)空间,简称欧 氏空间,仍记作R 维欧氏空间R具有直观性习惯上称之为几何空间.R中向量长度及两向量 的夹角等概念通过内积可平行推广到R,使n维欧氏空间具有可度量性 定义4 设a=(x,x2,…,x1)∈R,a的长度|a|定义为√a,a),即 (c) +下十…+下 3 特别地,a|=1时,称a为单位向量 aa a 故称为a的单位化向量 「第五章欧氏空间
定义4 定义3 第五章 欧氏空间 称定义了内积的 n 维实向量空间 Rn 为 n 维欧几里得 (Euclid) 空间, 简称欧 氏空间, 仍记作Rn. 三维欧氏空间 R3 具有直观性,习惯上称之为 R3 中向量长度及两向量 的夹角等概念通过内积可平行推广到 Rn, 使 n 维欧氏空间 设 = (x1 , x2 , …, xn )Rn , 的 | | 定义为 (α,α ) , 即 α . 2 2 2 2 x1 x xn (4) (α,α ) 特别地, | | 1时, 称 为 当 0, 2 ( , ) 2 2 1 故称 为 的 ) =1 , | ( , | | 2 | | | §1. 内积、欧氏空间Rn
定义5 设a,B∈R,a=(x1x2…,xn),B=(,y2,…,yn),称 a-B|=√a-,a-B)=∑(x,-y)2)2 为空间两点或两向量间)的距离,并称之为欧氏距离 .定理● 向量内积满足|(a,B)|s|a‖B 且等号成立的充要条件是a与B线性相关 (5)式称为柯西施瓦兹( Cauchy- Schwarz)不等式 当a,B≠0,由柯西施瓦兹不等式可得 0s/a) (a,B) B/i all B 「第五章欧氏空间
定义5 第五章 欧氏空间 设 , Rn , = (x1 , x2 , …, xn ), = (y1 , y2 , …, yn ) , 称 | | ( , ) 2 1 2 1 (( ) ) n i i i x y 为空间两点(或两向量间)的距离，并称之为 定理 1 向量内积满足 | (, ) | | || | (5) 且等号成立的充要条件是 与 线性相关. (5) 式称为柯西施瓦兹(Cauchy-Schwarz) 不等式. 当 , 0 ,由柯西施瓦兹不等式可得： 1, | || | | ( , ) | 0 1. | || | ( , ) 1 上一页
定义6 向量ab之间的夹角定义为(a,B)= arccos,, 6 (6) (a,B)≈兀称a与月正交,记a⊥月 (a,B)=0或兀,称a与B共线,记a∥B 由定义知:0≤(a,B)≤兀 几何学中的三角不等式,余弦定理,勾股定理可推广至n维欧氏空间Rn 定理23 设a,b是欧氏空间R中的两个向量则 (1)a+Bsa+B (三角不等式)(7) (2)a-B=l2+8|-2a|B|cos(a,B)(余弦定理)(8) 匚第五章欧氏空间
定理 2 定义6 向量a, b 之间的 定义为 ( , ) ( , ) arccos (6) π 0 (, ) , 2 ( , ) 称 与 ，记 . ( , ) 0 或π, 称 与 ，记 // . 由定义知： 几何学中的三角不等式, 余弦定理, 勾股定理可推广至 n 维欧氏空间 Rn . 设a, b是欧氏空间Rn 中的两个向量 则. 2 cos( , ) 2 2 2 (7) (8) (1) (2) 第五章 欧氏空间 上一页