第一草瓴阵的概念 第二中矩阵的理 第三节方阵与分块矩库 第四节矩阵的韧变换与阵的我 第互节可矩库 BACK
第一节 矩阵的概念 第四节 矩阵的初等变换与矩阵的秩 第二节 矩阵的运算 第五节 可逆矩阵 第三节 方阵与分块矩阵
障的概意 din Ca21a22 a2n m2 BACK
远作行列式(i≠) 第i行 第j行 则其除第j行与行列式D的第i行相同外,其余各行均与D的对应元素 相同由于第i行与第j行各元素对应相同,故上行列式为零,将其第j行展开 可得 A.=0 类似地,有 A4+a2A2+…+an4 0 「第一章行列式
第一章 行列式 作行列式 ( i j ) n n nn i i in i i in n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 第 i 行 第 j 行 证 则其除第 j 行与行列式 D 的第 i 行相同外,其余各行均与 D 的对应元素 相同. 由于第 i 行与第 j 行各元素对应相同, 故上行列式为零, 将其第 j 行展开 可得 0. ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + + ai nAj n = 0. a1i A1 j + a2i A2 j + + aniAnj = 类似地, 有
定义 由mxn个数a(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)有序地排列成m行(横排)n列 (竖排)的数表 称为一个m行n列的矩阵,简记为(aⅧmxn,通常用大写字母A、B、C、…表示 m行n列的矩阵A也写成Amxn,构成矩阵的每个数称为矩阵的元素,而a表示矩 阵第行第列的元意 有几种特殊的矩阵 )只有一行的矩阵(a1,a2,…,an)称为行矩阵; 2 2)只有一列的矩阵 称为列矩阵; 3)元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为O,若强调零矩阵是m行n列的,则记为Omxn ‖第三章矩阵理论
定义1 第二章 矩阵理论 由 m n 个数 aij ( i =1, 2, …, m ; j =1, 2, …, n ) 有序地排列成 m 行(横排) n 列 ( 竖排 ) 的数表 m m mn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记为 ( aij)m n , 通常用大写字母 A、B、C、…表示. m 行 n 列的矩阵 A 也写成 Am n , 构成矩阵的每个数称为矩阵的元素，而 aij 表示矩 阵 第i 行第j 列的元素. 有几种特殊的矩阵: 1) 只有一行的矩阵 ( a1 , a2 , …, an ) 称为行矩阵 ； n a a a 2 1 2) 只有一列的矩阵 称为列矩阵 ; 3) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 O, 若强调零矩阵是 m 行 n 列的，则记为 Om n
规定:两个矩阵A和B若行数相等,列数也相等(称它们同型),且对应元素也相等, 即若A=(an)m (bi) 则称A与B相等,记作A=B 注意:不同型的零矩阵是不相等的 有了矩阵的概念后,m个方程n个未知量的线性方程组 a11x1+a12x aix 21x1+a2x2 Xitamx 与m行n+1列矩阵 11a12 b mI am2 形成一一对应,于是可利用矩阵来研究线性方程组的求解 第二章矩阵理论
第二章 矩阵理论 规定：两个矩阵 A 和 B 若行数相等，列数也相等(称它们同型)，且对应元素也相等， 即若 A = ( aij )m n , B = ( bij )m n , Aij = bij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n ) 则称 A 与 B 相等，记作 A = B . 注意：不同型的零矩阵是不相等的. 有了矩阵的概念后，m 个方程 n 个未知量的线性方程组 a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1, a21x1+a22x2+…+a2nxn = b2, ………… am1x1+am2x2+…+amnxn = bm 与 m 行 n+1 列矩阵 m m mn m n n a a a b a a a b a a a b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 形成一一对应，于是可利用矩阵来研究线性方程组的求解. 上一页
例1 写出线性方程组 2x1+x2-5x3+4x4=8, x2 5x4 +2 +4x2-7x3+6x4=0 所确定的矩阵 解所求矩阵为 548 1-30-59 02-125 14-760 第二章矩阵理论
例 1 解 第二章 矩阵理论 写出线性方程组 2 x1 + x2 − 5 x3 + 4 x4 = 8 , x1 − 3 x2 − 5 x4 = 9 , 2 x2 − x3 + 2 x4 = 5 , x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0 所确定的矩阵. 所求矩阵为 . 1 4 7 6 0 0 2 1 2 5 1 3 0 5 9 2 1 5 4 8 − − − − − 上一页
阵的 O一、矩隋的加淹和减 0二、数与隋的票法 三、绳阵与矩的法 BACK
一、矩阵的加法和减法 二、数与矩阵的乘法 三、矩阵与矩阵的乘法 四、矩阵的转置
52矩阵的运算 、矩阵的加法和减法 定义1)设有两个m×m矩阵A=(m)mx,B=(mxm,则矩阵 mxn 称为矩阵A与B的和,记为C=A+B 注意:只有同型的矩阵才能进行加法运算 易知,矩阵的加法满足下列运算规律: (i)交换律:A+B=B+A (i)结合律:(A+B)+C=A+(B+C) A+O=A 这里A、B、C、O均为m×n矩阵 ‖第三章矩阵理论
定义1 第二章 矩阵理论 §2.矩阵的运算 一、矩阵的加法和减法 设有两个 m n 矩阵 A = ( aij )m n , B = ( bij )m n , 则矩阵 ij m n C c = ( ) = aij + bij m n ( ) 称为矩阵 A 与 B 的和，记为 C = A+B. 注意：只有同型的矩阵才能进行加法运算. 易知，矩阵的加法满足下列运算规律： ( i ) 交换律： A + B = B + A ; ( ii ) 结合律：( A + B ) + C = A + ( B + C ) ; ( iii ) A + O = A . 这里 A、B、C、O 均为 m n 矩阵
设矩阵A=( aim n,则称矩阵(-an)mxn为矩阵A的负矩阵,记为-A,即 1 A=(a, 显然 (-A)=O 利用负矩阵,定义矩阵的减法为 B=A+(B)=(ai-bij ) 注意:两矩阵只有同型,才能进行减法运算 ‖第三章矩阵理论
第二章 矩阵理论 设矩阵 A = ( aij )m n , 则称矩阵 ( − aij )m n 为矩阵 A 的负矩阵，记为 −A , 即 − A = −aij m n ( ) . 1 2 21 22 2 11 12 1 − − − − − − − − − = m m mn n n a a a a a a a a a 显然 A + ( − A ) = O . 利用负矩阵，定义矩阵的减法为 A − B = A + ( − B ) = ( aij − bij )m n . 注意：两矩阵只有同型，才能进行减法运算. 上一页
52矩阵的运算 二、数与矩阵的乘法 定义2 设为常数,矩阵A=(an)mxn,则称矩阵(an)mxn为数λ与矩阵A的 乘积,记为4A,即 2a, n o 元A=(an)m 易知,数与矩阵的乘法满足下列运算规律: (i)结合律:(4)A=2(A)=(AA); (ⅱ)分配律:(4+B)=2+B,(+)A=+A (ii)1.A=A,(-1)·A=-A 其中A、B均为m×n矩阵,而λ、μ为常数 ‖第三章矩阵理论
定义2 第二章 矩阵理论 二、 数与矩阵的乘法 设 为常数, 矩阵 A = ( aij )m n , 则称矩阵 ( aij ) m n 为数 与矩阵A 的 乘积，记为 A, 即 ij m n A a = ( ) . 1 2 21 22 2 11 12 1 = m m mn n n a a a a a a a a a 易知，数与矩阵的乘法满足下列运算规律： ( i ) 结合律： ( ) A = ( A ) = ( A ) ; ( ii ) 分配律： ( A + B ) = A+ B , ( iii ) 1 A = A , ( −1 ) A = − A , 其中 A、B 均为 m n 矩阵, 而 、 为常数 . ( + ) A = A+ A ; §2.矩阵的运算