湖南大学：《线性代数与解析几何》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 线性方程组

第节线瞧方程組的消元弦 第二节齐次唑方程有非平解的条 片解的结构 第三节非齐究线方程弃解的 件解的结构

第一节 线性方程组的消元法 第二节 齐次线性方程有非零解的条 件及解的结构 第三节 非齐次线性方程有解的条 件及解的结构

坑程的 线性方程组的形线 二、线性方程组的消元解法 BACK

一、线性方程组的形式 二、线性方程组的消元解法

§1.线性方程组的消元解法 一、线性方程组的形式 设n个元m个方程的线性方程组为 cAlL A211+ a22x2+.+ a2r b2 AmIx1+am2x2+.+ amur,=bm 注意:m可以大于n,小于n,等于n. wD cID IrD 记 A 则(1)式可写成如下矩阵形式 AX=b, 称A为线性方程组的系数矩阵 第四章线性方程组

第四章 线性方程组 §1.线性方程组的消元解法 一、线性方程组的形式 设 n 个元 m 个方程的线性方程组为 A11x1 + a12x2 +…+ a1nxn= b1 , A21x1 + a22x2 +…+ a2nxn= b2 , …………… Am1x1 + am2x2 +…+ amnxn= bm . (1) 注意： m 可以大于 n ,小于 n ,等于 n . 记 , 2 1 2 22 21 1 12 11             = mn m m n n a a a a a a a a a A        , 2 1             = n x x x X  . 2 1             = mb b b b  则(1)式可写成如下矩阵形式： AX = b , (2) 称 A 为线性方程组的系数矩阵

若将系数阵A按每个列为一子块进行分块,即 小 152 AX=(a1,a,…,an):=xa+xa2+…xa 则方程组又可写成向量形式 x1c1+x2a2+…+xnan=b a1 a [A,b] 21a2 bb…b 称A为线性方程组的增广矩阵 当方程组右边的常数项不全为0,即b≠0时,称AX=b为非齐次线性方程组, 而称AX=0为齐次线性方程组 第四章线性方程组

第四章 线性方程组 (3) 若将系数阵 A 按每个列为一子块进行分块，即 A=(1 , 2 , …, n ) , 则方程组又可写成向量形式: x11+ x22+ …+ xnn=b .               = n n x x x AX   2 1 1 2 ( , , , ) , 1 1 2 2 n n = x + x  + x  记 [ , ] , 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1             = = m m mn m n n a a a b a a a b a a a b A A b         称 A 为线性方程组的增广矩阵. 当方程组右边的常数项不全为 0, 即 b  0 时，称 AX = b 为非齐次线性方程组， 而称 AX= 0 为齐次线性方程组. 上一页

§1.线性方程组的消元解法 二、线性方程组的消元解法 消元法的三种基本运算包括 1.对换两个方程的位置 2.用一个数去乘一个方程加到另一个方程上 3.用一个非零数去乘一个方程. 这三种运算称为线性方程组的初等变换 定理1 设将方程AX=b的增广矩阵A=[A,b进行初等行变换所得到的 矩阵为D=D,d,则D所对应的方程DX=d与原方程AX=b同解. 对应 AX= b A=A, b 同解方程 初等行变换 一一对应 dX= d D=[D, d 第四章线性方程组

定理1 第四章 线性方程组 二、线性方程组的消元解法 消元法的三种基本运算包括： 1. 对换两个方程的位置； 2. 用一个数去乘一个方程加到另一个方程上； 3. 用一个非零数去乘一个方程. 这三种运算称为线性方程组的初等变换. 设将方程 AX = b 的增广矩阵 A = [A, b] 进行初等行变换所得到的 矩阵为 D = [D, d], 则 D 所对应的方程 DX = d 与原方程AX = b同解. AX = b A = [A, b] DX = d D = [D, d], 同解方程 初等行变换 一一对应 一一对应 §1.线性方程组的消元解法

例1 Xxx 解线性方程组了x1+2x2-5x3=2, 2x1+3x-4x32=3 1 0-6 0000 0000 最后一个矩阵所对应的线性方程组为 x1+7x3=1 x 它与原方程组同解,取x3=C,得x1=1-7C,x2=1+6C, x1=1-7C, 即原方程组解为 x2=1+6C,其中C为任意实数 x3=C 将解写成向量形式(x,x2,x3)T=(1-7C,1+6C,C) 例1中,方程组的解含有任意常数,称之为方程组的一般解或通解 若向量是AX=b的解,且不含任意常数,则称n是AX=b的一个特解 第四章线性方程组

例 1 解 解线性方程组 x1 + x 2 + x3 = 1 , x1+ 2x2 − 5x3 = 2 , 2x1+3x2 − 4x3 = 3 .           − = − 2 3 4 3 1 2 5 2 1 1 1 1 A           − → − 0 1 6 1 0 1 6 1 1 1 1 1           → − 0 0 0 0 0 1 6 1 1 1 1 1 . 0 0 0 0 0 1 6 1 1 0 7 1           → − 第四章 线性方程组 最后一个矩阵所对应的线性方程组为 x1+ 7x3 = 1 , x2−6x3 = 1 . 它与原方程组同解，取 x3 = C, 得 x1 = 1−7C, x2 = 1+6C, 即原方程组解为 x 1= 1− 7C , x2 = 1+ 6C, 其中 C 为任意实数. x3 = C , 将解写成向量形式 ( x1 , x2 , x3 ) T = (1−7C , 1+6C, C ) T. 例1中，方程组的解含有任意常数，称之为方程组的一般解或通解. 若向量  是 AX=b 的解，且不含任意常数，则称  是 AX=b 的一个特解. 上一页

例2 5 求下列线性方程组的解 1+x2-2x3+3x4=0, 3x1-x2+8 0 x1+3x2-9x3+7x4=0 1-1 p5-1 差 1-23 A 72 2 81 74 0000 0000 148 0000 0000 最后一个矩阵所对应的线性方程组为 x,+二x,+x,=0 2 x2-x3+2x4=0 取x3=C1,x4=C2得方程组的解为 C1,C,∈R x2=C1-2C2 上述求解过程是将线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化阶梯形,从而得到简化 的同解方程组,达到消元与求解方程的目的,这种利用矩阵的初等行变换求解线性方程 组的方法称为高斯消元法(或矩阵消元法) 第四章线性方程组

第四章 线性方程组 例 2 求下列线性方程组的解： x1 – x2 + 5x3 – x4 = 0 , x1 + x2 – 2x3 + 3x4 = 0 , 3x1 – x2 + 8x3 + x4 = 0 , x1 + 3x2 – 9x3 + 7x4 = 0 . 解             − − − − − = 1 3 9 7 3 1 8 1 1 1 2 3 1 1 5 1  A             − − − → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 7 4 1 1 5 1             − − − − − → 0 4 14 8 0 2 7 4 0 2 7 4 1 1 5 1             − − − → 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 7 0 1 1 1 5 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 7 0 1 1 2 3 1 0               − → 最后一个矩阵所对应的线性方程组为 0 , 2 3 x1 + x3 + x4 = 2 0. 2 7 x2 − x3 + x4 = , 2 3 1 C1 C2 x = − − 2 , 2 7 2 C1 C2 x = − C1 , C2  R . 取 x3 = C1 , x4 = C2 得方程组的解为： 上述求解过程是将线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化阶梯形，从而得到简化 的同解方程组，达到消元与求解方程的目的，这种利用矩阵的初等行变换求解线性方程 组的方法称为高斯消元法(或矩阵消元法). 上一页

齐方的什 次线性方程组有非解的 =、齐次线方程组解的结袍 BACK

一、齐次线性方程组有非零解的条件 二、齐次线性方程组解的结构

§2齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构 齐次线性方程组有非零解的条件 齐次线性方程组形如 AX=0 o x,a+x,a2+.+x, an=0 (5) 方程组显然有解X=(0,…,0)T=0 系数矩阵A满足什么条件,AX=0有非零解?其非零解是否唯一?其通解的形 式如何 定理1 AX=0有非零解的充要条件是系数阵A的秩rA)小于未知数的个数n 远4x=0有非零解 台存在不全为零的实数x1,x2,…,xn使xa1+x2a2+.+xn2an=0 台向量组a1,a2,…,.an线性相关 台向量组a1,a2,…,an的秩小于n 分r(A)<n. 第m章些方程组

第四章 线性方程组 齐次线性方程组形如 AX = 0 , 或 x11 + x22 +…+ xnn = 0 , (5) 方程组显然有解 X = (0, …, 0)T= 0 . (4) 系数矩阵 A 满足什么条件，AX = 0 有非零解？其非零解是否唯一？其通解的形 式如何？ §2.齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构 一、齐次线性方程组有非零解的条件 定理1 AX = 0 有非零解的充要条件是系数阵 A 的秩 r(A) 小于未知数的个数 n . Ax = 0有非零解.  存在不全为零的实数 x1 , x2 , …, xn 使x11+x22+…+xnn = 0.  向量组 1 , 2 , …,  n 线性相关.  向量组 1 , 2 , …,  n 的秩小于n.  r(A) < n. 证

推论1 AX=0只有零解r4)=n 推论2 当方程个数m小于未知数个数n时,AX=0必有非零解. 推论3 当m=n时,AX=0有非零解兮|A|=0 AX=0只有零解|4|≠0 例1 x1+1x 当为何值时,方程组了x1-x+x3=0,(1)有非零解;(2)只有零解 A +2x3=0 解设方程系数阵为A,则 02+10 0+10 1 04+12-4002-2 当=2或λ=-1时,n(4)=2<3,方程组有非零解. 当λ≠2且λ≠-1时,方程组只有零解 第四章线些程组

推论3 当 m = n 时, AX = 0 有非零解  | A | = 0. AX = 0 只有零解  | A |  0. 推论1 AX = 0 只有零解  r(A) = n. 推论2 当方程个数 m 小于未知数个数 n 时，AX = 0 必有非零解. 第四章 线性方程组 例 1 解 当  为何值时，方程组 x1 + 1x2 + x3 = 0 , x1 − x2 + x3 = 0 , x1 + x2 + 2x3 = 0 , (1) 有非零解; (2)只有零解. 设方程系数阵为 A , 则           = − 1 2 1 1 1 1 1   A           + − − + →    0 1 2 1 1 1 0 1 0 . 0 0 2 0 1 0 1 1 1           − + − → λ λ 当  = 2 或  = −1 时，r(A) = 2< 3, 方程组有非零解. 当   2 且   −1 时，方程组只有零解. 上一页