综合试卷(五至七章) ⊙综合试卷1◎综合试卷1答案 综合试卷2③综合试卷2答案 ⊙综合试卷3◎综合试卷3答案 ◎综合试卷4◎综合试卷4答案 BACK
综合试卷(五至七章 ) 综合试卷4答案 综合试卷3答案 综合试卷2答案 综合试卷1 综合试卷1答案 综合试卷2 综合试卷3 综合试卷4
综合试题1 一、判断题 1两共线矢量a与b的矢性积的模,等于以a与b为边所构成的 平行四边形的面积() 2两矢量a与b共线的充要条件是a×b=0() 3矢量a{X1,Y121}与b{X2Y2,Z2}相互垂直的充要条件是 X1X2+Y12+21Z2=0.() 4两矢量a与b相互垂直的充要条件是a·b=0.() 5矢性积是反交换的即a×b=-(b×a)() 6.设4是线性空间的可逆线性变换,是4的一个特征值, 则,是A的一个特征值。() 7设A是线性空间的线性变换,ξ∈V,如果=0, 则5是4的特征向量。() 8设是n维线性空间的线性变换,如果A有n个不同的 特征值,则A是可逆变换。() 9设A是线性空间的线性变换则A的关于特征值 的全体特征向量作成的子空间()
综 合 试 题 1 .( ) 1. , a b a b 平行四边形的面积 两共线矢量 与 的矢性积的模 等于以 与 为边所构成的 一、判断题 2. a b a b = 0.( ) 两矢量 与 共线的充要条件是 0.( ) 3. { , , } { , , } 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 X X + YY + Z Z = 矢量a X Y Z 与b X Y Z 相互垂直的充要条件是 4. a b a b = 0.( ) 两矢量 与 相互垂直的充要条件是 5. , a b (b a).( ) 矢性积是反交换的 即 = − 6.设 是线性空间的可逆线性变换, 是 的一个特征值, 则 是 的一个特征值。 ( ) A 0 A 0 1 −1 A 7.设 是线性空间 的线性变换, ,如果 , 则 是 的特征向量。( ) A V V A = 0 A 8.设V是n维线性空间的线性变换,如果A有n个不同的 特征值,则 A是可逆变换。( ) .( ) 9. , 0 的全体特征向量作成 的子空间 设 是线性空间 的线性变换 则 的关于特征值 V A V A
二、单选题 综合试题1 1要使线性空间R2作为一个欧氏空间可以对于向量 a(a1,a2)B(b1,b2),规定内积为() (A)(a,B)=a1b2+a2b1(B)a,B)=a1b1-a2b2 C)(a,B)=3a1b1+5a2b2OD)(a,B)=(a1+a2)(b1+b2) 2设a,B是欧氏空间中的两个线性无关的向量,则() (A)(a,B)ka|·B|(B)(a,B)a|·|B (C)(a,B)|a|:|B|(D)(a,B)a|:|B 3在下列Px的变换中是线性变换的为 (A)4(f(x)=f(x+1)(B)A(f(x)=f(x)+1 (C)A(f(x)=f(x2)-2(D)(f(x)=f(x)2 4设A是n阶矩阵,如果|A|=0,则4的特征值 (4)全是零 (B)全不是零 (C)至少有一个是零(D)可以是任意数 5设a,B是欧氏空间中两个非零向量如果a⊥β, 则下式不成立的是( (A)(a,B)=0 (B)=m/2 (c)a+Ba-B(d)la+Ba+Bl
综合试题1 ( )( , ) 3 5 ( )( , ) ( )( ) ( )( , ) ( )( , ) ( , ), ( , ), ( ) 1. , 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 C a b a b D a a b b A a b a b B a b a b a a b b R = + = + + = + = − 规定内积为 要使线性空间 作为一个欧氏空间 可以对于向量 ( ) | ( , ) | | | | | ( ) | ( , ) | | | | | ( ) | ( , ) | | | | | ( ) | ( , ) | | | | | 2. , , ( ) C D A B 设 是欧氏空间V中的两个线性无关的向量 则 二、单选题 2 2 ( ) ( ( )) ( ) 2 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( 1) ( ) ( ( )) ( ) 1 3. [ ] C A f x f x D A f x f x A A f x f x B A f x f x P x = − = = + = + 在下列 的变换中是线性变换的为 至少有一个是零 可以是任意数 全是零 全不是零 设 是 阶矩阵 如果 则 的特征值 ( ) ( ) ( ) ( ) 4. , | | 0, C D A B A n A = A ( ) | | | | ( ) | | | | | | ( )( , ) 0 ( ) , / 2 ( ) 5. , , + = − + = + = = ⊥ C D A B V 则下式不成立的是 设 是欧氏空间 中两个非零向量如果
三、计算题 综合试题1 设E1E2,E3是三维欧氏空间V的一组基,这组基的度 量矩阵是 1-1 A 120 04 (1)求内积(a1+E21)(2,3),(a1+2E2-6322+3) (2)求|c1+E2 (3)求V的一组标准正交基 2求下矩阵4的特征值特征向量:A=-4-10 48 3已知二次型f(x12x2,x3)=x2+4x2+2x2+21x1x2+2x1x3 是正定二次型,试求的取值范围 四、证明题 1.设V是n维欧氏空间,证有对任意的n阶正定矩阵A,在V中总 存在基a1,a2,…,a3使这组基的度量矩阵为A,又问,这样的基 是不是唯一的? 2证明:四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点 回目 且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来
三、计算题 综合试题1 1. 设 是三维欧氏空间V的一组基,这组基的度 量矩阵是 (1)求内积 (2)求 (3)求V的一组标准正交基. − − = 1 0 4 1 2 0 1 1 1 A 1 2 3 , , ( , ), ( , ), ( 2 ,2 ); 1 2 1 2 3 1 2 3 2 3 + + − + | |; 1 2 + 四、证明题 1.设V是n维欧氏空间,证有对任意的n阶正定矩阵A,在V中总 存在基 ,使这组基的度量矩阵为A,又问,这样的基 是不是唯一的? an , , , 1 2 返回目录 下一套试卷 答 案 − = − − 4 8 2 4 1 0 3 1 0 2.求下矩阵A的特征值, 特征向量 : A , . 3. ( , , ) 4 2 2 1 2 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 是正定二次型 试求 的取值范围 已知二次型 t f x x x = x + x + x + t x x + x x . . 2. : , 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来 且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍 证明 四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点
一、判断题 综合试题1答案 1.×2.√3.√4 5.√6.√7.×8.×9.× 二、单选题 1.C2.A3.A4.C D 三、计算题 1.(1)0;0;3(2)1(3)标准正交基e1,51+2,√261-当21+当E3 2.特征值为-2属于特征值的特征向量为a,k≠0其中a=-6 0 属于特征值-2的特征向量为B,1≠0,其中B=0 3.-√2<t<√2 起回题 回但感 下
一 、判断题 综合试题1答案 1. × 2. √ 3.√ 4. √ 5. √ 6. √ 7. × 8. × 9. × 一 、判断题 二、单选题 1.C 2.A 3.A 4.C 5.D 三、计算题 3. − 2 t 2 下一套试卷 − = − = − 1 0 0 2 , 0, , 20 6 3 2. 1, 2. 1 , 0, 属于特征值 的特征向量为 其中 特征值为 属于特征值 的特征向量为 其中 l l k k 1.(1)0;0;3 (2)1 (3)标准正交基 , , 2 . 2 3 2 2 21 2 1 1 2 1 + − + 返回目录 返回试题
综合试题2 一、判断题 1矩阵A相似于对角阵,则A的特征多项式无重根 2设a1,a2,…,an是欧氏空间的一组基,如果B∈满足 (B,a,)=0.,1=1,2,…,n,则1=B2 3设E1,E2,E3是三维欧氏空间的一组基a=a1E1+a2E2+a33, B=b61+b2E2+b363,则(a,B)=ab1+a2b2+a3b3 4设V1,V2是欧氏空间的两个子空间如果n∩V2={0}, 则V⊥ 5如果实对称矩阵A与B合同,那么以A,B为矩阵的实二次型 f(x1,x2,…,xn)=XA4与g(x1,x2,…,xn)=XBX具有相同 的规范形 6若A是正定矩阵,则A2也是正定矩阵 7的线性变换A,B有相同的特征多项式则它们有相同的特征向量 8属于不同特征值的特征向量线性无关
综 合 试 题 2 一、判断题 ( , ) 0, 1,2, , , . 2. , , , , 1 2 1 2 = = = 则 设 是欧氏空间 的一组基 如果 满足 i n V V i n , ( , ) . 3. , , , , 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 b b b a b a b a b V a a a = + + = + + = + + 则 设 是三维欧氏空间 的一组基 . 4. , , {0}, 1 2 1 2 1 2 V V V V V V V ⊥ = 则设 是欧氏空间 的两个子空间 如果 . ( , , , ) ( , , , ) 5. , , 1 2 1 2 的规范形 与 具有相同 如果实对称矩阵 与 合同 那么以 为矩阵的实二次型 f x x x X AX g x x x X BX A B A B n n = = 6. , . 若A是正定矩阵 则A2也是正定矩阵 7.V的线性变换A, B有相同的特征多项式,则它们有相同的特征向量. 1.矩阵A相似于对角阵,则A的特征多项式无重根 8.属于不同特征值的特征向量线性无关
综合试题2 二、单选题 1设a,是欧氏空间中两个线性相关的向量,则() (A(a,b) b)l(a,b)aBl (C)(a,B)|a‖B|OD)(a,B)a|·|B 2设A是实数域上n阶矩阵,则A的不同特征值的个数 (4)小于等于 (B)大于等于n (C)等于n (D)不等于n 3设A=(an是一个m阶正定矩阵,对R中任意两上向量 a=(x1,x2,…,xn),B=(y,y2,…,yn)定义内积为(a,B) AB,使R"成一欧氏空间则基21=(10,…2 0,1,…,0) (0,0,…,1)的度量矩阵为 (A)A B)A -1 (CE (D)A+E 4全体五阶实对称矩阵的集合按合同分类,一共有 (4)15类(B)20类(C)21类(D)42类
( ) | ( , ) | | || | ( ) | ( , ) | | | | | ( ) | ( , ) | | || | ( ) | ( , ) | | | | | 1. , , ( ) = C D A B 设 是欧氏空间V中两个线性相关的向量 则 二、单选题 综合试题2 C E D A E A A B A e A R e e x x x y , y , , y A a n R n n n 2 n n i j + = = = = = = = − ( ) ( ) ( ) ( ) (0,1, ,0), , (0,0, ,1) , , (1,0, ,0), ( , , , ), ( ) ( , ) 3. ( ) , 1 1 2 1 2 1 的度量矩阵为 使 成一欧氏空间 则基 定义内积为 设 是一个 阶正定矩阵 对 中任意两上向量 C n D n A n B n A n A 等于 不等于 小于等于 大于等于 设 是实数域上 阶矩阵 则 的不同特征值的个数 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 类 类 类 类 全体五阶实对称矩阵的集合按合同分类 一共有 ( )15 ( )20 ( )21 ( )42 4. , A B C D
综合试题2 三、计算题 1知|a=1,|B=5,a·B=3,试求 (1)|a×βb (2)[(a+B)×(a-) 3)(a-2B)×(B-2a)2 2化二次型f(x12x2,…,xn)=x1x2+x2+x2n1+…+xxn为标准形 3已知a={2,3},B={5,6,4},试求(1)以a,B为平行四边形 的面积(2)这平行四边形的二条高的条 4设三维线性空间的线性变换4在基E1,E2,E3下的矩阵 6. c A=a2b2c2求A在的另一组基61263-61下的矩阵 200 5设A=1 1,求A 6求顶点为原点准线为x2-2z2+1=0,y-x+1=0的锥面方程
三、计算题 2 2 (3)[( 2 ) ( 2 )] (1) | |; (2)[( ) ( )] ; 1. | | 1, | | 5, 3, : − − + − = = = 已知 试求 ; (2) . 3. {2,3,1}, {5,6,4}, (1) , 的面积 这平行四边形的二条高的条 已知 = = 试求 以 为平行四边形 综合试题2 2. ( , , , ) . 化二次型f x1 x2 xn = x1 x2n + x2 + x2n−1 + + xn xn+1为标准形 . ,2 . 4. , , : 1 3 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 2 3 求 在 的另一组基 下的矩阵 设三维线性空间 的线性变换 在基 下的矩阵 − = A V a b c a b c a b c A V A , . 1 0 1 1 2 1 2 0 0 5. k 设A 求A = − 6. , 2 1 0, 1 0 . 求顶点为原点 准线为x 2 − z + = y − z + = 的锥面方程
四、证明题 综合试题2 1.设A是n阶正定的正交矩阵,证明A是单位矩阵. 2.证明上三角的正交矩阵必为对角矩 阵,且主对角线上元素为1或一1 3设A,B都是n阶矩阵,证明AB与BA有相同的特征多相式 4证明下列各题: (1)(a,B,y)=A(a,B,y) (2a,B,y1+y2)=(a,B,%1)+(a,B,y2) 3),B,y+a+B)=(a,B,y) (4)(a+B,B+y,y+a)=2(a,B,y) (a,B,y)是向量a,B,的混合积) 回目
四、证明题 综合试题2 ( 是向量 的混合积) ( 证明下列各题 ( , , ) , , (4)( , , ) 2( , , ). (3)( , , ) ( , , ); (2)( , , ) , , ) ( , , ); (1)( , , ) ( , , ); 4. : 1 2 1 2 + + + = + + = + = + = 1. 设A是n阶正定的正交矩阵,证明A是单位矩阵. 3.设A,B都是n阶矩阵,证明AB与BA有相同的特征多相式. 2. 证明上三角的正交矩阵必为对角矩 阵,且主对角线上元素为1或-1. 返回目录 下一套试卷 答 案
判断题 综合试题2爷案 1.×2.√3.×4.×5.√6. 7.×8. 二、单选题 1.B2.A3.A4.C 计算题 1.(1)4,(2)64,(3)144 t yn-y y 3.(1)3√6,(2)213√462 77 「a1+a32(b+b) C1+C3-a1-a 4.B 2 6, 2b, 回题 5.A 10 回 6 ty 0
一 、判断题 综合试题2答案 1. × 2. √ 3. × 4. × 5. √ 6. √ 7. × 8. √ 一 、判断题 二、单选题 1.B 2.A 3.A 4.C 三、计算题 下一套试卷 返回目录 − − + + + − − = 3 3 3 3 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2( ) 4. a b c a c a b a a a b b c c a a B − = − − + 2 1 0 1 2 1 2 2 1 2 0 0 5. k k k k k k A 1.(1)4,(2)64 ,(3)144. 2. . 2 2 2 1 2 2 2 2 1 n n n y + y + + y − y − − y + 77 3 462 , 7 3 21 3. (1)3 6 , (2) 6. 0. 2 2 2 x + y − z = 返回试题