《高等数学讲义》课程教学资源（电子讲义）第九讲 多元函数微分学

6曲面及其方程 常用二次曲面的方程及其图形 、球面设P(x0y0,z乙0)是球心,R是半径,P(xy,z)是球面上 任一点,则PF=R,即 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)=R2 X+y2+z2=R2 2、椭球面 3、旋转曲面 设L是xOz平面上一条曲线 ∫f(xz)=0 y=0,L绕z旋转一周所得旋 转曲面:√x+y2,)= +(z-z0) z0=z代入方程f(xz)=0 得x+y3,=0 例1、z=x2+y2,z=ax2+y2)称为旋转抛物面 旋转双曲面 1,(单) Z= 4、椭圆抛物面z=ax2+by2ab>0 5、单叶双曲面+ a b c 6、双叶双曲面 7、二次锥面 圆锥面

(0,0,z0 ) (x (x,y,z) 0 ,y0 ,0) z 0 y x 6 0 曲面及其方程 常用二次曲面的方程及其图形 1、球面 设 ( ) 0 0 0 0 P x , y , z 是球心，R 是半径， P(x, y, z) 是球面上 任一点，则 P0P = R ，即 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 x − x0 + y − y + z − z = R 2 2 2 2 x + y + z = R 2、椭球面 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 + + = 3、旋转曲面 设 L 是 x0z 平面上一条曲线 ( )    = = y 0 f x, z 0，L 绕 z 旋转一周所得旋 转曲面：f( x y , z) 0 2 2  + = ( ) 0 2 2 2 0 2 2 0 x = x + y + z − z = x + y , z = z x x y z 0 z f(x, z) 0 2 2 0 =  + = 代入方程 = 得 f( x y , z) 0 2 2  + = 例 1、 ( ) 2 2 2 2 z = x + y , z = a x + y 称为旋转抛物面 旋转双曲面： 1 c z a x y 2 2 2 2 2 − = + ，(单) 2 2 2 2 2 c z a x y z + + = − 4、椭圆抛物面 z ax by ab 0 2 2 = +  5、单叶双曲面 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 + − = 6、双叶双曲面 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 − − + = 7、二次锥面 0 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 + − = 圆锥面 2 2 2 2 2 2 z = x + y z = ax + by

8、柱面抛物柱面y=ax2(a>0) 椭圆柱面x+ 圆柱面 R 60空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程(以后讲) x=x(t) 般式 F1(xy,z)=0 F,(x,y, z) 参数式y=y() z=() 曲线F(k2)=0 F2(xy,z)=0 在三坐标面上投影方程 在x0y面上投影曲线方程:在 ∫F(xy,z)=0 中消去z,再与z= E2(xy, z) 联立

8、柱面 抛物柱面 y ax (a 0) 2 =  椭圆柱面 1 b y a x 2 2 2 2 + = 圆柱面 2 2 2 x + y = R 6 0 空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程（以后讲） 一般式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      = = =    = = z z t y y t x x t F x, y, z 0 F x, y, z 0 2 1 参数式 曲线 ( ) ( )    = = F x, y, z 0 F x, y, z 0 2 1 在三坐标面上投影方程 在 x0y 面上投影曲线方程：在 ( ) ( )    = = F x, y, z 0 F x, y, z 0 2 1 中消去 z，再与 z=0 联立

多元函数微分学 10二元函数及其极限与连续 、z=f(xy),定义域为平面上某一个平面域 几何上z=f(xy)为空间一张曲面。 2、二元函数极限P186 例1、讨论函数 4x2 +y2≠0 在(0,0)极限是否存 在 解:li lim4x.K4x =lim-4K2x2 x2)x+0(kx+x 2K 而lm=4:f(ky)在(0.0极限不存在 3、连续P187 2多元函数的偏导数与全微分 1、偏导数 定义:z=f(xy)在点(x0,y)处对x的偏导数, z0 4/21 x=xo, f. y y=yo y=yo 即:f(xa,y0) f(x。+Axya)-f(x,y0) 同理:f(n,)=nftn+y)-fn,) y ff在(xa,y)存在,称z=f(xy)在(x,y)可导。 例1、z=xy,求 解

多元函数微分学 1 0 二元函数及其极限与连续 1、 z = f(x, y) ，定义域为平面上某一个平面域 几何上 z = f(x, y) 为空间一张曲面。 2、二元函数极限 P186 例 1、讨论函数 ( ) ( ) (0,0) x y 0 x y 0 0 y x 4x y f x, y 2 2 2 2 2 4 2 2 4 在 + = +       + = 极限是否存 在。 解： ( ) ( ) ( ) 0 x K 1 4K x lim K x x 4x K x lim y x 4x y lim 2 2 4 2 2 0 2 4 4 2 2 4 4 0 2 4 2 2 4 x y 0 2 = + = +  = + → → = x→ x x 而 ( ) 4 y y 4y y lim 2 4 4 4 4 2 x y x 0 = +  = → ∴ f(x y) 在(0,0)极限不存在. 3、连续 P187 2 0 多元函数的偏导数与全微分 1、偏导数 定义： ( ) ( ) 0 y0 z = f x, y 在点 x , 处对 x 的偏导数， 记作： ( ) 1 0 0 y y0 x x x0 y y0 x x0 y y0 x x0 , z , f x , y x f , x z       = = = = = = 即： ( ) ( ) ( ) x f x x, y f x , y f x , y lim 0 0 0 0 x 0 x 0 0  +  −  =  → 同理： ( ) ( ) ( ) y f x , y y f x , y f x , y lim 0 0 0 0 y 0 y 0 0  +  −  =  → ( ) x y 0 y0 f ,f 在 x , 存在，称 ( ) ( ) 0 y0 z = f x, y 在 x , 可导。 例 1、 y z , x z z x , y     = 求 解： x lnx y z yx , x z y 1 y =   =   −

例2、P188,例5,6 设z=-Ml+x2smy)+x3,求z(21) 解:2×1)=x2,z(21M 12 2、高阶偏导数 =f(xy)=z*=f. a'z a( az a aZ axay ay(ax aox oldy 2总() f”,fx,连续,则f=f 3、全微分 如Az=f(x+Axy+△y)-fxy)=AAx+BAy+op) p=(x)+(△y)2 z=f(xy)在(xy)可微 全微分dz= f, af 偏导数f x’连续一可微了可导 连续 例3、设u(xy)=d+y-1则d=lmy+2kx+(+hm 例4、由方程xz+√x2+y2+z2=√2 确定z=z(xy)在点(10-1)全微分dz=dx-√2dy

例 2、P188，例 5，6 设 z (y 1) 1 x sin (x, y) x , z (2,1) x 2 3 = − + + 求  解： ( ) ( ) ( ) 3x 12 dx dz x,1 z x,1 x , z 2,1 x 2 2 x x 2 3 =  = = = = = 2、高阶偏导数 ( ) 2 2 xx xx x 2 f x, y z f x z x x z  =  =  =           =   xy xy 2 f z x z x y y z  =  =           =    yx yx 2 f z y z y x x z =  =              =                =   y z y y z 2 2 f , f , xy yx   连续，则 xy yx f = f 3、全微分 如 z = f(x + x, y + y)−f(x, y) = Ax +By + o(ρ ) ( ) ( ) 2 2 ρ = x + y z = f(x, y) 在 (x, y) 可微 全微分 dy y f dx x f dz   +   = 偏导数 y f , x f     连续→可微 例 3、设 u(x, y) = xlny + ylnx −1 则 lnx dy y x dx x y du lny          + +      = + 例 4、由方程 xyz x y z 2 2 2 2 + + + = 确定 z = z(x, y) 在点 (1,0,−1) 全微分 dz = dx − 2dy ↗可导 ↘连续

30复合函数微分法 定理:P194 z=f(u v)u=u(xy)v=v(xy)z=f(u, v)=F(xy) x 例5、P195,例5.14 设z=(1+x2+y2y 求 解:z=em+x+y2) 1+X-+y a=(1+x2+y)×1+x2 2 X-+ 例515解z=f(2+y2x),y=x+(x) z=(x2+2x0()+(x),x2+x(x)=f(u,y)=F( x+2x)+2xg(+20(x0o(x)+2px+(x)+x(x 22x+((x)+xp (x)+p(x)p 0)10(2x+o(x)+xo(x) 例 7、z=y2+ r(x2-y2),其中f(u)可微,则 y:+:=2xyf'(u)-2yf'(u)+2y 例8、z=Xp(),(u)可微,则2+yx=2z

3 0 复合函数微分法 定理：P194 z = f (u . v) u = u ( x . y.) v = v ( x . y ) z = f ( u , v ) = F ( x . y ) x v v f x u u f x z      +      =   , x v v f y u u f y z      +      =   例 5、P195，例 5.14 设 z = ( 1 + x2 + y2 ) xy 求 y z x z     解： ) 2 y 2 xyln(1 x z e + + =       + + = + + + + +   2 2 2 2 2 xy 2 2 1 x y 2x y (1 x y ) yln(1 x y ) x z       + + = + + + + +   2 2 2 2 2 xy 2 2 1 x y 2xy (1 x y ) xln(1 x y ) y z 例 5.15 解 z f(x y , xy) 2 2 = + ， y = x + (x) z f(2x 2x (x) (x) , x x (x)) f(u , v) F(x) 2 2 2 = +  +  +  = =   2x (x) x (x) v f 4x 2 (x) 2x (x) 2 (x) (x) u f x z     + +    + +  +  +   =     2x (x) x (x) v f 2x (x) x (x) (x) (x) u f 2 +  +    +  +  +   +   = 例 7、 ( ) 2 2 2 z = y + f x − y ，其中 f(u) 可微，则 2xyf (u) 2yf (u) 2y y z x z y =  −  +   +   例 8、 ) y x z x ( 2 =  ,(u) 可微，则 2z y z y x z 2 =   +  

证:令 则 2xyf(u) az 1 2y - flu (u) y fu) f(u) 1a2+12-2yx、ffd x Ox y ay f(u) yf(u y 例10、设z=f(2x-y)+g{x,xy),其中f()阶可导,g,y)具有 二阶连续偏导数 求a乙 解:ax =f{t):2+gu +g. y =2ft)(-1 g+ylg.0+gw.x =-2f(t)+xg +gy+ xyg 例1l、设u=yv=Y,试将方程x02z,a2z x oys0变换成以u,v 为自变量的方程,其中函数z具有二阶连续偏导数。 解: a'z_ 2y az_y aza a'z u _2y az+y2a'z Dy 2 Ox VoU ax

例 9、设 f(x - y ) y z 2 2 = ，求证 2 y z y z y 1 x z x 1 =   +   证：令 x y u 2 2 − = 则 f(u) y z = f (u) 2xyf (u) x z 2 −  =   f (u) 2y f (u) f(u) 1 y z 2 2  = +   f (u) 2yf (u) yf(u) 1 f (u) 2yf (u) y z y 1 x z x 1 2 2  + + −  =   +   2 y z yf(u) 1 = = 例 10、设 z = f(2x − y)+ g(x , xy) ，其中 f(t) 二阶可导， g(u , v) 具有 二阶连续偏导数。 求 x y z 2    解： f (t) 2 g g y x z u v =   +  +     2f (t) ( 1) g 0 g x g yg 0 g x x y z u uv v vu vv 2 =   − +   +   +  +   +      xguv gv xygvv = −2f(t) +  +  +  例 11、设 x y u = y, v = ，试将方程 0 x y z x z x 2 2 2 =    +   变换成以 u , v 为自变量的方程，其中函数 z 具有二阶连续偏导数。 解： ) x y ( v z x v v z x u u z x z 2 −   =      +      =   2 2 4 2 3 2 2 2 2 3 2 2 v z x y v z x 2y x u v u z x v v z x y v z x 2y x z   +    =           +     −   =  

a'z=_1 az_y az. av az ou av- ay Ovau ay x2 av x2 auay x av2 x22+y02=2ya+y2-xa-y02-y0z x aau 0 x2 av x2 ava 于是方程变为 az a-z 4隐函数求导 F(xyz)=0确定了z=(xy)求2,2 (1)方程两边同时对x求导,注意z=xy),可求得 方程两边同时对y求导,注意z=2(xy),可求得 (2)利用公式立=FazF (3)两边微分 用(2),(3)需具体方程给出,容易 例12、设z=z(xy)由方程e-2z+e2=0,求 解法一、在方程两边对x求导,注意z=z(xy) ax 2-e 解法二、设F=(xyz)=e--2z+e az F

           +      −   = −    y u v u z y v v z x y v z x 1 x y z 2 2 2 2 2 2         +    −   = − 2 2 2 2 2 v z x 1 u v z x y v z x 1 ∴ 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 v z x y v u z x y v z x y v z x y v z x 2y x y z y x z x   −    −   −   +   =    +   0 v u z x y v z x y 2 2 2 2 =    −   = 于是方程变为： 0 2 =    −   u v z u v z 4 0 隐函数求导 F(x.y.z) = 0 确定了 z = z(x.y) 求 y z , x z     (1)方程两边同时对 x 求导，注意 z = z(x.y) ，可求得 x z   方程两边同时对 y 求导，注意 z = z(x.y) ，可求得 y z   (2)利用公式 y x F F x z   = −   z y F F y z   = −   (3)两边微分 用(2)，(3)需具体方程给出，容易 例 12、设 z = z(x.y) 由方程 e 2z e 0 xy z − + = − ，求 x z   解法一、在方程两边对 x 求导，注意 z = z(x.y) z xy xy z 2 e ye x z 0 x z e x z ye 2 − − =   =   +   − − − − 解法二、设 ( ) xy z F = x.y.z = e − 2z + e − z xy z x - 2 e ye F F x z + − =   = −   −

解法三、在方程两边微分de--2z+e)=0 d(e-x)-d(2z)+d(e)=0 e""d(xy)-2dz+e dz=0 e-xy[xdy +ydx]-2dz +e dz=0 2-ezdx+=xe"y az -xe-X 例13、设z=(xy)由方程x2+y2+x2=x(确定,其中f可 微 az f 则 例14、已知方程x=h2定义了z=z(xy),求 a2z 解: zIn z-zhn az F (或方程两边对x求导,注意z=zxy) 在方程(x+z)=z两边对x求导,z=z(xy) (x+z) x ax ax azan X+Z X+Z

解法三、在方程两边微分 d(e 2z e ) 0 xy z − + = − d(e ) d(2z) d(e ) 0 xy z − + = − d(xy) 2dz e dz 0 xy z − + = − e e xdy ydx 2dz e dz 0 xy z − + − + = − 即 dy 2 - e xe dx 2 - e ye dz z xy z −xy − − + − = ∴ z xy 2 - e ye x z − − =   z xy 2 - e xe y z − − =   例 13、设 z = z(x.y) 由方程       + + = x y x y z xf 2 2 2 确定，其中 f 可 微 则 2z f 2y y z  − =   例 14、已知方程 y z ln z x = 定义了 z = z(x.y) ，求 2 2 x z   解： x = z ln z − z ln y x z z z x 1 1 1 lnz lny 1 F F x z z x + = + = + − − = − = −   （或方程两边对 x 求导，注意 z = z(x.y) ） 在方程 (x z) z x z + =   两边对 x 求导， z = z(x.y) ( ) x z x z 1 x z x z x z 2 2    =        +   + +   ( ) 3 2 2 2 2 2 x z z x z x z z x z x z x z + = +       + = +         =  

在(1)式两边对x求导 (x+z)-21 Z-Z+ (x+y)2(x+z) a2z Ox(ax +XZ-Z 例15、习题7 设u=f(xyz),(x2ez)=0,y=smx,其中f,d都具有一阶 连续偏导数,且≠0,求业 解: 在Φ=x2,emx,z)=0,两边对x求导,设u=x2p=e 0c+.· p. 2x+ a. esin cosx op. az. az a 2x +-e cosX Ox au du af af dox+dy: cosx+ z dz 2x +-e cOSX 例16、P200,例:5.20 阶偏导数在几何上的应用 1、空间曲线的切线与法平面

在(1) 式两边对 x 求导 法二： ( ) ( ) 2 2 2 x z x z x z z 1 x z x z +         + − +   =   ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 x z z x y x y z z z + = + + − + = ∴ ( ) 3 2 2 2 2 2 z x x xz - z z x x z x z 1 x z + + = − +         −   − =   例 15、习题 7 设 u = f(x.y.z)， (x .e .z) 0 2 y  = ， y = sin x ，其中 f ，  都具有一阶 连续偏导数，且 0 z    ，求 dx dz 解： 0 x z z f cosx y f x f dx du =       +   +   = 在 (x ,e , z) 0 2 sinx  = = ，两边对 x 求导，设 2 u = x x v e sin = 0 x z x z v x v u u =      +      +      0 x z z e cosx v 2x u sinx =       +    +   z e cosx / v 2x x u z sinx            +   =   e cosx v 2x u / z z f cosx y f x f dx du sin x    +         +   +   = 例 16、P200，例：5.20 5 0 一阶偏导数在几何上的应用 1、 空间曲线的切线与法平面

曲线L:(1){y=y (Ⅱ)y2)=0 LF2(x,y, z)=0 Z=Z (t) 曲线L在M点处切线方程为: 或 (to) 例17、P204,例5.24,例5.25 例5.25法二 x2+y2+z2=6 两边微∫xdx+ydy+nh=0 2xdx 2ydy -d 在点M0(1,1,2 dx+dy +2dz=0 2dx+ 2dy -dz= o 5:5:0 取τ={-10} 切线方程x-1 22 例19、求曲线{y=2x 2在(,2,7)点处切线方程 Z= 3x+y 2dx -dy +odz=0 解:法 点(,2,7)代入 6xdx 2ydy -dz =0 2dx-dy+odz=0 得 16dx 4dy-dz =o dx: dy: dz=1:2: 14 ∴切线方程 2、空间曲面的切平面与法线 曲面方程:F(xy,2z)=0点P(x0,yo,z0)

曲线 L：（Ⅰ）      = = = z z(t) y y(t) x x(t) （Ⅱ）    = = F (x, y, z) 0 F (x, y, z) 0 2 1 曲线 L 在 M0点处切线方程为： z (t ) z z y (t ) y y x (t ) x x 0 0 0 0 0 0  − =  − =  − 或 t t0 0 t t0 0 t t0 0 dz z z dy y y dx x x = = = − = − = − 例 17、P204，例 5.24，例 5.25 例 5.25 法二 在    = + + + = 2 2 2 2 2 z x y x y z 6 两边微分    + − = + + = 2xdx 2ydy dz 0 xdx ydy zdz 0 在点 ( )    + − = + + = 2dx 2dy dz 0 dx dy 2dz 0 M0 1,1,2 5 : 5 : 0 2 2 1 1 : 1 2 2 1 : 2 1 1 2 dx : dy : dz = − − − = 取 τ = 1,−1,0  ∴切线方程 0 z 2 1 y 1 1 x 1 − = − − = − 例 19、求曲线 ( )    = + = 1,2,7 z 3x y y 2x 2 2 在 点处切线方程 解：法一 ( )    + − = − + = 1,2,7 6xdx 2ydy dz 0 2dx dy 0dz 0 点 代入 得     = + − = − + = dx : dy : dz 1: 2 :14 6dx 4dy dz 0 2dx dy 0dz 0 ∴切线方程： 14 z 7 2 y 2 1 x 1 − = − = − 2、空间曲面的切平面与法线 曲面方程： ( ) ( ) 0 0 0 0 F x, y, z = 0 点 P x , y , z