高等院校非数学类本科数学课程：《大学数学》课程PPT教学课件（一）一元微积分学课件 第4讲 数列极限收敛准则

高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第四讲数列极限收敛准则 无穷小量、极限运算 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民

高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第四讲 数列极限收敛准则、 无穷小量、极限运算 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民

第二章数列的极限与常数项级数 本章学习要求: 了解数列极限的概念,会用《ε-N》语言描述数列的 极限。正确理解ε和N的含义 熟悉数列极限的性质和收敛准则。熟悉无穷小量的概 念和性质。 能熟练运用“放大不等式”法、“夹逼定理”以及极 限运算法则计算数列的极限或简单的极限证明 理解常数项级数概念和性质。掌握级数收敛的必要条 件以及收敛级数的基本性质。 熟悉常数项级数的收敛判别法。掌握交错级数收敛判 别法。 熟悉等比级数、调和级数、P一级数的敛散性

第二章 数列的极限与常数项级数 极限。正确理解 和 的含义。 了解数列极限的概念，会用《 》语言描述数列的 N N   − 念和性质。 熟悉数列极限的性质和收敛准则。熟悉无穷小量的概 限运算法则计算数列的极限或简单的极限证明。 能熟练运用“放大不等式”法、“夹逼定理”以及极 件以及收敛级数的基本性质。 理解常数项级数概念和性质。掌握级数收敛的必要条 别法。 熟悉常数项级数的收敛判别法。掌握交错级数收敛判 熟悉等比级数、调和级数、P－级数的敛散性。 本章学习要求：

第二章數列的极限与常教项级教 第二节数列极限收敛准则 第三节数列极限的运算 数列极限收敛准则 二、无穷小量与无穷大量 、极限的运算 四、施笃兹定理及其应用

第二章 数列的极限与常数项级数 第二节 数列极限收敛准则 第三节 数列极限的运算 一、数列极限收敛准则 二、无穷小量与无穷大量 三、极限的运算 四、施笃兹定理及其应用

教列极限收敛准则 1.单调收敛准则 单调增加有上界的数列必有极限 单调减少有下界的数列必有极限 通常说成:单调有界的数列必有极限

1.单调收敛准则 单调减少有下界的数列必有极限 . 单调增加有上界的数列必有极限 . 一、数列极限收敛准则 通常说成：单调有界的数列必有极限

例1证明数列{1+ 收敛 证由中学的牛顿二项式展开公式 1+ n(n-1)1 (n-1)(n-2)1 2 n(n 1+1+1 +-1 2! 3!

. 1 证明数列 1 收敛             + n n 证 由中学的牛顿二项式展开公式  + − −  + −  = +  +      = + 2 3 1 3! 1 ( 1)( 2) 2! 1 ( 1) 1! 1 1 1 n n n n n n n n n n x n n n n n n n n n 1 ! ( 1) ( ( 1))  − − − +   +       −       + −      = + + − n n n 2 1 1 1 3! 1 1 1 2 1 1 1 ！ , 1 1 2 1 1 1 ! 1       −  −       −      + − n n n n n  例1

类似地,有 n+ n+1 n+1 2 1+1+ +1)3! n+ +1 2 n+1 n+1 n+ (n+1)n+1八n+1 n+1

类似地, 有 1 1 1 1 1 + +       + = + n n n x 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ! 1       + −  −      +  −      + + − n n n n n  1 1 1 2 1 1 1 1 ( 1)! 1       +  −      +  −      + − + + n n n n n   +      +  −      +  + −      + = + + − 1 2 1 1 1 1 3! 1 1 1 1 2 1 1 1 ！ n n n

比较xn与xn+1的展开式可以看出除前面 两项外,x的每一项都小于xn1的对应项,并且 n 还多了最后的大于零的项,因此 n+ n n 即{xn}是单调增加的

比较 xn 与 xn+1 的展开式可以看出, 除前面 两项外, xn 的每一项都小于xn+1 的对应项,并且 xn+1 还多了最后的大于零的一项, 因此 n  n+1 x x 即{ }是单调增加的. n x

又xn=1+1+1 +-1 2! 3! 每个括号 小于1 + 放大不等式 1+1++-+∵+ 2!3! <1+1++2+…+ 等比数列求和 1+ <3 从而{xn}有界

 +       −       + −      = + + − n n n xn 2 1 1 1 3! 1 1 1 2 1 1 1 ！ 1 1 2 1 1 1 ! 1       −  −       −      + − n n n n n  又 ! 1 3! 1 2! 1 1 1 n  + + + ++ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 −  + + + + +  n 3, 2 1 3 2 1 1 2 1 1 1 1 = −  − − = + n− n 等比数列求和 放大不等式 从而{ }有界. n x 每个括号 小于 1

综上所述,数列{xn}是单调增加且有上 界的,由极限存在准则可知,该数列的极限 存在、通常将它纪为e,即 lim 1+ n→+o e称为欧拉常数 e=2.718281828459045 以e为底的对数称为自然对数记为:y=nx

综上所述, 数列{xn}是单调增加且有上 界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限 存在, 通常将它纪为 e, 即 . 1 lim 1 e n n n  =      + →+ e 称为欧拉常数. e = 2.718281828459045 以 e 为底的对数, 称为自然对数, 记为: y = ln x

e的计算公式为 16 e=1+-+-++…+—+ 1!2!3 n!n·n 其中.0<6<1

! ! 1 3! 1 2! 1 1! 1 1 n n n e e  = + + + + + +   的计算公式为 其中, 0    1