高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第二十四讲不定积分及其计算 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十四讲 不定积分及其计算 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
第五章一元函数的积分 本章学习要求: 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式 理解广义积分的概念掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第五章 一元函数的积分 本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
第五章一元函数的积分学 第三节不定积分及其计算 不定积分的概念 二不定积分的计算
第五章 一元函数的积分学 第三节 不定积分及其计算 一. 不定积分的概念 二.不定积分的计算
不定积分的概 定义f(x)在区间I上的全体原函数的集合 F(x)F(x)=f(x),x∈I} 称为f(x)在I上的不定积分,记为 f(x)dx=F(x)+C(C为任意常数) 其中,F(x)为f(x)的一个原函数; f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式; 称为不定积分号;C称为积分常数
定义 f (x) 在区间 I 上的全体原函数的集合 {F(x)| F(x) = f (x), xI} 称为 f (x) 在 I上的不定积分, 记为 f (x)d x = F(x) +C (C 为任意常数) 其中, F(x)为 f (x)的一个原函数； f (x) 称为被积函数, f (x)d x 称为被积表达式； 称为不定积分号； C 称为积分常数. 一. 不定积分的概念
习惯上,称求已知函数f(x)的全部原函数的过程, 为求函数f(x)的不定积分 求不定积分是求导的逆运算 例如: 每一个求导 公式反过 (x2)=2x 2xdx=x+c 来就是一个 求原函数的 (sin x)=cos x, cosxdx=sin x+C 公式,加上 积分常数C 就成为一个 (n xd dx=In x +C 求不定积分 的公式
习惯上, 称求已知函数 f (x)的全部原函数的过程, 为求函数 f (x)的不定积分. 求不定积分是求导的逆运算. 例如：( ) 2 , 2 d ; 2 2 x = x x x = x +C (sin x) = cos x, cos x d x = sin x +C; d ln | | . 1 , 1 (ln | |) x x C x x x = = + 每一个求导 公式, 反过 来就是一个 求原函数的 公式, 加上 积分常数C 就成为一个 求不定积分 的公式
不定积分与定积分是两个不同的概念 定积分是一种和式的极眼:(x)dx=m∑/(5)Ax 不定积分是求导的逆运算:F'(x)=f(x)则 f(dx= F(x)+c 请参看第五章第二节微积分基本公式中关于 函数的原函数与函数的可积性的论述
不定积分与定积分是两个不同的概念. : ( )d lim ( ) . 1 || || 0= → = n i i i x b a 定积分是一种和式的极限 f x x f x 不定积分是求导的逆运算: F(x) = f (x), 则 f (x)d x = F(x) +C . 请参看第五章第二节微积分基本公式中关于 函数的原函数与函数的可积性的论述
二不定积分的计算 利用不定积分的性质 换元法(第一、第二) 分部积分法 部分分式法
二.不定积分的计算 利用不定积分的性质 换元法( 第一、第二 ) 分部积分法 部分分式法
1.利用性质计算不定积分 首先介绍不定积分的基本性质
1. 利用性质计算不定积分 首先介绍不定积分的基本性质
性质1 f(x)dxr=f(x) f(xdx=f(xdx 「f(x)dx=f(x)+C df(x)=f(x)+C 逆运算
性质 1 ( f (x)d x) = f (x), d f (x)d x = f (x)d x, f (x)d x = f (x) + C, d f (x) = f (x) + C. 逆运算
性质2设f(x),f2(x)∈R(D,则 ∫q()+(刘)dx=(x)dx+/(x)dx, 其中,a,b为常数 该性质可推广至有限个涵数的和的形式 线性性质
性质 2 设 f 1 (x), f 2 (x) R(I), 则 [ ( ) ( )]d ( )d ( )d , 1 + 2 = 1 + 2 af x bf x x a f x x b f x x 其中, a, b为常数. 该性质可推广至有限个函数的和的形式. 线性性质