高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第十五讲导数的概念 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第十五讲 导数的概念 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第四章一元函数的导数与微分 本章学习要求 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则,能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分 了解n阶导数的概念,会求常见函数的n阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理,并能较好运用上述定理解决有关问题(函数方 程求解、不等式的证明等)。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限
第四章 一元函数的导数与微分 本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ▪ 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 ▪ 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 ▪ 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限
第四章一元函数的导教与微分 第一节导数的概念 导数产生的背景 二,导数的概念 三,导数存在的必要条件 四.函数的增量与导数的关系
第一节 导数的概念 第四章 一元函数的导数与微分 一.导数产生的背景 二.导数的概念 三.导数存在的必要条件 四. 函数的增量与导数的关系
导数产生的背景 1.物理背景 2.几何背景
一.导数产生的背景 1. 物理背景 2. 几何背景
1.物理背景 例非勻速运动物体的速度闻题 在真空中,当时间由t变到∧t时,自由 落体所经过的路程为 S(+△)-S()=8(+△)21 g(2△t+△t2) 物体由t到t+△t一段的平均速度是 S(t+△)-S()1g(2t·△t+△t (t+△t)-t2 △t =gt+-g:△t
1.物理背景 在真空中, 当时间由t 变到t+t 时, 自由 非匀速运动物体的速度问题 落体所经过的路程为 2 2 2 1 ( ) 2 1 S(t + t) − S(t) = g t + t − gt (2 ) 2 1 2 = g tt + t 例1 物体由 t 到 t + t 一段的平均速度是 t t t S t t S t V t + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) t g t t t + = (2 ) 2 1 2 = gt + g t 2 1
求物体在时刻t的瞬时速度ν就是 令∧t》0的极限过程 V,=lim v(t)=lim S(t+△t)-S(t) △t→>0 △t→>0 △t =lim(gt+g△t)=gt △t→>0 从物理学看.当∧t)0时,应该有 S(t+△t)-S(t)→>0 这是否也说明了一个什么问题?
求物体在时刻 t 的瞬时速度vt , 就是 t S t t S t V V t t t t + − = = → → ( ) ( ) lim ( ) lim 0 0 gt g t gt t = + = → ) 2 1 lim ( 0 令 t→0 的极限过程： 从物理学看, 当t→0 时, 应该有 S(t + t) − S(t) → 0. 这是否也说明了一个什么问题?
例2为学中的线密度问题 设有一根可视为直线的棒上非均勻地分布着质量 直线的一端为原点,线段OP的长度为l,质量为m2 则m是l的函数:m=f(1).求点P处的线密度 O △l
P l l 力学中的线密度问题 设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量. 直线的一端为原点 , 线段 OP 的长度为 l, 质量为 m, 则 m 是 l 的函数：m = f (l ). 求点 P 处的线密度 . 例2 O P
给l一个增量M,则M这一段(PP)的平均密度是 △mf(l+△)-f(l △Z △Z 而在P点处的线密度就是Δl→>0平均密度的极限 △ S=lim s= lim f(l+△)-f() M→>0 △>0△l△→>0 △Z 比较两个极限式: f(l+△)-f() 与lim S(t+△t)-S(O) △l->0 △Z △t
给 l 一个增量 l, 则 l 这一段 ( PP' ) 的平均密度是 而在 P 点处的线密度就是 l → 0 平均密度的极限： 0 lim → = l l m l = →0 lim l f l l f l l + − = → ( ) ( ) lim 0 l f l l f l l m + − = = ( ) ( ) 比较两个极限式： l f l l f l l + − → ( ) ( ) lim 0 . ( ) ( ) lim 0 t S t t S t t + − → 与
2.数学背景—平面曲线的切线问题 平面曲线上切线的概念 曲线L在点P处点切线为 点Q沿曲线L趋向点P时 割线PQ的极限位置PT 切点P 切线PT
PQ PT Q L P L P 割线 的极限位置 点 沿曲线 趋向点 时 曲线 在点 处点切线为 平面曲线上切线的概念 L P • Q • • • • • T 切线PT 切点 • 2. 数学背景 — 平面曲线的切线问题
定义平面曲线y=f()的切线 曲线在点A(x2y)处的切线AT为过曲线上 点A的任意一条割线AA当点A(x+△x,y+△y) 沿曲线趋近于点A时的极限位置 切线方程: y-y0=k(x-xo), 其中 y=f(x) k= tan a B △x lim tan B △x->0 C △ lim O >0△x
沿曲线趋近于点 A 时的极限位置. 平面曲线 y = f (x) 的切线： 曲线在点 A(x0 , y0 ) 处的切线 AT 为过曲线上 点 A 的任意一条割线 AA’ 当点 A’ (x0+x, y0+ y) O x y y = f (x) A A B x y T 定义 切线方程: ( ), 0 0 y − y = k x − x k = tan lim tan 0 → = x 其中, lim . 0 x y x = →