高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第二十五讲不定积分及其计算(续) 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十五讲 不定积分及其计算（续） 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
第五章一元函数的积分 本章学习要求: 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式 理解广义积分的概念掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第五章 一元函数的积分 本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
二不定积分的计算 利用不定积分的性质 换元法(第一、第二) 分部积分法 部分分式法
二.不定积分的计算 利用不定积分的性质 换元法( 第一、第二 ) 分部积分法 部分分式法
3.不定积分的分部积分法 分部积分法是计算不定积分时应用较广泛的一种方法 该方法与函数的乘积求导公式相对应 设函数v(x),v(x)在区间I上可微,则有 (u(xv(x=u(xv(x)+u(x)(x) 如果函数(x)v(x)与v(x)v(x)的原函数存在,对上式两 边关于x积分,便得到 J u(x)(x)dx=u(x)v()u(x)v(x)dx 该公式称为不定积分的分部积分公式
3. 不定积分的分部积分法 分部积分法是计算不定积分时应用较广泛的一种方法. 该方法与函数的乘积求导公式相对应: 设函数 u(x), v(x) 在区间 I 上可微, 则有 (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x). 如果函数 u (x)v(x)与u(x)v (x)的原函数存在, 对上式两 边关于x积分, 便得到 ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d . u x v x x = u x v x − u x v x x 该公式称为不定积分的分部积分公式
定理E 设函数u(x),v(x)在区间Ⅰ上可微.若函数(x)(x) 在区间Ⅰ上的原函数存在,则 u(xv (x dx=u(x)v(x) u'()v(x)dx 该公式称为不定积分的分部积分公式 分部积分公式将一个函数的积分计算转化为另一个 函数的积分计算
定理 设函数 u(x), v(x) 在区间 I 上可微. 若函数 u (x)v(x) 在区间 I 上的原函数存在, 则 ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d . u x v x x = u x v x − u x v x x 该公式称为不定积分的分部积分公式. . 函数的积分计算 分部积分公式将一个函数的积分计算转化为另一个
般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑 运用分部积分法进行计算: 幂函数与三角函数(或反三角函数)之积, 指数函数与三角函数(或反三角函数)之积, 幂函数与指数函数之积, 指数函数与对数函数之积, 一个函数难于用其它方法积分 两个函数的乘积
一般说来, 当被积函数为下列形式之一时, 可考虑 运用分部积分法进行计算: 幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 幂函数与指数函数之积 , 指数函数与对数函数之积 , 一个函数难于用其它方法积分 , 两个函数的乘积
v(x=sinx 例计算∫ x sinxdx u(x COS x 解】∫ csinxdx=x(-sx)j( cos x)dx x xt cosxdx xcos x +sinx+C
例 1解 sin d . 计算 x x x u(x) = x u(x) =1 v(x) = sin x v(x) = −cos x − xsin xd x = x(−cos x) − (−cos x)d x = −x cos x + cos xd x = −x cos x + sin x +C
COS x 例2 计算 x cosxdx x SIn x SIn x 2 SIn x 解「 x cosxdx SIn x 2sin2x2J2sin 2x cSc-x--cotx+O cosxdx r d(sin x) d u= sin x Sin x SIn x 12+C 2sin x
例 2解 . sin cos d 3 x x x x 计算 − x1 xx3 sin cos x 2 2sin−1 = − + x x x x x x x x 3 2 2 2sind 21 sin 2sin cos d cot . 21 csc 2 2 x x C x = − − + = = 3 3 3 d sin d(sin ) sin cos d u u xx x x x . 2sin1 21 2 2 C x = − u + C = − + − ( u = sin x )
arccos 例3计算 arccosxdx 解∫ arccosxdx=xarccosx+」 xax xarccosx √1-x2+C
例 3解 arccos d . 计算 x x − x arccos x 1 2 1 1− x − 1d arccos d arccos 2 − = + x x x x x x x arccos 1 . 2 = x x − − x + C
Sin x 例计算∫ sinxd: 2x OSX 解∫ x sin xdx=-x cos x+2 xcosxdx COS x =-x cos x+2(xsin x- sin x d x) Sin x =-x coS x+2xsin x+2 cosx+C 该例说明,与换元法一样,只要条件允许, 分部积分法可以连续使用
例 4解 sin d . 2 计算 x x x − −cos x sin x 2 x2x x sin xd x = −x cos x + 2 x cos xd x 2 2 − sin x x cos x 1 cos 2( sin sin d ) 2 = −x x + x x − x x cos 2 sin 2cos . 2 = −x x + x x + x +C . , , , 分部积分法可以连续使 用 该例说明 与换元法一样 只要条件允许