高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第十一讲无穷小量的比较 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第十一讲 无穷小量的比较 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第三章函数的极限与连续性 本章学习要求: ■了解函数极限的概念,知道运用“ε-δ'和"ε-X语言描 述函数的极限 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较,能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念,会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理)。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判別法
第三章 函数的极限与连续性 本章学习要求： ▪ 了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和 “ ε－X ”语言描 述函数的极限。 ▪ 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 ▪ 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ▪ 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 ▪ 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 ▪ 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法
第三章函教的极限与连续性 第六节无穷小量的比较 无穷小量比较的概念 二,关于等阶无穷小的性质和定理
第三章 函数的极限与连续性 第六节 无穷小量的比较 一. 无穷小量比较的概念 二. 关于等阶无穷小的性质和定理
设,B是同一个极限过程中 的两个无穷小量
设 , 是同一个极限过程中 的两个无穷小量
若im==0,则称a是B的 高阶元穷小记为=0(B) B 此时,lm=∞, C 也可称B是a的低阶无穷小
若 lim = 0, 则称 是 的 高阶无穷小 记为 = o( ). , 此时, lim = , 也可称 是 的低阶无穷小
若im=C,C≠0为常数, B 则称a与B是同阶无穷小, 记为O=0(B)
若 lim = C，C 0 为常数, 记为 则称 与 是同阶无穷小, = O( )
蓉liQ C,C≠0,k>0为常数 B 则称a为B的k阶天穷小,记为 =O(B) 此时,a与B是同阶无穷小
若 lim = C C 0 , k 0 k ， 为常数, 则称 为 的 k 阶无穷小, 记为 O( ). k = 此时, 与 是同阶无穷小. k
若m=1,则称a是β的 等阶无穷小,记为O~B 等价无穷小必是同阶元穷小 但反之不真
若 lim =1, 则称 是 的 等阶无穷小 记为 ~ . , 等价无穷小必是同阶无穷小, 但反之不真
若lim不存在,但又不是无穷大 则称a与β是不能比较的天穷小
若 不存在, 但又不是无穷大, lim 则称 与 是不能比较的无穷小
例x→0时的几个天穷小量的比较 2 0 (x)(x->0 x→>0 sin x + 2x sIn x 2x (2) - lim +lim 3 →>0 x->0 x→>0 sinx+2x=O(x)(x→>0
x → 0 时的几个无穷小量的比较： (1) lim 0 , o( ) ( 0). 2 2 0 = = → → x x x x x x = + → x x x x sin 2 (2) lim 0 3, 2 lim sin lim 0 0 + = → → x x x x x x sin x + 2x = O(x) (x → 0) 例1