高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第二十讲泰勒中值定理 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十讲 泰勒中值定理 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
第四章一元函数的导数与微分 本章学习要求 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则,能熟练运用求导的基本公式 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分 了解n阶导数的概念,会求常见函数的n阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理,并能较好运用上述定理解决有关问题(函数方 程求解、不等式的证明等) 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限
第四章 一元函数的导数与微分 本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ▪ 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 ▪ 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 ▪ 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限
第四章一元函数的导数与微分 第七节泰勒中值定理 带皮亚诺余项的泰勒公式 二,带拉格朗日佘项的泰勒公式 三,泰勒公式的几何应用
第七节 泰勒中值定理 第四章 一元函数的导数与微分 一. 带皮亚诺余项的泰勒公式 二. 带拉格朗日余项的泰勒公式 三.泰勒公式的几何应用
泰勒中值定理 泰勒中值定理的产生 带皮亚诺余项的 微分 泰勒公式 拉格朗日中值定理带拉格朗日余 项 泰勒公式 还有带其它余项的 泰勒公式
泰勒中值定理 泰勒中值定理的产生： 微 分 带皮亚诺余项的 泰勒公式 拉格朗日中值定理 泰勒公式 带拉格朗日余项的 泰勒公式 还有带其它余项的
带皮亚诺余项的泰勒公式 设∫(x)∈C"(U(x0))(=0,1,2,…,n-1), f(x)存在,则在该邻域内有 f(x) f“(x) (x-x0)+0(x-x)") k=0 k =f(x0)+∫(x0)(x-x)+ X-x 2! +…+G(x-xy+0(x-xy 该公式称为n阶带皮亚诺余项的泰勒公式
( ) (U( )) ( 0,1, 2, , 1), f x C x0 k = n − 设 k ( ) , 0 f (n) x 存在 则在该邻域内有 ( ) o(( ) ) ! ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) k n n k k x x x x k f x f x = − + − = ( ) ( )( ) 0 0 0 = f x + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − o(( ) ) 0 n + x − x 该公式称为n阶带皮亚诺余项的泰勒公式. 一. 带皮亚诺余项的泰勒公式
带皮亚诺余项的马克劳林公式 k f(x)=∑ f(o)k x+oC x k! f(0)+f(0)x+y"(0 2/ f(o ∴∴ 々/x”+0(H 就是x=0时的泰勒公式
o( ) ! (0) ( ) 0 ( ) k n n k k x x k f f x = + = = f (0) + f (0) x 2 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) ++ o( ) n + x 带皮亚诺余项的马克劳林公式 0 . 就是 x0 = 时的泰勒公式
f(x)=f(x)+f(x0)(x-x0) +0(x-x0)2+0(x-x0)2) a3(x-x0)+0((x-x) x f(x)-f(x0)-f(x)(x-x0) X-X a,(X-x x→>x0 X-x 0 运用罗必达法则计算极限
( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x = f x + f x x − x ( ) o(( ) ) 2 ( ) 2 0 2 0 0 x x x x f x − + − + ( ) o(( ) ) 3 0 3 3 0 a x − x + x − x ? a3 = 3 0 3 3 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) lim 0 x x x x a x x f x f x f x f x x x x x − − − − − − − − → = 0 运用罗必达法则计算极限
0=1mf(x)-/(x)-(xXx-xo)-32a(x 3(x-x0) f"(x)-f(x0)-3.2 ·CL2(x-x x→>x0 3.2(x-x0) f"(x)-f(x0) xx3.2·(x-x0) 若f(x)存在,则a,=f"(x) x f(x)=f(x0)+f(x0(x-x)+ 2 f"(x0) (x-x0)3+o(x-x0)3) 3! 该公式称为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式
2 0 2 0 0 0 3 0 3( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 ( ) 0 lim 0 x x f x f x f x x x a x x x x − − − − − − = → 3 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 ( ) lim 0 0 3 0 0 x x f x f x a x x x x − − − − = → − − − = → 3 0 0 3 2 ( ) ( ) ( ) lim 0 a x x f x f x x x . 3! ( ) ( ) , 0 0 3 f x f x a 若 存在 则 = 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x f x x x − = + − + ( ) o(( ) ) 3! ( ) 3 0 3 0 0 x x x x f x − + − + 该公式称为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式
彷照以上的敵法继续进行下去 即可得到一般的带皮亚诺佘项的n阶 泰勒公式
仿照以上的做法, 继续进行下去, 即可得到一般的带皮亚诺余项的 n 阶 泰勒公式
二,带拉格眀日余项的泰勒公式 设∫(x)∈C(U(x)(k=0,1,2,…,n) f+(x)存在,则在该邻域内有 f(x)=∑ (x-xo)+r(x) k 其中R1(x) (x-x0)(在x,x之间) (n+1) 称为n阶拉格朗日余项 该公式称为n阶带拉格朗日余项的泰勒公式
( ) (U( )) ( 0,1, 2, , ), f x C x0 k n 设 k = ( ) , f (n+1) x 存在 则在该邻域内有 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x k f x f x n k n k k = − + = ( ) ( 1)! ( ) ( ) 1 0 ( 1) + + − + = n n n x x n f R x 其中 ( , ) 在 x x0 之间 称为n阶拉格朗日余项. 二. 带拉格朗日余项的泰勒公式 该公式称为n阶带拉格朗日余项的泰勒公式
