高等院校非数学类本科数学课程：《大学数学》课程PPT教学课件（一）一元微积分学课件 第10讲 两个重要极限、极限存在准则

高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第十讲函数极限存在准则 两个重要极限 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民

高等院校非数学类本科数学课程 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民

第三章函数的极限与连续性 本章学习要求 ■了解函数极限的概念,知道运用“ε-δ”和“ε-X”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限 ■理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较,能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ■理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念,会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理) 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法

第三章 函数的极限与连续性 本章学习要求： § 了解函数极限的概念，知道运用“ ε－δ”和 “ ε－X ”语言描 述函数的极限。 § 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 § 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 § 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 § 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 § 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法

第三章函教的极限与涟縯性 第四、五节极限存在准则 两个重要极限 单调收敛准则 二.夹逼定理 两个重要极限 四.函数极限与数列极限的关系 五,柯西准则

第四、五节 极限存在准则、 两个重要极限 第三章 函数的极限与连续性 二.夹逼定理 一.单调收敛准则 三.两个重要极限 五.柯西准则 四. 函数极限与数列极限的关系

单调收敛准则 设在某极限过程中函数f(x)单调增加且有上界, 则在该极限过程中函数的极限存在 lim f(x)=sup f(x) 设在某极限过程中,函数f(x)单调减少且有下界, 则在该极限过程中函数的极限存在 lim f(x)=inf f(x) 般说成 在某极限过程中单调有界的函数必有极限

lim ( ) sup ( ).: , ( ) , f x f x f x  则在该极限过程中函数的极限存在 设在某极限过程中 函数 单调增加且有上界 lim ( ) inf ( ).: , ( ) , f x f x f x  则在该极限过程中函数的极限存在 设在某极限过程中 函数 单调减少且有下界 一般说成: 在某极限过程中,单调有界的函数必有极限

夹逼定理 看懂后,用精确地语言描述它 h(x) y=a+8 y=f(x) C y=g(x x0-6x0x0+8

x0  x0 x0  y  a   y  a   y  a y  h(x) y  f (x) y  g(x) x y O 看懂后, 用精确地语言描述它

函数极限的夹逼定理 定理设x∈U(x0,6)(|x>X)时,有 g(x)≤f(x)≤h(x) 若limg(x)=limh(x)=a,则必有 x→)x x→>x0 x→∞ (x->∞) lim f(x=a x→)x

设 x  U ˆ (x0 , ) (| x |  X ) 时, 有 g(x)  f (x)  h(x). 若 lim ( ) lim ( ) , 则必有 ( ) ( ) 0 0 g x h x a x x x x x x       lim ( ) . ( ) 0 f x a x x x   

只证x→x的情形 设g(x)≤f(x)≤h(x)x∈U(x0,1),且 lim g(x)=lim h(x)=a,ay VE>0 62>0,当00,当0<|x-x0<63时,|g(x)-a|<E 即(a-E<8(x)a+E 取O=min{1282,83},则当0<|x-x|<8时, a-E<g(x)≤f(x)≤h(x)<a+E 即limf(x)=a

证 . 只证 x  x0 的情形 设 g(x)  f (x)  h(x) x  U(x0 , 1) , 且 lim ( ) lim ( ) , 0 , 0 0       g x h x a 则  x x x x 0, 0 | | , | ( ) | . 2 0 2   当  x  x   时 h x  a   0, 0 | | , | ( ) | . 3 0 3   当  x  x   时 g x  a   即 a    h(x)  a  . 即 a    g(x)  a  . min{ , , }, 0 | | , 取    1  2  3 则当  x  x0   时 a    g(x)  f (x)  h(x)  a   , lim ( ) . 0 f x a x x   即

2 例1求imx 解由取悲函数的定义,有 X X X 故当x>0时,2-x0时,2-x> 2x2-x 2,夹逼定理 而lim(2-x)=2,所以,imx x->0 x→>0x

例1 . 2 lim 0        x x x 求 解 由取整函数的定义, 有 , 2 2 1 2 x x x          2; 2 0 , 2           x 故当 x 时 x x 2, 2 0 , 2           x 当x 时 x x 2. 2 lim(2 ) 2, , lim 0 0            x x x x x 而 所以 夹逼定理

二。重要极限 1.重要极限lim sInx x->0 X 2.重要极限lim1+

二.重要极限 1 sin 1. lim 0   x x x 重要极限 1 2. lim 1 e x x x          重要极限

SInx 重要极限lim 0 W 首先看看在计算机上 进行的数值计算结果:

首先看看在计算机上 进行的数值计算结果： 1 sin 1. lim   x x x 0 重要极限