高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第二十讲罗必达法则 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十讲 罗必达法则 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
第四章一元函数的导数与微分 本章学习要求 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则,能熟练运用求导的基本公式 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分 了解n阶导数的概念,会求常见函数的n阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理,并能较好运用上述定理解决有关问题(函数方 程求解、不等式的证明等) 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限
第四章 一元函数的导数与微分 本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ▪ 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 ▪ 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 ▪ 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限
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第四节 罗必达法则 第四章 一元函数的导数与微分
我们知道:两个无穷小量或两个无穷 大量的商的极限,随着无穷小量或无穷大 量的形式不同,极限值可能存在、也可能 不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷 大量,为此.我们称这类极限为“不定型” 0 记为 或 0
大量 , 为此, 我们称这类极限为“不定型” , . 0 0 或 我们知道: 两个无穷小量或两个无穷 大量的商的极限, 随着无穷小量或无穷大 量的形式不同 , 极限值可能存在、也可能 不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷 记为:
不定型的极限 以下各类极限称为不定型的极限: 0 0 其中,0表示无穷小量.∞表示无穷大量 1表示以1为极限的变量
以下各类极限称为不定型的极限： , 0 0 , 0 , − , 1 , 0 , 0 . 0 其中 , 0表示无穷小量; 表示无穷大量; 1表示以1为极限的变量. 不定型的极限
倒数法 0 取 O 对 数 法 只需讨论 这两种极限 0
0 0 0 − 1 0 0 0 倒数法 取 对 数 法 只需讨论 这两种极限
罗必达法则 设在某一极限过程中 (1)lmf(x)=0,lmg(x)=0, 0 imnf(x)=∞,limg(x)=∞, (2)在该极限过程中,f(x),g(x)存在,且g(x)≠0, (3)li f(x) 存在或为无穷大 则有1m(x)=mfx) g(x) g(x)
罗必达法则 设在某一极限过程中 0 0 (1) lim f (x) = 0 , lim g(x) = 0 , lim ( ) , lim ( ) , f x = g x = (2) 在该极限过程中, f (x), g (x)存在, 且 g (x) 0 , , ( ) ( ) (3) lim 存在或为无穷大 g x f x . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x 则有 =
解释:(2)在该极限过程中,f(x),g(x)存在, 是指 若极限过程为x->x0 则f(x),g(x)在U(x0)存在 若极限过程为x→ 则f(x),g(x)当|x|>X存在
解释： (2) 在该极限过程中, f (x), g (x)存在, 是指： , 0 若极限过程为 x → x U( ) . ˆ ( ), ( ) 则 f x g x 在 x0 存在 若极限过程为 x → , 则 f (x), g (x)当 | x | X 存在
先证x→x时情形 由于limf(x)=0,limg(x)=0, x→)x 故不论∫(x),g(x)在x处是否连续,总可令 f(x0)=0,g(x0)=0 使得f(x),8(x)成为连续函数从而在U(x)内 可选择适当区间來运用柯西中值定理 令1(x) ,2(x) 就可将一型 g(x) 0 转换为-型
. 先证 x → x0 时情形 lim ( ) 0 , lim ( ) 0 , 0 0 = = → → f x g x x x x x 由于 ( ), ( ) , 故不论 f x g x 在 x0 处是否连续 总可令 ( ) 0 , ( ) 0 , f x0 = g x0 = 使得 f (x), g(x) 成为连续函数, 从而在 U(x0 )内 可选择适当区间来运用柯西中值定理. 令 就可将 型 ( ) 1 , ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 = = g x x f x x . 0 0 转换为 型 证
令x三-则可将X→∞的极限过程转换 为t→0(t=0)的极限过程 详细的证明过程请同学们自己看书
令 , 则可将 的极限过程转换 1 = x → t x 0 ( 0) . 为 t → t 0 = 的极限过程 详细的证明过程请同学们自己看书