高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第二十七讲广义积分 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十七讲 广义积分 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
第五章一元函数的积分 本章学习要求: 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式 理解广义积分的概念掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第五章 一元函数的积分 本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
第五章一元函数的积分 第五节广义积分 无穷区间上的积分 二、瑕积分 广义积分的柯西主值 四、T函数
第五章 一元函数的积分 第五节 广义积分 一、无穷区间上的积分 二、瑕积分 四、函数 三、广义积分的柯西主值
我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界 函数的积分.在科学技术和工程中,往往需要计 算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分,有时还需计算不满足有界条件的函 数在无穷区间上的积分.这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广. 我们将运用极限的方法来完成这个工作
我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界 函数的积分. 在科学技术和工程中，往往需要计 算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函 数在无穷区间上的积分. 这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广. 我们将运用极限的方法来完成这个工作
无穷积分—无穷区间上的广义积分 1.无穷积分的概念 设函数f(x)在[a,+∞)上有定义 VA∈R,A>a,且f(x)∈R([a,A]).记 f(x)dx=lim f(x)d x A→+0Ja 称之为f(x)在[a2+∞)上的无穷积分 若式中的极限存在,则称此无穷积分收敛,极限值 即为无穷积分值;若式中的极限不存在,则称该无穷积 分发散
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分 设函数 f (x) 在[a, + )上有定义. A R , A a , 且 f (x) R([a, A]). 记 ( )d lim ( )d , →+ + = A a A a f x x f x x 称之为 f (x) 在[a, + )上的无穷积分. 若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值 即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积 分发散. 1. 无穷积分的概念
类似地可定义: (1) f(x)dx=lim I f(x)dx (B<b) B→ +∞ (2)f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx lim f(x)dx+lim f(x)dx B→-∞JB A→-Jc 若「f(x)dx与「f(x)dx同时收敛,则称f(x)dx收敛 一0 若」f(x)dx与「()dx至少有一个发散,则」f(x)dx发散 对」f(x)dx而言,由定积分对区间的可加性, 显然其收敛性与c值无关为方便起见,通常取c=0
类似地可定义： (1) f (x)d x lim f (x)d x (B b). b B B b = − →− + − + − (2) ( )d = ( )d + ( )d c c f x x f x x f x x lim ( )d lim ( )d . →− →− = + A A c c B B f x x f x x 若 ( )d 与 ( )d 同时收敛， 则称 ( )d 收敛. + − + − f x x f x x f x x c c 若 ( )d 与 ( )d 至少有一个发散, 则 ( )d 发散. + − + − f x x f x x f x x c c 对 ( )d 而言，由定积分对区间的可加性， + − f x x 显然其收敛性与 c 值无关. 为方便起见，通常取 c = 0
例候 计算 xe +∞ e dx=l A+00“e计 u=x Im d A→+∞2J0 能否将这里的书 -ul A 写方式简化? A→)+∞2 e+ A→)+∞2
例 1解 d . 0 2 + − x e x 计算 x − →+ + − = A x A x x e x x e x 0 0 d lim d 2 2 2 令 u = x − →+ = 2 0 d 21 lim A u A e u2 0 ( ) 21 lim u A A e − →+ = − ) 21 21 lim ( 2 = − + − →+ A A e . 21 = 能否将这里的书 写方式简化？
为书写方便起见,若F(x)是∫(x)的一个原函数,则约定 f(dx=F(x)o = lim F(x)-F(a f(xdx= F(x)b=F(6)-lim F(x) f(xdx= F(x)l+oo= lim F(x)-lim F(x) x→-0 这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了
为书写方便起见，若 F(x) 是 f (x)的一个原函数，则约定 ( )d ( ) lim ( ) ( ). f x x F x 0 F x F a a x = = − →+ + + f (x)d x F(x) F(b) lim F(x). x b b →− − − = = − f (x)d x F(x) lim F(x) lim F(x). x→+ x→− + − + − = = − 这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了
例2计算+x ∞ 解 dx arctan x 01+x 0 lim arctanx-arctan 0 x→)+0o
例 2解 . 1 d 0 2 + + xx 计算 + + = + 0 0 2 arctan 1d x xx = lim arctan −arctan 0 →+ x x . 2 =
囫3计算∫x 1+x 解∫ +∞dx arctan x +∞ ∞1+x lim arctan x- lim arctan x X→)+00 1+x
例 3解 . 1 d 2 + − + xx 计算 + − + − = + arctan 1d 2 x xx lim arctan x lim arctan x x→+ x→− = − ) 2 ( 2 = − − = . O x y 2 1 1 x y + = 1