高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第八讲无穷小量、无穷大量 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第八讲 无穷小量、无穷大量 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第三章函数的极限与连续性 本章学习要求: ■了解函数极限的概念,知道运用“ε-δ和"ε-X'语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较,能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念,会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理)。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法
第三章 函数的极限与连续性 本章学习要求： ▪ 了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和 “ ε－X ”语言描 述函数的极限。 ▪ 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 ▪ 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ▪ 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 ▪ 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 ▪ 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法
第三章函数的极限与连续性 第二节无穷小量、无穷大量 无穷小量及其远算性质 二.无穷大量
第三章 函数的极限与连续性 第二节 无穷小量、无穷大量 一.无穷小量及其运算性质 二. 无穷大量
、无穷小量及其运算性质 简言之在某极限过程中,以0为极限 的量称该极限过程中的一个无穷小量
一、无穷小量及其运算性质 简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限 的量称该极限过程中的一个无穷小量
例 limx2=0,x→0时,x2是一个无穷小量 x->0 (2) limsinx=0,x→0时,inx是一个天穷小量 (3)lim=0,x→∞时,是一个无穷小量 O (4) lim cos x=0,x>时,C0Sx是一个天穷小量 (5)lim0=0.在任何一个极限过程中 常值函数y=0均为无穷小量
例1 (1) lim 0, 0 , . 2 2 0 x x 时 x 是一个无穷小量 x = → → (2) limsin 0, 0 , sin . 0 x x 时 x 是一个无穷小量 x = → → . 1 0, , 1 (3) lim 时 是一个无穷小量 x x x x = → → , cos . 2 (4) lim cos 0, 2 x x 时 x 是一个无穷小量 x = → → (5) lim 0 = 0, 在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量
1.无穷小量的定义 定义Vg>0,若3δ>0(X>0),使当 0X)时,f(x)|x(x→>∞)时, 为无穷小量
1.无穷小量的定义 0, 若 0 (X 0), 使当 0 | | (| | ) , x − x0 x X 时 | f (x) | , ( ) ( ) , 成立 则称 f x 当x → x0 x → 时 为无穷小量. 定义
2.函数的极限与无穷小量的关系 分析 若imf(x)=a,则VE>0,当00(x米x),且 f(x)=a+a(x)(x→>x) 反之亦然.) 由以上的分析.你可得出 什么结论?
2. 函数的极限与无穷小量的关系 分析 lim ( ) , 0 , 0 | | , 0 0 若 = 则 当 − 时 → f x a x x x x | f (x) − a | =| ( f (x) − a) − 0 | , , ( ) . 即当 x → x0 时 f x − a 是一个无穷小量 ( ) ( ) , ( ) 0 ( ), 令 x = f x − a 则 x → x → x0 且 ( ) ( ) ( ). 0 f x = a + x x → x 反之亦然. 由以上的分析, 你可得出 什么结论 ?
定理 lim f(x)=a f(x)=a+a(x) x→)x 其中,(x)→>0(x→>x,(x→>∞) 由此可看出,寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则. 定理 lim ( ) ( ) 0 f x a x x x = → → f (x) = a +(x) , , ( ) 0 ( , ( )). 其中 x → x → x0 x →
3.元穷小量的运算法则 同一个极限过程中的有限个 无穷小量之和仍是一个无穷小量 同一个极限过程中的有限个 无穷小量之积仍为无穷小量
同一个极限过程中的有限个 无穷小量之和仍是一个无穷小量. 同一个极限过程中的有限个 无穷小量之积仍为无穷小量. 3.无穷小量的运算法则
常数与无穷小量之积仍 为无穷小量 在某一极限过程中,无穷小量 与有界量之积仍是一个元穷小量 在某极限过程中.以极限不 为零的函数除无穷小量所得到商 仍为一个无穷小量
常数与无穷小量之积仍 为无穷小量. 在某极限过程中, 以极限不 为零的函数除无穷小量所得到商 仍为一个无穷小量. 在某一极限过程中, 无穷小量 与有界量之积仍是一个无穷小量