高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第十三讲闭区间上连续函数的性质 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第十三讲 闭区间上连续函数的性质 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第三章函数的极限与连续性 本章学习要求: ■了解函数极限的概念,知道运用“ε-δ和"ε-X'语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较,能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念,会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理)。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法
第三章 函数的极限与连续性 本章学习要求： ▪ 了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和 “ ε－X ”语言描 述函数的极限。 ▪ 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 ▪ 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ▪ 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 ▪ 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 ▪ 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法
第三章函数的极限与涟焕性 第九节闭区间上 续函数的性质 一,最大值和最小值定理 二.介值定理 函数的一致连续性
第三章 函数的极限与连续性 第九节 闭区间上 连续函数的性质 一.最大值和最小值定理 二.介值定理 三. 函数的一致连续性
最大值和最小值定理 设f(x)∈C([a,b]),则 ()f(x)在[a,b上为以下四种单调函数时 C X C X X
一. 最大值和最小值定理 设 f (x) C ( [a, b] ), 则 (i) f (x) 在 [a, b] 上为以下四种单调函数时 O a b x y O a b x y O a b x y O a b x y
此时,函数f(x)恰好在[,b的 端点a和b处取到最大值和最小值 y=f(x)1[a,b],则 min f(x=f(a), max f(x)=f(b) x∈[a,b x∈a,b] y=f(x)[a,b],则 max f(x)=f(a) min f(x)=f(o) ∈[a,b x∈[a,b
y = f (x) [a, b] , y = f (x) [a, b] , max ( ) ( ). [ , ] f x f b x a b = min ( ) ( ), [ , ] f x f a x a b = max ( ) ( )， [ , ] f x f a x a b = min ( ) ( ). [ , ] f x f b x a b = 此时, 函数 f (x) 恰好在 [a, b] 的 端点 a 和 b 处取到最大值和最小值. 则 则
(i)y=f(x)为一般的连续函数时 y=f(x) mas 6 a3 ol\a C 56 max=max( ma, ma,, ma, ma,, ma, ma, ma, mb) x∈a,b] min = min m. m. m.m. ms m. m. m x∈[a,b
(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时 max max{ , , , , , , , } 1 2 3 4 5 6 [ , ] a a a a a a a b x a b = m m m m m m m m min min{ , , , , , , , } 1 2 3 4 5 6 [ , ] a a a a a a a b x a b = m m m m m m m m x y a a1 a2 a3 a4 a5 a6 b ma mb y = f (x) O 1 ma 2 ma a3 m 4 ma 5 ma 6 ma
定理(最大值和最小值定理) 若f(x)∈C([a,b]),则它在该翊区间 上,至少取到它的最大值和最小值各一次 在定理中,闭区间的条件是很重要的,例如, y=x在(1,3)內连续,但它不能取到它的最大 值和最小值
(最大值和最小值定理) 若 f (x) C ( [a, b] ) , 则它在该闭区间 上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 . 在定理中, 闭区间的条件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 内连续, 但它不能取到它的最大 值和最小值. 定理
推论若f(x)∈([a,b),则f(x)在[a,b上有界 y y=f(r) mas 2 3 o\az 6 x nIVa 看图就知道如何证明了
若 f (x)C( [a, b] ), 则 f (x) 在 [a, b] 上有界. x y a a1 a2 a3 a4 a5 a6 b ma mb y = f (x) O 1 ma 2 ma a3 m 4 ma 5 ma 6 ma 看图就知道如何证明了. 推论
_∵f(x)∈C([a,6) f(x)在[a,b上可取到它的最大值M和 最小值m, 故m≤f(x)≤M,x∈[a,b 令M=max{lml,M},则 f(x)|≤M, x∈a 即f(x)在[a,b]上有界
f (x) 在 [a, b] 上可取到它的最大值 M 和 f (x)C ( [a, b] ) 故 m f (x) M , x[a, b], | f (x) | M* , x[a, b], 令 M* = max { |m|, | M| }, 则 即 f (x) 在 [a, b] 上有界. 最小值 m , 证
二.介值定理 先看一个图 描 f(b) y=f(x) 下 个 X 现 象 f(x)∈C([a,b]),f(a)f(b)<0,f(5)=0
二.介值定理 a x y y = f (x) f (a) b f (b) O f (x)C ( [a, b] ), f (a) f (b) < 0, f ( )＝0. 先看一个图 描 述 一 下 这 个 现 象