高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(-) 元微积分学 第三十讲一元微积分的应用(三) 函数展开为幂级数 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三十讲 一元微积分的应用(三) 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中 —— 函数展开为幂级数
第六章一元微积分的应用 本章学习要求 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念,并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法″,能熟练运用定积分表达和计算· 些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章 一元微积分的应用 本章学习要求： ▪ 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 ▪ 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 ▪ 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 ▪ 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 ▪ 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一 些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章一元微积分的应用 第四节函数展开为幂级数 幂级数的解析运算 泰勒级数 函数展开为幂级数 四、函数展开为幂级数应用举例
一、幂级数的解析运算 三、函数展开为幂级数 四、函数展开为幂级数应用举例 第六章 一元微积分的应用 第四节 函数展开为幂级数 二、泰勒级数
幂级数的解析运算 幂级数在其收敛区间内具有内闭一致收敛性 该定理归功于数学家魏尔斯特拉斯. 将函数项级数与构造的一个常数项级数 进行比较即可 该性质的证明与阿贝尔定理的证明类似
一、幂级数的解析运算 1 幂级数在其收敛区间内具有内闭一致收敛性. 该性质的证明与阿贝尔定理的证明类似. 将函数项级数与构造的一个常数项级数 进行比较即可. 该定理归功于数学家魏尔斯特拉斯
数学家魏尔斯特拉斯1815年10月31日出生于 德国的奥斯登费尔特;1897年2月19日卒于柏林。 魏尔斯特拉斯的父亲威廉是一名受过高等教 育的政府官员,颇具才智,但对子女相当专横。 魏尔斯特拉斯 Weierstrass. K. W魏尔斯特拉斯11岁丧母,翌年其父再婚。他有 1815-1897 个弟弟和两个终身未嫁的妹妹,她们一直在生活 上照顾终身未娶的魏尔斯特拉斯。1834年其父将 他送往波恩大学攻读财务与管理,使其学到充分 的法律、经济和管理知识,为谋取政府高级职位 创造条件
魏尔斯特拉斯 Weierstrass, K. W 1815 — 1897 数学家魏尔斯特拉斯1815年10月31日出生于 德国的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林。 魏尔斯特拉斯的父亲威廉是一名受过高等教 育的政府官员，颇具才智，但对子女相当专横。 魏尔斯特拉斯11岁丧母，翌年其父再婚。他有一 个弟弟和两个终身未嫁的妹妹，她们一直在生活 上照顾终身未娶的魏尔斯特拉斯。1834年其父将 他送往波恩大学攻读财务与管理，使其学到充分 的法律、经济和管理知识，为谋取政府高级职位 创造条件
魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业,并令人惊讶地放 弃了即将获得的法学博士学位,离开了波恩大学。在其父 亲的—位朋友的建议下,再一次被送到一所神学院学习 后来参加并通过了中学教师资格国家考试,在一所任教。 在此期间他撰写了4篇直到他的全集刊印时才问世的数学 论文。这些论文实际上已显示了他建立函数论的基本思想 和基本结构。1853年夏他在父亲家中度假时研究阿贝尔和 雅可比留下的难题,精心撰写“阿贝尔函数”的论文,并 于1854年发表于《克雷尔杂志》上。这篇出自一个名不见 经传的中学体育教师的杰作,引起了数学界的瞩目
魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，并令人惊讶地放 弃了即将获得的法学博士学位，离开了波恩大学。在其父 亲的一位朋友的建议下，再一次被送到一所神学院学习。 后来参加并通过了中学教师资格国家考试，在一所任教。 在此期间他撰写了 4 篇直到他的全集刊印时才问世的数学 论文。这些论文实际上已显示了他建立函数论的基本思想 和基本结构。1853年夏他在父亲家中度假时,研究阿贝尔和 雅可比留下的难题，精心撰写“阿贝尔函数”的论文，并 于1854年发表于《克雷尔杂志》上。这篇出自一个名不见 经传的中学体育教师的杰作，引起了数学界的瞩目
1855年秋,魏尔斯特拉斯被提升为高级教师,并享受 年的研究假期。1856年6月14日柏林皇家综合科学校仼 命他为数学教授,他欣然地接受了聘书。同年的11)19日 他当选为柏林科学院院士。1864年成为柏林大学教授,在 此期间魏尔斯特拉斯着手系统地建立数学分析基础,进一 步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论。这些工作主要是通过 他在该校讲授大量的课程完成的。短短几年他就闻名遐尔 成为德国以至全欧洲知名度最高的教授。1873年他出任柏 林大学校长,从此他成为一个大忙人。繁杂的公务几乎占 去了他的全部时间,紧张的工作影响了他的健康,使他疲 惫不堪,但他的智力未见衰退,研究工作仍继续进行
1855年秋，魏尔斯特拉斯被提升为高级教师，并享受 一年的研究假期。1856 年6 月14日柏林皇家综合科学校任 命他为数学教授，他欣然地接受了聘书。同年的11月19日 他当选为柏林科学院院士。1864年成为柏林大学教授，在 此期间魏尔斯特拉斯着手系统地建立数学分析基础，进一 步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论。这些工作主要是通过 他在该校讲授大量的课程完成的。短短几年他就闻名遐尔, 成为德国以至全欧洲知名度最高的教授。1873年他出任柏 林大学校长，从此他成为一个大忙人。繁杂的公务几乎占 去了他的全部时间，紧张的工作影响了他的健康，使他疲 惫不堪，但他的智力未见衰退，研究工作仍继续进行
1897年初,魏尔斯特拉斯染上流行性感冒,引发肺炎, 医治无效,于1897年2月19日与世长辞,享年82岁。 除柏林科学院外,魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学 会会员(1856年)、巴黎科学院院士(1868年)、英国皇家 学会会员(181年)。在某种意义上魏尔斯特拉斯被人们视 为德意志的民族英雄。 魏尔斯特拉斯是数学分析算术化的完成者、解析函数论 的奠基人,是无与伦比的大学数学教师
1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，引发肺炎, 医治无效，于1897年2月19日与世长辞，享年 82 岁。 除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学 会会员（1856年）、巴黎科学院院士（1868年）、英国皇家 学会会员（1881年）。在某种意义上魏尔斯特拉斯被人们视 为德意志的民族英雄。 魏尔斯特拉斯是数学分析算术化的完成者、解析函数论 的奠基人，是无与伦比的大学数学教师
幂级数的解析运算 2 幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的 ∑anx"=f(x)∈C(-R,R) 在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性. ∑x"在(-1,1)内收敛,其和为 f(x) ∈C(-1,1)
幂级数的解析运算 2 幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的 ( ) (( , )) 0 a x f x C R R n n n = − + = 在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性. ( 1, 1) , 0 在 − 内收敛 其和为： + n= n x (( 1, 1)) 1 1 ( ) − − = C x f x
幂级数的解析运算 3 幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性 ∫②nr")dr=∑Ja,rd 在幂级数的收敛区间内,其和函数连续, 故幂级数的和函数在收敛区间内可积,当然 幂级数也在其收敛区间内可积. 逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有 相同的收敛半径,但端点处的敛散性可能改变
幂级数的解析运算 3 幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性 ( )d d 0 0 0 0 + = + = = n x n n x n n n a t t a t t 在幂级数的收敛区间内, 其和函数连续, 故幂级数的和函数在收敛区间内可积, 当然, 幂级数也在其收敛区间内可积. 逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有 相同的收敛半径, 但端点处的敛散性可能改变
