高等院校非数学类本科数学课程 大学数学 多元微积分学
高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学 （三） 多元微积分学
第二章 多元函数积分学 教案编写:刘楚中曾金平 电子制作:刘楚中曾金平 已世剑
第二章 多元函数积分学 教案编写：刘楚中 曾金平 电子制作：刘楚中 曾金平
第一节黎曼积分(续)
第一节 黎曼积分(续)
黎曼积分的性质 设g为R3中的可度量的几何形体 f(X)∈R(g2),则 f(Xdg2=m∑f(2)2 -)0 这就是说, 黎曼积分应具有一些极限所具有的性质
黎曼积分的性质 设 为 R3 中的可度量的几何形体， f (X ) R() , 则 ( )d lim ( ) 1 0 = → = n i i i f X f 黎曼积分应具有一些极限所具有的性质 这就是说
性质1 若f(x)=1Xe9,则∫(X)d2=2 其中,|g|为区域Ω的度量值。 回想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时 质量=密度×几何形体的度量值 就可以理解这个性质。 二重积分:相当于以D为底 高为1的平顶柱体体积v=D
性质1 若 f (X) 1 X , 则 ( )d =| |。 f X 其中， | | 为区域 的度量值。 回想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时 质量 = 密度×几何形体的度量值 就可以理解这个性质。 二重积分：相当于以D为底， 高为1 的平顶柱体体积V= |D|
例 定积分Jdx=b-a(区间ab的长度) 二重积分dσ=1D|(平面区域D的面积 三重积分 dv=Q2 (R3中立体g的体积) 曲线积分 ds=LI (平面曲线L的弧长) 曲面积分∫ds=|2|(曲面∑的面积
定积分 x b a b a = − d (区间[a, b]的长度) 二重积分 d | D | D = (平面区域 D 的面积) (R3 中立体 的体积) d = | | 三重积分 v 曲线积分 d s | L | L = (平面曲线 L 的弧长) 曲面积分 d = | | S (曲面∑的面积) 例1
例2计算4d,D={(x,y)x2+y2≤4} 解这相当于质量问题中的=4(均匀分布) 以D为底 故 4da=4(2)=16x高为4的 平顶柱体 比较一下: 体积 ∫d=4jda=4(z2)=16z 常数因子提出来?/极限中有这个性质没有?
计算 4d , D D ={(x, y)| x 2 + y 2 4}。 解 这相当于质量问题中的 = 4 (均匀分布) 故 = D 4d 4( 2 ) = 2 16 = D 4d = D 4 d 4( 2 ) = 2 16 常数因子提出来？ 极限中有这个性质没有？ 比较一下： 以D 为底 高为 4 的 平顶柱体 体积 例2
性质2(线性性质) 若f(X),g(X)∈R(92),a、B为实数, 则af(X)±BG(X)∈R(92),且 ∫[f(x)Bg(X)d9 a」(X)dg(x)d9 该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形
性质2 (线性性质) 若 f (X ) , g(X )R() , 、 为实数， 则 f (X) G(X)R() , 且 = f (X) g(X) d f (X)d g(X)d 该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形
证由函数f(X),g(X)∈R(),对区域Ω和函 数f(),g(X进行分割,代替,求和,取极限得 ∫f(x)d9=mn∑f(A2=1 g(X)dQ2=lin Q 如>8(g1=1g 由极限的运算法则,有 im∑af(5)+Bg(5)AO,= l am∑f(5O+Bim∑g(5g2=1+B1 2→>0
由函数 f (X ) , g(X )R() , 对区域 和函 数 f (X) , g (X) 进行分割 , 代替 , 求和 , 取极限得 lim ( ) I , 1 0 i f n i i f = = → 由极限的运算法则，有 + = = → n i i i i f g 1 0 lim [ ( ) ( )] f g I + I = f (X)d = g(X )d lim ( ) I , 1 0 i g n i i g = = → + = → i n i i f 1 0 lim ( ) = = → i n i i g 1 0 lim ( ) 证
性质3(对积分区域的可加性) 定积分的这个性质大家十分熟悉,现在看看 二重积分的情形 (x,da表示以D为底,以f(,y)为 顶的曲顶柱体的体积。现在将D分成两部分D和 D2,相应地曲顶柱体也被分成两个柱体这两个 柱体体积之和等于原柱体的体积吗?应不应该有 什么限制条件?
性质3 (对积分区域的可加性) 定积分的这个性质大家十分熟悉，现在看看 二重积分的情形： D f (x, y)d 表示以 D 为底，以 f (x, y) 为 顶的曲顶柱体的体积。现在将D 分成两部分D1和 D2，相应地曲顶柱体也被分成两个柱体，这两个 柱体体积之和等于原柱体的体积吗？应不应该有 什么限制条件？